Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  znfermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfermltl 31028
 Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
znfermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
Assertion
Ref Expression
znfermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16025 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11960 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6 zsscn 11994 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
7 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8 cnfldbas 20113 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
97, 8mgpbas 19256 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
106, 9sseqtri 3952 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11 eqid 2798 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12 eqid 2798 . . . . . . . 8 (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13 cnring 20131 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
147ringmgp 19314 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16 cnfld1 20134 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
177, 16ringidval 19264 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18 1z 12017 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
1917, 18eqeltrri 2887 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
215, 9, 20ress0g 17948 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
2215, 19, 6, 21mp3an 1458 . . . . . . . 8 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
235, 10, 11, 12, 22ressmulgnn0 30764 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
243, 4, 23syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
254zcnd 12093 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26 cnfldexp 20142 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2725, 3, 26syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2824, 27eqtrd 2833 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎𝑃))
2928fveq2d 6656 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)))
30 nnnn0 11907 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31 znfermltl.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
3231zncrng 20255 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3332crngringd 19321 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ Ring)
34 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
3534zrhrhm 20224 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37 zringmpg 20204 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38 eqid 2798 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3937, 38rhmmhm 19488 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
401, 30, 36, 394syl 19 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
4140ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
425, 9ressbas2 16564 . . . . . . 7 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
436, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44 eqid 2798 . . . . . 6 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45 znfermltl.p . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
4643, 44, 45mhmmulg 18278 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
4741, 3, 4, 46syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
491adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
5049nnnn0d 11960 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51 zexpcl 13457 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
5248, 50, 51syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
53 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
5453zringsubgval 20203 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5552, 48, 54syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5655fveq2d 6656 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
5752zred 12092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℝ)
58 zre 11990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
5958adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
6049nnrpd 12434 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61 fermltl 16128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62 eqidd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
6357, 59, 59, 59, 60, 61, 62modsub12d 13308 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎𝑎) mod 𝑃))
64 zcn 11991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
6564subidd 10989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎𝑎) = 0)
6665adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑎) = 0)
6766oveq1d 7157 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68 0mod 13282 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
6960, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
7063, 67, 693eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
7152, 48zsubcld 12097 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72 dvdsval3 15620 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7349, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7470, 73mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎))
75 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
7631, 34, 75zndvds0 20261 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7750, 71, 76syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7874, 77mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍))
79 rhmghm 19491 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
8050, 36, 793syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81 zringbas 20187 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
82 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (-g𝑍) = (-g𝑍)
8381, 53, 82ghmsub 18376 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8480, 52, 48, 83syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8556, 78, 843eqtr3rd 2842 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍))
861, 30, 333syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
8786ringgrpd 19317 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
8887adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
9081, 89rhmf 19492 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9150, 36, 903syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9291, 52ffvelrnd 6836 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
9391, 48ffvelrnd 6836 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
9489, 75, 82grpsubeq0 18195 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9588, 92, 93, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9685, 95mpbid 235 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9796ad4ant13 750 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9829, 47, 973eqtr3d 2841 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99 oveq2 7150 . . . 4 (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
10099adantl 485 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101 simpr 488 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
10298, 100, 1013eqtr4d 2843 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
103 znfermltl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
10431, 103, 34znzrhfo 20258 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
1051, 30, 1043syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
106 foelrn 6856 . . 3 (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107105, 106sylan 583 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108102, 107r19.29a 3248 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3882   class class class wbr 5033  ⟶wf 6325  –onto→wfo 6327  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  ℝcr 10540  0cc0 10541  1c1 10542   − cmin 10874  ℕcn 11640  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11986  ℝ+crp 12394   mod cmo 13249  ↑cexp 13442   ∥ cdvds 15616  ℙcprime 16022  Basecbs 16492   ↾s cress 16493  0gc0g 16722  Mndcmnd 17920   MndHom cmhm 17963  Grpcgrp 18112  invgcminusg 18113  -gcsg 18114  .gcmg 18234   GrpHom cghm 18365  mulGrpcmgp 19250  Ringcrg 19308   RingHom crh 19478  ℂfldccnfld 20109  ℤringzring 20181  ℤRHomczrh 20212  ℤ/nℤczn 20215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619  ax-addf 10620  ax-mulf 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ec 8289  df-qs 8293  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11973  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-rp 12395  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-fl 13174  df-mod 13250  df-seq 13382  df-exp 13443  df-hash 13704  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-dvds 15617  df-gcd 15851  df-prm 16023  df-phi 16110  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-0g 16724  df-imas 16790  df-qus 16791  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-mulg 18235  df-subg 18286  df-nsg 18287  df-eqg 18288  df-ghm 18366  df-cmn 18918  df-abl 18919  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-ring 19310  df-cring 19311  df-oppr 19387  df-dvdsr 19405  df-unit 19406  df-invr 19436  df-dvr 19447  df-rnghom 19481  df-drng 19515  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-lsp 19755  df-sra 19955  df-rgmod 19956  df-lidl 19957  df-rsp 19958  df-2idl 20016  df-cnfld 20110  df-zring 20182  df-zrh 20216  df-zn 20219 This theorem is referenced by:  ply1fermltl  31136
 Copyright terms: Public domain W3C validator