Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  znfermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfermltl 32202
Description: Fermat's little theorem in ℤ/n. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
znfermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
Assertion
Ref Expression
znfermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16555 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12478 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6 zsscn 12512 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
7 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
97, 8mgpbas 19907 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
106, 9sseqtri 3981 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13 cnring 20835 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
147ringmgp 19975 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16 cnfld1 20838 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
177, 16ringidval 19920 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18 1z 12538 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
1917, 18eqeltrri 2831 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
215, 9, 20ress0g 18589 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
2215, 19, 6, 21mp3an 1462 . . . . . . . 8 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
235, 10, 11, 12, 22ressmulgnn0 31924 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
243, 4, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
254zcnd 12613 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26 cnfldexp 20846 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2725, 3, 26syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2824, 27eqtrd 2773 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎𝑃))
2928fveq2d 6847 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)))
30 nnnn0 12425 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31 znfermltl.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
3231zncrng 20967 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3332crngringd 19982 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ Ring)
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
3534zrhrhm 20928 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37 zringmpg 20908 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3937, 38rhmmhm 20160 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
401, 30, 36, 394syl 19 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
4140ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
425, 9ressbas2 17125 . . . . . . 7 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
436, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44 eqid 2733 . . . . . 6 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45 znfermltl.p . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
4643, 44, 45mhmmulg 18922 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
4741, 3, 4, 46syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
491adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12478 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51 zexpcl 13988 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
53 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
5453zringsubgval 20907 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5552, 48, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5655fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
5752zred 12612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℝ)
58 zre 12508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
6049nnrpd 12960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61 fermltl 16661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
6357, 59, 59, 59, 60, 61, 62modsub12d 13839 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎𝑎) mod 𝑃))
64 zcn 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
6564subidd 11505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎𝑎) = 0)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑎) = 0)
6766oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68 0mod 13813 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
6960, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
7063, 67, 693eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
7152, 48zsubcld 12617 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72 dvdsval3 16145 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7349, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7470, 73mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎))
75 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
7631, 34, 75zndvds0 20973 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7750, 71, 76syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7874, 77mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍))
79 rhmghm 20164 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
8050, 36, 793syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81 zringbas 20891 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
82 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (-g𝑍) = (-g𝑍)
8381, 53, 82ghmsub 19021 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8480, 52, 48, 83syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8556, 78, 843eqtr3rd 2782 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍))
861, 30, 333syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
8786ringgrpd 19978 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
8887adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
9081, 89rhmf 20165 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9150, 36, 903syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9291, 52ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
9391, 48ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
9489, 75, 82grpsubeq0 18838 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9588, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9685, 95mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9796ad4ant13 750 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9829, 47, 973eqtr3d 2781 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99 oveq2 7366 . . . 4 (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
10099adantl 483 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101 simpr 486 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
10298, 100, 1013eqtr4d 2783 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
103 znfermltl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
10431, 103, 34znzrhfo 20970 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
1051, 30, 1043syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
106 foelrn 7057 . . 3 (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107105, 106sylan 581 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108102, 107r19.29a 3156 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  wss 3911   class class class wbr 5106  wf 6493  ontowfo 6495  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  cmin 11390  cn 12158  0cn0 12418  cz 12504  +crp 12920   mod cmo 13780  cexp 13973  cdvds 16141  cprime 16552  Basecbs 17088  s cress 17117  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  .gcmg 18877   GrpHom cghm 19010  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969   RingHom crh 20150  fldccnfld 20812  ringczring 20885  ℤRHomczrh 20916  ℤ/nczn 20919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-phi 16643  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator