Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvnegcl 19351
 Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvnegcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvnegcl.n 𝑁 = (invg𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvnegcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lssvnegcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssel 19330 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
4 lssvnegcl.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑊)
5 eqid 2777 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2777 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2777 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
8 eqid 2777 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
91, 4, 5, 6, 7, 8lmodvneg1 19298 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑁𝑋))
103, 9sylan2 586 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑆𝑋𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑁𝑋))
11103impb 1104 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑁𝑋))
12 simp1 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13 simp2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
145lmodring 19263 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15143ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16 ringgrp 18939 . . . . 5 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18 eqid 2777 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1918, 7ringidcl 18955 . . . . 5 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2015, 19syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2118, 8grpinvcl 17854 . . . 4 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2217, 20, 21syl2anc 579 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23 simp3 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
245, 6, 18, 2lssvscl 19350 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2512, 13, 22, 23, 24syl22anc 829 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2611, 25eqeltrrd 2859 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  1rcur 18888  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325 This theorem is referenced by:  lsssubg  19352  lidlnegcl  19611  mapdpglem14  37834  baerlem3lem1  37856  baerlem5amN  37865  baerlem5bmN  37866  baerlem5abmN  37867
 Copyright terms: Public domain W3C validator