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Theorem rngqiprngimfo 21180
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring onto the product of the (base set of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set of the) two-sided ideal. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimfo (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem rngqiprngimfo
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
2 rng2idlring.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 rng2idlring.j . . 3 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 rng2idlring.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
5 rng2idlring.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 rng2idlring.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
7 rng2idlring.1 . . 3 1 = (1rβ€˜π½)
8 rngqiprngim.g . . 3 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9 rngqiprngim.q . . 3 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10 rngqiprngim.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
11 rngqiprngim.p . . 3 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
12 rngqiprngim.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimf 21176 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
14 elxpi 5694 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐢 Γ— 𝐼) β†’ βˆƒπ‘βˆƒπ‘ž(𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)))
1510eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
16 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
178, 9, 5quselbas 19130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑝 ∈ V) β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
181, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
1915, 18bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
20 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
21 rnggrp 20089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprng1elbas 21165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
285, 6rngcl 20095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐡)
2925, 27, 24, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐡)
30 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
315, 30grpsubcl 18967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐡) β†’ (𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)) ∈ 𝐡)
3223, 24, 29, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)) ∈ 𝐡)
33 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
345, 332idlss 21145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
352, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
3635sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
385, 20, 23, 32, 37grpcld 18895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) ∈ 𝐡)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) β†’ ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) ∈ 𝐡)
40 opeq1 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = [𝑐] ∼ β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[𝑐] ∼ , π‘žβŸ©)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[𝑐] ∼ , π‘žβŸ©)
42 eceq1 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) β†’ [π‘Ž] ∼ = [((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ )
43 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) β†’ ( 1 Β· π‘Ž) = ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)))
4442, 43opeq12d 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) β†’ ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩ = ⟨[((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ , ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž))⟩)
4541, 44eqeqan12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) ∧ π‘Ž = ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩ ↔ ⟨[𝑐] ∼ , π‘žβŸ© = ⟨[((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ , ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž))⟩))
46 rngabl 20086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Abel)
471, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
495, 20, 30ablsubaddsub 19760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑐 ∈ 𝐡 ∧ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)(-gβ€˜π‘…)𝑐) = (π‘ž(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)))
5048, 24, 29, 37, 49syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)(-gβ€˜π‘…)𝑐) = (π‘ž(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)))
514ringgrpd 20173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Grp)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ Grp)
53 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
542, 3, 532idlbas 21146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
5554eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (Baseβ€˜π½))
5655eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐼 ↔ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π½)))
5756biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π½))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π½))
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprngghmlem1 21166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑐) ∈ (Baseβ€˜π½))
6059adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑐) ∈ (Baseβ€˜π½))
61 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-gβ€˜π½) = (-gβ€˜π½)
6253, 61grpsubcl 18967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Grp ∧ π‘ž ∈ (Baseβ€˜π½) ∧ ( 1 Β· 𝑐) ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ (π‘ž(-gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑐)) ∈ (Baseβ€˜π½))
6352, 58, 60, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž(-gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑐)) ∈ (Baseβ€˜π½))
64 ringrng 20210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
654, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
663, 65eqeltrrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
671, 2, 66rng2idlnsg 21149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
68 nsgsubg 19104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
71 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘ž ∈ 𝐼)
7254ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
7360, 72eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐼)
7430, 3, 61subgsub 19084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ π‘ž ∈ 𝐼 ∧ ( 1 Β· 𝑐) ∈ 𝐼) β†’ (π‘ž(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)) = (π‘ž(-gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑐)))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)) = (π‘ž(-gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑐)))
7655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 = (Baseβ€˜π½))
7763, 75, 763eltr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐)) ∈ 𝐼)
7850, 77eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)(-gβ€˜π‘…)𝑐) ∈ 𝐼)
795, 30, 8qusecsub 19781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž) ∈ 𝐡)) β†’ ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ ↔ (((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)(-gβ€˜π‘…)𝑐) ∈ 𝐼))
8048, 70, 24, 38, 79syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ ↔ (((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)(-gβ€˜π‘…)𝑐) ∈ 𝐼))
8178, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ [𝑐] ∼ = [((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprngimfolem 21169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)) = π‘ž)
83823expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)) = π‘ž)
8483eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘ž = ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)))
8581, 84opeq12d 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ⟨[𝑐] ∼ , π‘žβŸ© = ⟨[((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ , ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž))⟩)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) β†’ ⟨[𝑐] ∼ , π‘žβŸ© = ⟨[((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž)] ∼ , ( 1 Β· ((𝑐(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝑐))(+gβ€˜π‘…)π‘ž))⟩)
8739, 45, 86rspcedvd 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
8887rexlimdva2 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
8988ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑝 = [𝑐] ∼ β†’ (π‘ž ∈ 𝐼 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)))
9119, 90sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 β†’ (π‘ž ∈ 𝐼 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)))
9291impd 410 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
9392com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
9493adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
9594imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
96 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
971, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimfv 21177 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
9897adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
9996, 98eqeq12d 2743 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
10099rexbidva 3171 . . . . . . . 8 (((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βŸ¨π‘, π‘žβŸ© = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩))
10195, 100mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) ∧ πœ‘) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž))
102101ex 412 . . . . . 6 ((𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž)))
103102exlimivv 1928 . . . . 5 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘ž(𝑏 = βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∧ (𝑝 ∈ 𝐢 ∧ π‘ž ∈ 𝐼)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž)))
10414, 103syl 17 . . . 4 (𝑏 ∈ (𝐢 Γ— 𝐼) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž)))
105104impcom 407 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐢 Γ— 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž))
106105ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 Γ— 𝐼)βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž))
107 dffo3 7106 . 2 (𝐹:𝐡–ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼) ↔ (𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝐢 Γ— 𝐼)βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 𝑏 = (πΉβ€˜π‘Ž)))
10813, 106, 107sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8716  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225   /s cqus 17478   Γ—s cxps 17479  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  SubGrpcsubg 19066  NrmSGrpcnsg 19067   ~QG cqg 19068  Abelcabl 19727  Rngcrng 20083  1rcur 20112  Ringcrg 20164  2Idealc2idl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-subrng 20472  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-2idl 21133
This theorem is referenced by:  rngqiprngim  21183
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