Theorem rngqiprngimfo 21359

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring onto the product of the (base set of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set of the) two-sided ideal. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfo	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimfo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12		rngqiprngim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimf 21355	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
14		elxpi 5665	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → ∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)))
15	10	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝑄))
16		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
17	8, 9, 5	quselbas 19216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
18	1, 16, 17	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
19	15, 18	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ ))
20		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		rnggrp 20195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
25	1	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
28	5, 6	rngcl 20201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
29	25, 27, 24, 28	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵)
30		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
31	5, 30	grpsubcl 19053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
32	23, 24, 29, 31	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
34	5, 33	2idlss 21320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
36	35	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
38	5, 20, 23, 32, 37	grpcld 18980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)
40		opeq1 4828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = [𝑐] ∼ → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
41	40	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩)
42		eceq1 8712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → [𝑎] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
43		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ( 1 · 𝑎) = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
44	42, 43	opeq12d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) → ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
45	41, 44	eqeqan12d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) ∧ 𝑎 = ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩ ↔ ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩))
46		rngabl 20192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
48	47	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
49	5, 20, 30	ablsubaddsub 19845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
50	48, 24, 29, 37, 49	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) = (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)))
51	4	ringgrpd 20279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Grp)
52	51	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Grp)
53		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
54	2, 3, 53	2idlbas 21321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
55	54	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
56	55	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽)))
57	56	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
58	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐽))
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngghmlem1 21345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
60	59	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽))
61		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-g‘𝐽) = (-g‘𝐽)
62	53, 61	grpsubcl 19053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐽) ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ (Base‘𝐽)) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
63	52, 58, 60, 62	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)) ∈ (Base‘𝐽))
64		ringrng 20322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
65	4, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
66	3, 65	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
67	1, 2, 66	rng2idlnsg 21324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
68		nsgsubg 19190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
70	69	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
71		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐼)
72	54	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
73	60, 72	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼)
74	30, 3, 61	subgsub 19171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ ( 1 · 𝑐) ∈ 𝐼) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
75	70, 71, 73, 74	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) = (𝑞(-g‘𝐽)( 1 · 𝑐)))
76	55	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
77	63, 75, 76	3eltr4d 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑞(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐)) ∈ 𝐼)
78	50, 77	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼)
79	5, 30, 8	qusecsub 19866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑐 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞) ∈ 𝐵)) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
80	48, 70, 24, 38, 79	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ([𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ ↔ (((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐼))
81	78, 80	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → [𝑐] ∼ = [((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprngimfolem 21348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
83	82	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)) = 𝑞)
84	83	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑞 = ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)))
85	81, 84	opeq12d 4836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
86	85	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ⟨[𝑐] ∼ , 𝑞⟩ = ⟨[((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞)] ∼ , ( 1 · ((𝑐(-g‘𝑅)( 1 · 𝑐))(+g‘𝑅)𝑞))⟩)
87	39, 45, 86	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 = [𝑐] ∼ ) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
88	87	rexlimdva2 3164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
89	88	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ 𝐼 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
90	89	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐵 𝑝 = [𝑐] ∼ → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
91	19, 90	sylbid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)))
92	91	impd 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
93	92	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
94	93	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
95	94	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
96		simplll 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩)
97	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimfv 21356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
98	97	adantll 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩)
99	96, 98	eqeq12d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
100	99	rexbidva 3183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ⟨𝑝, 𝑞⟩ = ⟨[𝑎] ∼ , ( 1 · 𝑎)⟩))
101	95, 100	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
102	101	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
103	102	exlimivv 1951	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝∃𝑞(𝑏 = ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ (𝑝 ∈ 𝐶 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
104	14, 103	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼) → (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
105	104	impcom 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
106	105	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎))
107		dffo3 7078	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝐶 × 𝐼)∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑏 = (𝐹‘𝑎)))
108	13, 106, 107	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4585   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  ⟶wf 6512  –onto→wfo 6514  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  [cec 8670  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278   /_s cqus 17526   ×_s cxps 17527  Grpcgrp 18966  -_gcsg 18968  SubGrpcsubg 19153  NrmSGrpcnsg 19154   ~_QG cqg 19155  Abelcabl 19812  Rngcrng 20189  1_rcur 20218  Ringcrg 20270  2Idealc2idl 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-0g 17461  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-subrng 20583  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-2idl 21308

This theorem is referenced by:  rngqiprngim  21362