Theorem choc1 31012

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc1	⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Proof of Theorem choc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 30930	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 30967	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5		shocss 30971	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
7	6	sseli 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		hial0 30787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
10	4, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0ℎ)
11		elch0 30939	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
12	10, 11	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0ℋ)
13	12	ssriv 3986	. 2 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ 0ℋ
14		h0elsh 30941	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15		shococss 30979	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ))
17		choc0 31011	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
18	17	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘0ℋ)) = (⊥‘ ℋ)
19	16, 18	sseqtri 4018	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘ ℋ)
20	13, 19	eqssi 3998	1 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116   ℋchba 30604   ·_ih csp 30607  0_ℎc0v 30609   S_ℋ csh 30613  ⊥cort 30615  0_ℋc0h 30620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30684  ax-hfvadd 30685  ax-hvcom 30686  ax-hvass 30687  ax-hv0cl 30688  ax-hvaddid 30689  ax-hfvmul 30690  ax-hvmulid 30691  ax-hvmulass 30692  ax-hvdistr1 30693  ax-hvdistr2 30694  ax-hvmul0 30695  ax-hfi 30764  ax-his1 30767  ax-his2 30768  ax-his3 30769  ax-his4 30770

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-topgen 17396  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-bl 21227  df-mopn 21228  df-top 22715  df-topon 22732  df-bases 22768  df-lm 23052  df-haus 23138  df-grpo 30178  df-gid 30179  df-ginv 30180  df-gdiv 30181  df-ablo 30230  df-vc 30244  df-nv 30277  df-va 30280  df-ba 30281  df-sm 30282  df-0v 30283  df-vs 30284  df-nmcv 30285  df-ims 30286  df-hnorm 30653  df-hvsub 30656  df-hlim 30657  df-sh 30892  df-ch 30906  df-oc 30937  df-ch0 30938

This theorem is referenced by:  ho0val  31435  st0  31934