Theorem choc0 31253

Description: The orthocomplement of the zero subspace is the unit subspace. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc0	⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ

Proof of Theorem choc0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elsh 31183	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 31209	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4		hi02 31024	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
5		df-ral 3052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
6		elch0 31181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 0ℋ ↔ 𝑦 = 0ℎ)
7	6	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
8	7	albii 1819	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ ∀𝑦(𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
9		ax-hv0cl 30930	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	elexi 3482	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ V
11		oveq2 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 0ℎ))
12	11	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0))
13	10, 12	ceqsalv 3500	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
14	8, 13	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 0ℋ → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
15	5, 14	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
16	4, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
17		abai 826	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
18	16, 17	mpbiran2 710	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
19	3, 18	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘0ℋ) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
20	19	eqriv 2732	1 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127   ℋchba 30846   ·_ih csp 30849  0_ℎc0v 30851   S_ℋ csh 30855  ⊥cort 30857  0_ℋc0h 30862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-icc 13367  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-lm 23165  df-haus 23251  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ginv 30422  df-gdiv 30423  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-vs 30526  df-nmcv 30527  df-ims 30528  df-hnorm 30895  df-hvsub 30898  df-hlim 30899  df-sh 31134  df-ch 31148  df-oc 31179  df-ch0 31180

This theorem is referenced by:  choc1  31254  ssjo  31374  qlaxr3i  31563  riesz3i  31989  chirredi  32321  mdsymi  32338