HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem choc0 28575
Description: The orthocomplement of the zero subspace is the unit subspace. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc0 (⊥‘0) = ℋ

Proof of Theorem choc0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h0elsh 28503 . . . 4 0S
2 shocel 28531 . . . 4 (0S → (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4 hi02 28344 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0) = 0)
5 df-ral 3059 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
6 elch0 28501 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 0𝑦 = 0)
76imbi1i 340 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
87albii 1914 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ ∀𝑦(𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
9 ax-hv0cl 28250 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
109elexi 3365 . . . . . . . 8 0 ∈ V
11 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 0))
1211eqeq1d 2766 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0))
1310, 12ceqsalv 3385 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 = 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
148, 13bitri 266 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 ∈ 0 → (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
155, 14bitri 266 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 0) = 0)
164, 15sylibr 225 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
17 abai 857 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
1816, 17mpbiran2 701 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 0 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
193, 18bitri 266 . 2 (𝑥 ∈ (⊥‘0) ↔ 𝑥 ∈ ℋ)
2019eqriv 2761 1 (⊥‘0) = ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  cfv 6067  (class class class)co 6841  0cc0 10188  chba 28166   ·ih csp 28169  0c0v 28171   S csh 28175  cort 28177  0c0h 28182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268  ax-hilex 28246  ax-hfvadd 28247  ax-hvcom 28248  ax-hvass 28249  ax-hv0cl 28250  ax-hvaddid 28251  ax-hfvmul 28252  ax-hvmulid 28253  ax-hvmulass 28254  ax-hvdistr1 28255  ax-hvdistr2 28256  ax-hvmul0 28257  ax-hfi 28326  ax-his1 28329  ax-his2 28330  ax-his3 28331  ax-his4 28332
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-icc 12383  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-topgen 16371  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-top 20977  df-topon 20994  df-bases 21029  df-lm 21312  df-haus 21398  df-grpo 27738  df-gid 27739  df-ginv 27740  df-gdiv 27741  df-ablo 27790  df-vc 27804  df-nv 27837  df-va 27840  df-ba 27841  df-sm 27842  df-0v 27843  df-vs 27844  df-nmcv 27845  df-ims 27846  df-hnorm 28215  df-hvsub 28218  df-hlim 28219  df-sh 28454  df-ch 28468  df-oc 28499  df-ch0 28500
This theorem is referenced by:  choc1  28576  ssjo  28696  qlaxr3i  28885  riesz3i  29311  chirredi  29643  mdsymi  29660
  Copyright terms: Public domain W3C validator