Theorem choc0 31048

Description: The orthocomplement of the zero subspace is the unit subspace. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc0	⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ

Proof of Theorem choc0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elsh 30978	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 31004	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4		hi02 30819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
5		df-ral 3054	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
6		elch0 30976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℎ)
7	6	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
8	7	albii 1813	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ ∀𝑦(𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
9		ax-hv0cl 30725	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	elexi 3486	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ V
11		oveq2 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 0ℎ))
12	11	eqeq1d 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0))
13	10, 12	ceqsalv 3504	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
14	8, 13	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
15	5, 14	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
16	4, 15	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
17		abai 824	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
18	16, 17	mpbiran2 707	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
19	3, 18	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
20	19	eqriv 2721	1 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106   ℋchba 30641   ·_ih csp 30644  0_ℎc0v 30646   S_ℋ csh 30650  ⊥cort 30652  0_ℋc0h 30657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30721  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-lm 23055  df-haus 23141  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-gdiv 30218  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-vs 30321  df-nmcv 30322  df-ims 30323  df-hnorm 30690  df-hvsub 30693  df-hlim 30694  df-sh 30929  df-ch 30943  df-oc 30974  df-ch0 30975

This theorem is referenced by:  choc1  31049  ssjo  31169  qlaxr3i  31358  riesz3i  31784  chirredi  32116  mdsymi  32133