Theorem znfermltl 33337

Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znfermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
znfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6		zsscn 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8		cnfldbas 21268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9	7, 8	mgpbas 20054	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
10	6, 9	sseqtri 3995	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13		cnring 21302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	7	ringmgp 20148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16		cnfld1 21305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
17	7, 16	ringidval 20092	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18		1z 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
19	17, 18	eqeltrri 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
21	5, 9, 20	ress0g 18689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
22	15, 19, 6, 21	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
23	5, 10, 11, 12, 22	ressmulgnn0 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
24	3, 4, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
25	4	zcnd 12639	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		cnfldexp 21316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
27	25, 3, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
28	24, 27	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
29	28	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)))
30		nnnn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31		znfermltl.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
32	31	zncrng 21454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ Ring)
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
35	34	zrhrhm 21421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37		zringmpg 21381	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
39	37, 38	rhmmhm 20388	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
40	1, 30, 36, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
41	40	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
42	5, 9	ressbas2 17208	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
43	6, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45		znfermltl.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
46	43, 44, 45	mhmmulg 19047	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
47	41, 3, 4, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
49	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51		zexpcl 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
53		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
54	53	zringsubgval 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
55	52, 48, 54	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
56	55	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
57	52	zred 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℝ)
58		zre 12533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
60	49	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61		fermltl 16754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
63	57, 59, 59, 59, 60, 61, 62	modsub12d 13893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃))
64		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
65	64	subidd 11521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 𝑎) = 0)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
67	66	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68		0mod 13864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
69	60, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
71	52, 48	zsubcld 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72		dvdsval3 16226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
73	49, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
74	70, 73	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎))
75		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
76	31, 34, 75	zndvds0 21460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
77	50, 71, 76	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
78	74, 77	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍))
79		rhmghm 20393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
80	50, 36, 79	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81		zringbas 21363	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
83	81, 53, 82	ghmsub 19156	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
84	80, 52, 48, 83	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
85	56, 78, 84	3eqtr3rd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍))
86	1, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
87	86	ringgrpd 20151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
90	81, 89	rhmf 20394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
91	50, 36, 90	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
92	91, 52	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
93	91, 48	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
94	89, 75, 82	grpsubeq0 18958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
95	88, 92, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
96	85, 95	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
97	96	ad4ant13 751	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
98	29, 47, 97	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
100	99	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
102	98, 100, 101	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
103		znfermltl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
104	31, 103, 34	znzrhfo 21457	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
105	1, 30, 104	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
106		foelrn 7079	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107	105, 106	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108	102, 107	r19.29a 3141	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951   mod cmo 13831  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867  ._gcmg 18999   GrpHom cghm 19144  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142   RingHom crh 20378  ℂ_fldccnfld 21264  ℤ_ringczring 21356  ℤRHomczrh 21409  ℤ/nℤczn 21412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-zn 21416

This theorem is referenced by: (None)