Theorem rngqiprngimfo 21291

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring onto the product of the (base set of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set of the) two-sided ideal. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimfo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12		rngqiprngim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimf 21287	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
14		elxpi 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → ∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)))
15	10	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝑄))
16		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
17	8, 9, 5	quselbas 19150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
18	1, 16, 17	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
19	15, 18	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		rnggrp 20130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
25	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
28	5, 6	rngcl 20136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
29	25, 27, 24, 28	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
31	5, 30	grpsubcl 18987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
32	23, 24, 29, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
34	5, 33	2idlss 21252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
36	35	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
38	5, 20, 23, 32, 37	grpcld 18914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
40		opeq1 4817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = [𝑐] ∼ → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
42		eceq1 8676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → [𝑎] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
43		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ( 1 · 𝑎) = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
44	42, 43	opeq12d 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
45	41, 44	eqeqan12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) ∧ 𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ ↔ ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩))
46		rngabl 20127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
49	5, 20, 30	ablsubaddsub 19780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
50	48, 24, 29, 37, 49	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
51	4	ringgrpd 20214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Grp)
52	51	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Grp)
53		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
54	2, 3, 53	2idlbas 21253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
55	54	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
56	55	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽)))
57	56	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngghmlem1 21277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
60	59	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
61		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-g‘𝐽) = (-g‘𝐽)
62	53, 61	grpsubcl 18987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽) ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽)) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
63	52, 58, 60, 62	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
64		ringrng 20257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
65	4, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
66	3, 65	eqeltrrid 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
67	1, 2, 66	rng2idlnsg 21256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
68		nsgsubg 19124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
70	69	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
71		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐼)
72	54	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
73	60, 72	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼)
74	30, 3, 61	subgsub 19105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
76	55	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
77	63, 75, 76	3eltr4d 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐼)
78	50, 77	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼)
79	5, 30, 8	qusecsub 19801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
80	48, 70, 24, 38, 79	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
81	78, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → [𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngimfolem 21280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
83	82	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
85	81, 84	opeq12d 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
87	39, 45, 86	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
88	87	rexlimdva2 3141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
90	89	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
91	19, 90	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
92	91	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
93	92	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
95	94	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
96		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩)
97	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimfv 21288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
98	97	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
99	96, 98	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
100	99	rexbidva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
101	95, 100	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
102	101	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
103	102	exlimivv 1934	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
104	14, 103	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
105	104	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
106	105	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
107		dffo3 7048	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
108	13, 106, 107	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  [cec 8634  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212   /_s cqus 17460   ×_s cxps 17461  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089  Abelcabl 19747  Rngcrng 20124  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  2Idealc2idl 21239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-subrng 20514  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-2idl 21240

This theorem is referenced by:  rngqiprngim  21294