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Theorem rngqiprngimfo 21312
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring onto the product of the (base set of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set of the) two-sided ideal. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngim.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngim.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimfo (𝜑𝐹:𝐵onto→(𝐶 × 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimfo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
2 rng2idlring.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3 rng2idlring.j . . 3 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
4 rng2idlring.u . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
5 rng2idlring.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 rng2idlring.t . . 3 · = (.r𝑅)
7 rng2idlring.1 . . 3 1 = (1r𝐽)
8 rngqiprngim.g . . 3 = (𝑅 ~QG 𝐼)
9 rngqiprngim.q . . 3 𝑄 = (𝑅 /s )
10 rngqiprngim.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑄)
11 rngqiprngim.p . . 3 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12 rngqiprngim.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimf 21308 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
14 elxpi 5706 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → ∃𝑝𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)))
1510eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐶𝑝 ∈ (Base‘𝑄))
16 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
178, 9, 5quselbas 19203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] ))
181, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] ))
1915, 18bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑝𝐶 ↔ ∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] ))
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 rnggrp 20156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
251ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprng1elbas 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑1𝐵)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 1𝐵)
285, 6rngcl 20162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝑐𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
2925, 27, 24, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
30 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-g𝑅) = (-g𝑅)
315, 30grpsubcl 19039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
3223, 24, 29, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
345, 332idlss 21273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼𝐵)
352, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐼𝐵)
3635sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐼) → 𝑞𝐵)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑞𝐵)
385, 20, 23, 32, 37grpcld 18966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ) → ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
40 opeq1 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = [𝑐] → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] , 𝑞⟩)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] , 𝑞⟩)
42 eceq1 8785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) → [𝑎] = [((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] )
43 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) → ( 1 · 𝑎) = ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)))
4442, 43opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) → ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩ = ⟨[((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] , ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞))⟩)
4541, 44eqeqan12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ) ∧ 𝑎 = ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩ ↔ ⟨[𝑐] , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] , ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞))⟩))
46 rngabl 20153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
471, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
495, 20, 30ablsubaddsub 19833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑐𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵𝑞𝐵)) → (((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)(-g𝑅)𝑐) = (𝑞(-g𝑅)( 1 · 𝑐)))
5048, 24, 29, 37, 49syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)(-g𝑅)𝑐) = (𝑞(-g𝑅)( 1 · 𝑐)))
514ringgrpd 20240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐽 ∈ Grp)
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐽 ∈ Grp)
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
542, 3, 532idlbas 21274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
5554eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐼 = (Base‘𝐽))
5655eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑞𝐼𝑞 ∈ (Base‘𝐽)))
5756biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑞𝐼) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprngghmlem1 21298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑐𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
6059adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
61 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-g𝐽) = (-g𝐽)
6253, 61grpsubcl 19039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽) ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽)) → (𝑞(-g𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
6352, 58, 60, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑞(-g𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
64 ringrng 20283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
654, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐽 ∈ Rng)
663, 65eqeltrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) ∈ Rng)
671, 2, 66rng2idlnsg 21277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
68 nsgsubg 19177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
71 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑞𝐼)
7254ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
7360, 72eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼)
7430, 3, 61subgsub 19157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑞𝐼 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼) → (𝑞(-g𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g𝐽)( 1 · 𝑐)))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑞(-g𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g𝐽)( 1 · 𝑐)))
7655ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
7763, 75, 763eltr4d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑞(-g𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐼)
7850, 77eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → (((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐼)
795, 30, 8qusecsub 19854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑐𝐵 ∧ ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)) → ([𝑐] = [((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] ↔ (((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
8048, 70, 24, 38, 79syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ([𝑐] = [((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] ↔ (((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
8178, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → [𝑐] = [((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprngimfolem 21301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐼𝑐𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)) = 𝑞)
83823expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)) = 𝑞)
8483eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑞 = ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)))
8581, 84opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) → ⟨[𝑐] , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] , ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞))⟩)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ) → ⟨[𝑐] , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞)] , ( 1 · ((𝑐(-g𝑅)( 1 · 𝑐))(+g𝑅)𝑞))⟩)
8739, 45, 86rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑞𝐼) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ) → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
8887rexlimdva2 3156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐼) → (∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
8988ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑞𝐼 → (∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑐𝐵 𝑝 = [𝑐] → (𝑞𝐼 → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)))
9119, 90sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑝𝐶 → (𝑞𝐼 → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)))
9291impd 410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑝𝐶𝑞𝐼) → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
9392com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐶𝑞𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
9493adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
9594imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
96 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩)
971, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimfv 21309 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
9897adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
9996, 98eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎𝐵) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
10099rexbidva 3176 . . . . . . . 8 (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) → (∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ ∃𝑎𝐵𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩))
10195, 100mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎))
102101ex 412 . . . . . 6 ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎)))
103102exlimivv 1931 . . . . 5 (∃𝑝𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝𝐶𝑞𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎)))
10414, 103syl 17 . . . 4 (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎)))
105104impcom 407 . . 3 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)) → ∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎))
106105ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎))
107 dffo3 7121 . 2 (𝐹:𝐵onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎𝐵 𝑏 = (𝐹𝑎)))
10813, 106, 107sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹:𝐵onto→(𝐶 × 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  cop 4631  cmpt 5224   × cxp 5682  wf 6556  ontowfo 6558  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299   /s cqus 17551   ×s cxps 17552  Grpcgrp 18952  -gcsg 18954  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141  Abelcabl 19800  Rngcrng 20150  1rcur 20179  Ringcrg 20231  2Idealc2idl 21260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-subrng 20547  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-2idl 21261
This theorem is referenced by:  rngqiprngim  21315
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