Theorem znfermltl 33303

Description: Fermat's little theorem in ℤ/nℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znfermltl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
znfermltl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
znfermltl.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
znfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem znfermltl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6		zsscn 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
8		cnfldbas 21265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9	7, 8	mgpbas 20030	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
10	6, 9	sseqtri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
13		cnring 21297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	7	ringmgp 20124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
16		cnfld1 21300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
17	7, 16	ringidval 20068	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
18		1z 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
19	17, 18	eqeltrri 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
20		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
21	5, 9, 20	ress0g 18636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
22	15, 19, 6, 21	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
23	5, 10, 11, 12, 22	ressmulgnn0 18956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
24	3, 4, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎))
25	4	zcnd 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		cnfldexp 21311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
27	25, 3, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
28	24, 27	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎) = (𝑎↑𝑃))
29	28	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)))
30		nnnn0 12391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
31		znfermltl.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
32	31	zncrng 21451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ Ring)
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑍) = (ℤRHom‘𝑍)
35	34	zrhrhm 21418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
37		zringmpg 21378	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
38		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
39	37, 38	rhmmhm 20364	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
40	1, 30, 36, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
41	40	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
42	5, 9	ressbas2 17149	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
43	6, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
44		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
45		znfermltl.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
46	43, 44, 45	mhmmulg 18994	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
47	41, 3, 4, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑎)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
49	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
51		zexpcl 13983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ)
53		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
54	53	zringsubgval 21377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
55	52, 48, 54	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) = ((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎))
56	55	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)))
57	52	zred 12580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎↑𝑃) ∈ ℝ)
58		zre 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
60	49	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
61		fermltl 16695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
62		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 mod 𝑃) = (𝑎 mod 𝑃))
63	57, 59, 59, 59, 60, 61, 62	modsub12d 13835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃))
64		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
65	64	subidd 11463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 𝑎) = 0)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
67	66	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑎) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
68		0mod 13806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
69	60, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑃) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0)
71	52, 48	zsubcld 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ)
72		dvdsval3 16167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
73	49, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ↔ (((𝑎↑𝑃) − 𝑎) mod 𝑃) = 0))
74	70, 73	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎))
75		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
76	31, 34, 75	zndvds0 21457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
77	50, 71, 76	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑎↑𝑃) − 𝑎)))
78	74, 77	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃) − 𝑎)) = (0g‘𝑍))
79		rhmghm 20369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
80	50, 36, 79	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍))
81		zringbas 21360	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
83	81, 53, 82	ghmsub 19103	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring GrpHom 𝑍) ∧ (𝑎↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
84	80, 52, 48, 83	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘((𝑎↑𝑃)(-g‘ℤring)𝑎)) = (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
85	56, 78, 84	3eqtr3rd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍))
86	1, 30, 33	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Ring)
87	86	ringgrpd 20127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑍 ∈ Grp)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ Grp)
89		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
90	81, 89	rhmf 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝑍) ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
91	50, 36, 90	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (ℤRHom‘𝑍):ℤ⟶(Base‘𝑍))
92	91, 52	ffvelcdmd 7019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍))
93	91, 48	ffvelcdmd 7019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍))
94	89, 75, 82	grpsubeq0 18905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑍)) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
95	88, 92, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃))(-g‘𝑍)((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = (0g‘𝑍) ↔ ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
96	85, 95	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
97	96	ad4ant13 751	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → ((ℤRHom‘𝑍)‘(𝑎↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
98	29, 47, 97	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
99		oveq2 7357	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
100	99	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)))
101		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
102	98, 100, 101	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
103		znfermltl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
104	31, 103, 34	znzrhfo 21454	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
105	1, 30, 104	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵)
106		foelrn 7041	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑍):ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
107	105, 106	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝑍)‘𝑎))
108	102, 107	r19.29a 3137	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  –onto→wfo 6480  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893   mod cmo 13773  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18608   MndHom cmhm 18655  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  -_gcsg 18814  ._gcmg 18946   GrpHom cghm 19091  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118   RingHom crh 20354  ℂ_fldccnfld 21261  ℤ_ringczring 21353  ℤRHomczrh 21406  ℤ/nℤczn 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zn 21413

This theorem is referenced by: (None)