Theorem lssvnegcl 20909

Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvnegcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvnegcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lssvnegcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssel 20890	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
4		lssvnegcl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvneg1 20858	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
10	3, 9	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
11	10	3impb 1115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
12		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15	5	lmodring 20821	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
17	16	ringgrpd 20179	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18	14, 7	ringidcl 20202	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	14, 8, 17, 19	grpinvcld 18920	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	5, 6, 14, 2	lssvscl 20908	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	12, 13, 20, 21, 22	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
24	11, 23	eqeltrrd 2836	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  inv_gcminusg 18866  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  LModclmod 20813  LSubSpclss 20884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-lmod 20815  df-lss 20885

This theorem is referenced by:  lsssubg  20910  lidlnegcl  21179  mapdpglem14  41980  baerlem3lem1  42002  baerlem5amN  42011  baerlem5bmN  42012  baerlem5abmN  42013