Theorem rngqiprngimfo 21597

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring onto the product of the (base set of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set of the) two-sided ideal. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimfo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12		rngqiprngim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimf 21593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
14		elxpi 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → ∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)))
15	10	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝑄))
16		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
17	8, 9, 5	quselbas 19399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
18	1, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
19	15, 18	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		rnggrp 20380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	1, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
25	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
28	5, 6	rngcl 20386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
29	25, 27, 24, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
30		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
31	5, 30	grpsubcl 19230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
32	23, 24, 29, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
34	5, 33	2idlss 21556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
35	2, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
36	35	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
38	5, 20, 23, 32, 37	grpcld 19158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
40		opeq1 4832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = [𝑐] ∼ → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
42		eceq1 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → [𝑎] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
43		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ( 1 · 𝑎) = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
44	42, 43	opeq12d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
45	41, 44	eqeqan12d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) ∧ 𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ ↔ ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩))
46		rngabl 20377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
47	1, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
48	47	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
49	5, 20, 30	ablsubaddsub 20028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
50	48, 24, 29, 37, 49	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
51	4	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Grp)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Grp)
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
54	2, 3, 53	2idlbas 21557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
55	54	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
56	55	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽)))
57	56	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngghmlem1 21583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
60	59	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
61		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-g‘𝐽) = (-g‘𝐽)
62	53, 61	grpsubcl 19230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽) ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽)) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
63	52, 58, 60, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
64		ringrng 20514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
65	4, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
66	3, 65	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
67	1, 2, 66	rng2idlnsg 21560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
68		nsgsubg 19368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
70	69	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
71		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐼)
72	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
73	60, 72	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼)
74	30, 3, 61	subgsub 19349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
76	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
77	63, 75, 76	3eltr4d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐼)
78	50, 77	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼)
79	5, 30, 8	qusecsub 20049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
80	48, 70, 24, 38, 79	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
81	78, 80	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → [𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngimfolem 21586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
83	82	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
84	83	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
85	81, 84	opeq12d 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
86	85	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
87	39, 45, 86	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
88	87	rexlimdva2 3165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
89	88	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
90	89	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
91	19, 90	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
92	91	impd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
93	92	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
94	93	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
95	94	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
96		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩)
97	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimfv 21594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
98	97	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
99	96, 98	eqeq12d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
100	99	rexbidva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
101	95, 100	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
102	101	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
103	102	exlimivv 1964	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
104	14, 103	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
105	104	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
106	105	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
107		dffo3 7102	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
108	13, 106, 107	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429   /_s cqus 17677   ×_s cxps 17678  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  SubGrpcsubg 19330  NrmSGrpcnsg 19331   ~_QG cqg 19332  Abelcabl 19995  Rngcrng 20374  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  2Idealc2idl 21542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-subrng 20798  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-2idl 21543

This theorem is used by:  rngqiprngim  21600