Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  znfermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfermltl 31276
Description: Fermat's little theorem in ℤ/n. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
znfermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
Assertion
Ref Expression
znfermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16231 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12150 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6 zsscn 12184 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8 cnfldbas 20367 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
97, 8mgpbas 19510 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
106, 9sseqtri 3937 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13 cnring 20385 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
147ringmgp 19568 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16 cnfld1 20388 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
177, 16ringidval 19518 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18 1z 12207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
1917, 18eqeltrri 2835 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
215, 9, 20ress0g 18201 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
2215, 19, 6, 21mp3an 1463 . . . . . . . 8 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
235, 10, 11, 12, 22ressmulgnn0 31012 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
243, 4, 23syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
254zcnd 12283 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26 cnfldexp 20396 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2725, 3, 26syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2824, 27eqtrd 2777 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎𝑃))
2928fveq2d 6721 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)))
30 nnnn0 12097 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31 znfermltl.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
3231zncrng 20509 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3332crngringd 19575 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ Ring)
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
3534zrhrhm 20478 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37 zringmpg 20458 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3937, 38rhmmhm 19742 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
401, 30, 36, 394syl 19 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
4140ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
425, 9ressbas2 16791 . . . . . . 7 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
436, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44 eqid 2737 . . . . . 6 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45 znfermltl.p . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
4643, 44, 45mhmmulg 18532 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
4741, 3, 4, 46syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
491adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12150 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51 zexpcl 13650 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
5248, 50, 51syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
5453zringsubgval 20457 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5552, 48, 54syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5655fveq2d 6721 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
5752zred 12282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℝ)
58 zre 12180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
5958adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
6049nnrpd 12626 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61 fermltl 16337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
6357, 59, 59, 59, 60, 61, 62modsub12d 13501 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎𝑎) mod 𝑃))
64 zcn 12181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
6564subidd 11177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎𝑎) = 0)
6665adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑎) = 0)
6766oveq1d 7228 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68 0mod 13475 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
6960, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
7063, 67, 693eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
7152, 48zsubcld 12287 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72 dvdsval3 15819 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7349, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7470, 73mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎))
75 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
7631, 34, 75zndvds0 20515 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7750, 71, 76syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7874, 77mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍))
79 rhmghm 19745 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
8050, 36, 793syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81 zringbas 20441 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
82 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (-g𝑍) = (-g𝑍)
8381, 53, 82ghmsub 18630 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8480, 52, 48, 83syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8556, 78, 843eqtr3rd 2786 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍))
861, 30, 333syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
8786ringgrpd 19571 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
8887adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
9081, 89rhmf 19746 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9150, 36, 903syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9291, 52ffvelrnd 6905 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
9391, 48ffvelrnd 6905 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
9489, 75, 82grpsubeq0 18449 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9588, 92, 93, 94syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9685, 95mpbid 235 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9796ad4ant13 751 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9829, 47, 973eqtr3d 2785 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99 oveq2 7221 . . . 4 (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
10099adantl 485 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101 simpr 488 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
10298, 100, 1013eqtr4d 2787 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
103 znfermltl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
10431, 103, 34znzrhfo 20512 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
1051, 30, 1043syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
106 foelrn 6925 . . 3 (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107105, 106sylan 583 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108102, 107r19.29a 3208 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  wf 6376  ontowfo 6378  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730  cmin 11062  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  +crp 12586   mod cmo 13442  cexp 13635  cdvds 15815  cprime 16228  Basecbs 16760  s cress 16784  0gc0g 16944  Mndcmnd 18173   MndHom cmhm 18216  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366  -gcsg 18367  .gcmg 18488   GrpHom cghm 18619  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562   RingHom crh 19732  fldccnfld 20363  ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466  ℤ/nczn 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-phi 16319  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-imas 17013  df-qus 17014  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-nsg 18541  df-eqg 18542  df-ghm 18620  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-lidl 20211  df-rsp 20212  df-2idl 20270  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-zn 20473
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  31384
  Copyright terms: Public domain W3C validator