Theorem znfermltl 33681

Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znfermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
znfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6		zsscn 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8		cnfldbas 21526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9	7, 8	mgpbas 20216	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
10	6, 9	sseqtri 3985	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13		cnring 21544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	7	ringmgp 20316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16		cnfld1 21547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
17	7, 16	ringidval 20260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18		1z 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
19	17, 18	eqeltrri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
21	5, 9, 20	ress0g 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
22	15, 19, 6, 21	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
23	5, 10, 11, 12, 22	ressmulgnn0 19138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
24	3, 4, 23	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
25	4	zcnd 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		cnfldexp 21555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
27	25, 3, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
28	24, 27	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
29	28	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)))
30		nnnn0 12506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31		znfermltl.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
32	31	zncrng 21694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ Ring)
34		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
35	34	zrhrhm 21661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
36	33, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37		zringmpg 21621	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
39	37, 38	rhmmhm 20558	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
40	1, 30, 36, 39	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
41	40	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
42	5, 9	ressbas2 17293	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
43	6, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45		znfermltl.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
46	43, 44, 45	mhmmulg 19176	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
47	41, 3, 4, 46	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
49	1	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51		zexpcl 14108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
54	53	zringsubgval 21620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
55	52, 48, 54	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
56	55	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
57	52	zred 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℝ)
58		zre 12590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
59	58	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
60	49	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61		fermltl 16838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
63	57, 59, 59, 59, 60, 61, 62	modsub12d 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃))
64		zcn 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
65	64	subidd 11552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 𝑎) = 0)
66	65	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
67	66	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68		0mod 13931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
69	60, 68	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
71	52, 48	zsubcld 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72		dvdsval3 16309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
73	49, 71, 72	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
74	70, 73	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎))
75		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
76	31, 34, 75	zndvds0 21700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
77	50, 71, 76	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
78	74, 77	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍))
79		rhmghm 20562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
80	50, 36, 79	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81		zringbas 21603	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
83	81, 53, 82	ghmsub 19289	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
84	80, 52, 48, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
85	56, 78, 84	3eqtr3rd 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍))
86	1, 30, 33	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
87	86	ringgrpd 20319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
88	87	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
90	81, 89	rhmf 20563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
91	50, 36, 90	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
92	91, 52	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
93	91, 48	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
94	89, 75, 82	grpsubeq0 19087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
95	88, 92, 93, 94	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
96	85, 95	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
97	96	ad4ant13 763	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
98	29, 47, 97	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
100	99	adantl 486	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101		simpr 489	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
102	98, 100, 101	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
103		znfermltl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
104	31, 103, 34	znzrhfo 21697	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
105	1, 30, 104	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
106		foelrn 7102	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107	105, 106	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108	102, 107	r19.29a 3173	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787   MndHom cmhm 18834  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  ._gcmg 19128   GrpHom cghm 19278  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310   RingHom crh 20547  ℂ_fldccnfld 21522  ℤ_ringczring 21596  ℤRHomczrh 21649  ℤ/nℤczn 21652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-phi 16820  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-eqg 19186  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-rsp 21333  df-2idl 21389  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-zrh 21653  df-zn 21656

This theorem is referenced by: (None)