Theorem znfermltl 33747

Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znfermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
znfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6		zsscn 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8		cnfldbas 21578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9	7, 8	mgpbas 20267	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
10	6, 9	sseqtri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13		cnring 21596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	7	ringmgp 20367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16		cnfld1 21599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
17	7, 16	ringidval 20311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18		1z 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
19	17, 18	eqeltrri 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
21	5, 9, 20	ress0g 18857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
22	15, 19, 6, 21	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
23	5, 10, 11, 12, 22	ressmulgnn0 19189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
24	3, 4, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
25	4	zcnd 12719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		cnfldexp 21607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
27	25, 3, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
28	24, 27	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
29	28	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)))
30		nnnn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31		znfermltl.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
32	31	zncrng 21746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ Ring)
34		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
35	34	zrhrhm 21713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
36	33, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37		zringmpg 21673	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
39	37, 38	rhmmhm 20610	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
40	1, 30, 36, 39	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
41	40	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
42	5, 9	ressbas2 17322	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
43	6, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45		znfermltl.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
46	43, 44, 45	mhmmulg 19227	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
47	41, 3, 4, 46	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
49	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51		zexpcl 14132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
53		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
54	53	zringsubgval 21672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
55	52, 48, 54	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
56	55	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
57	52	zred 12718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℝ)
58		zre 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
60	49	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61		fermltl 16867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62		eqidd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
63	57, 59, 59, 59, 60, 61, 62	modsub12d 13984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃))
64		zcn 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
65	64	subidd 11574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 𝑎) = 0)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
67	66	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68		0mod 13955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
69	60, 68	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
71	52, 48	zsubcld 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72		dvdsval3 16338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
73	49, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
74	70, 73	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎))
75		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
76	31, 34, 75	zndvds0 21752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
77	50, 71, 76	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
78	74, 77	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍))
79		rhmghm 20614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
80	50, 36, 79	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81		zringbas 21655	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
83	81, 53, 82	ghmsub 19340	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
84	80, 52, 48, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
85	56, 78, 84	3eqtr3rd 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍))
86	1, 30, 33	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
87	86	ringgrpd 20370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
88	87	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
90	81, 89	rhmf 20615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
91	50, 36, 90	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
92	91, 52	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
93	91, 48	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
94	89, 75, 82	grpsubeq0 19138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
95	88, 92, 93, 94	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
96	85, 95	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
97	96	ad4ant13 764	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
98	29, 47, 97	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99		oveq2 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
100	99	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
102	98, 100, 101	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
103		znfermltl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
104	31, 103, 34	znzrhfo 21749	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
105	1, 30, 104	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
106		foelrn 7106	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107	105, 106	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108	102, 107	r19.29a 3175	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   − cmin 11458  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922  ↑cexp 14117   ∥ cdvds 16334  ℙcprime 16753  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516  Mndcmnd 18826   MndHom cmhm 18878  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047  -_gcsg 19048  ._gcmg 19179   GrpHom cghm 19329  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361   RingHom crh 20599  ℂ_fldccnfld 21574  ℤ_ringczring 21648  ℤRHomczrh 21701  ℤ/nℤczn 21704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-prm 16754  df-phi 16849  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-0g 17518  df-imas 17586  df-qus 17587  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-eqg 19237  df-ghm 19330  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-rsp 21385  df-2idl 21441  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-zn 21708

This theorem is used by: (None)