Theorem choc1 31413

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc1	⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Proof of Theorem choc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 31331	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 31368	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4	3	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5		shocss 31372	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
7	6	sseli 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		hial0 31188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
10	4, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0ℎ)
11		elch0 31340	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
12	10, 11	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0ℋ)
13	12	ssriv 3926	. 2 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ 0ℋ
14		h0elsh 31342	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15		shococss 31380	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ))
17		choc0 31412	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
18	17	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘0ℋ)) = (⊥‘ ℋ)
19	16, 18	sseqtri 3971	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘ ℋ)
20	13, 19	eqssi 3939	1 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008  0_ℎc0v 31010   S_ℋ csh 31014  ⊥cort 31016  0_ℋc0h 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-lm 23204  df-haus 23290  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-hnorm 31054  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339

This theorem is referenced by:  ho0val  31836  st0  32335