Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  znfermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfermltl 32479
Description: Fermat's little theorem in ℤ/n. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
znfermltl.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
Assertion
Ref Expression
znfermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16611 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6 zsscn 12566 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
7 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8 cnfldbas 20948 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
97, 8mgpbas 19993 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
106, 9sseqtri 4019 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13 cnring 20967 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
147ringmgp 20062 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16 cnfld1 20970 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
177, 16ringidval 20006 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18 1z 12592 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
1917, 18eqeltrri 2831 . . . . . . . . 9 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
215, 9, 20ress0g 18653 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
2215, 19, 6, 21mp3an 1462 . . . . . . . 8 (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
235, 10, 11, 12, 22ressmulgnn0 32185 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
243, 4, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
254zcnd 12667 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26 cnfldexp 20978 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2725, 3, 26syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎𝑃))
2824, 27eqtrd 2773 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎𝑃))
2928fveq2d 6896 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)))
30 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31 znfermltl.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
3231zncrng 21100 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3332crngringd 20069 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ0𝑍 ∈ Ring)
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
3534zrhrhm 21061 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37 zringmpg 21041 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3937, 38rhmmhm 20258 . . . . . . 7 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
401, 30, 36, 394syl 19 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
4140ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
425, 9ressbas2 17182 . . . . . . 7 (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
436, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44 eqid 2733 . . . . . 6 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45 znfermltl.p . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
4643, 44, 45mhmmulg 18995 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
4741, 3, 4, 46syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
491adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51 zexpcl 14042 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℤ)
53 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
5453zringsubgval 21040 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5552, 48, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) = ((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
5655fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
5752zred 12666 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑃) ∈ ℝ)
58 zre 12562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
6049nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61 fermltl 16717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
6357, 59, 59, 59, 60, 61, 62modsub12d 13893 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎𝑎) mod 𝑃))
64 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
6564subidd 11559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎𝑎) = 0)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝑎) = 0)
6766oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68 0mod 13867 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
6960, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
7063, 67, 693eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
7152, 48zsubcld 12671 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72 dvdsval3 16201 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7349, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
7470, 73mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎))
75 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g𝑍) = (0g𝑍)
7631, 34, 75zndvds0 21106 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7750, 71, 76syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎𝑃) − 𝑎)))
7874, 77mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃) − 𝑎)) = (0g𝑍))
79 rhmghm 20262 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
8050, 36, 793syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81 zringbas 21023 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
82 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (-g𝑍) = (-g𝑍)
8381, 53, 82ghmsub 19100 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8480, 52, 48, 83syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
8556, 78, 843eqtr3rd 2782 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍))
861, 30, 333syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
8786ringgrpd 20065 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
8887adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
9081, 89rhmf 20263 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9150, 36, 903syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
9291, 52ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
9391, 48ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
9489, 75, 82grpsubeq0 18909 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9588, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃))(-g𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
9685, 95mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9796ad4ant13 750 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
9829, 47, 973eqtr3d 2781 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99 oveq2 7417 . . . 4 (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
10099adantl 483 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = (𝑃 ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101 simpr 486 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
10298, 100, 1013eqtr4d 2783 . 2 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
103 znfermltl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
10431, 103, 34znzrhfo 21103 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
1051, 30, 1043syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵)
106 foelrn 7108 . . 3 (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto𝐵𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107105, 106sylan 581 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108102, 107r19.29a 3163 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  wss 3949   class class class wbr 5149  wf 6540  ontowfo 6542  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  cmin 11444  cn 12212  0cn0 12472  cz 12558  +crp 12974   mod cmo 13834  cexp 14027  cdvds 16197  cprime 16608  Basecbs 17144  s cress 17173  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  .gcmg 18950   GrpHom cghm 19089  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056   RingHom crh 20248  fldccnfld 20944  ringczring 21017  ℤRHomczrh 21049  ℤ/nczn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator