Theorem znfermltl 33245

Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znfermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
znfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6		zsscn 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8		cnfldbas 21341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9	7, 8	mgpbas 20117	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
10	6, 9	sseqtri 4016	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13		cnring 21376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	7	ringmgp 20216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16		cnfld1 21379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
17	7, 16	ringidval 20160	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18		1z 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
19	17, 18	eqeltrri 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
21	5, 9, 20	ress0g 18748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
22	15, 19, 6, 21	mp3an 1458	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
23	5, 10, 11, 12, 22	ressmulgnn0 19065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
24	3, 4, 23	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
25	4	zcnd 12711	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		cnfldexp 21390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
27	25, 3, 26	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
28	24, 27	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
29	28	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)))
30		nnnn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31		znfermltl.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
32	31	zncrng 21536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ Ring)
34		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
35	34	zrhrhm 21495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37		zringmpg 21455	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
39	37, 38	rhmmhm 20455	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
40	1, 30, 36, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
41	40	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
42	5, 9	ressbas2 17244	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
43	6, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45		znfermltl.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
46	43, 44, 45	mhmmulg 19103	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
47	41, 3, 4, 46	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
49	1	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51		zexpcl 14088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
53		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
54	53	zringsubgval 21454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
55	52, 48, 54	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
56	55	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
57	52	zred 12710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℝ)
58		zre 12606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
59	58	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
60	49	nnrpd 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61		fermltl 16779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62		eqidd 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
63	57, 59, 59, 59, 60, 61, 62	modsub12d 13940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃))
64		zcn 12607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
65	64	subidd 11598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 𝑎) = 0)
66	65	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
67	66	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68		0mod 13914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
69	60, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
71	52, 48	zsubcld 12715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72		dvdsval3 16253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
73	49, 71, 72	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
74	70, 73	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎))
75		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
76	31, 34, 75	zndvds0 21542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
77	50, 71, 76	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
78	74, 77	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍))
79		rhmghm 20460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
80	50, 36, 79	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81		zringbas 21437	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
83	81, 53, 82	ghmsub 19212	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
84	80, 52, 48, 83	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
85	56, 78, 84	3eqtr3rd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍))
86	1, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
87	86	ringgrpd 20219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
88	87	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
90	81, 89	rhmf 20461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
91	50, 36, 90	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
92	91, 52	ffvelcdmd 7089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
93	91, 48	ffvelcdmd 7089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
94	89, 75, 82	grpsubeq0 19014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
95	88, 92, 93, 94	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
96	85, 95	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
97	96	ad4ant13 749	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
98	29, 47, 97	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
100	99	adantl 480	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
102	98, 100, 101	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
103		znfermltl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
104	31, 103, 34	znzrhfo 21539	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
105	1, 30, 104	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
106		foelrn 7111	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107	105, 106	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108	102, 107	r19.29a 3152	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5144  ⟶wf 6540  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  ℂcc 11145  ℝcr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   − cmin 11483  ℕcn 12256  ℕ₀cn0 12516  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13020   mod cmo 13881  ↑cexp 14073   ∥ cdvds 16249  ℙcprime 16665  Basecbs 17206   ↾_s cress 17235  0_gc0g 17447  Mndcmnd 18720   MndHom cmhm 18764  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  ._gcmg 19055   GrpHom cghm 19200  mulGrpcmgp 20111  Ringcrg 20210   RingHom crh 20445  ℂ_fldccnfld 21337  ℤ_ringczring 21430  ℤRHomczrh 21483  ℤ/nℤczn 21486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226  ax-mulf 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-dvds 16250  df-gcd 16488  df-prm 16666  df-phi 16761  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-0g 17449  df-imas 17516  df-qus 17517  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-cring 20213  df-oppr 20310  df-dvdsr 20333  df-unit 20334  df-invr 20364  df-dvr 20377  df-rhm 20448  df-subrng 20522  df-subrg 20547  df-drng 20703  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-lidl 21191  df-rsp 21192  df-2idl 21233  df-cnfld 21338  df-zring 21431  df-zrh 21487  df-zn 21490

This theorem is referenced by: (None)