Theorem choc1 31622

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc1	⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Proof of Theorem choc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 31540	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 31577	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4	3	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5		shocss 31581	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
7	6	sseli 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		hial0 31397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
10	4, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0ℎ)
11		elch0 31549	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
12	10, 11	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0ℋ)
13	12	ssriv 3949	. 2 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ 0ℋ
14		h0elsh 31551	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15		shococss 31589	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ))
17		choc0 31621	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
18	17	fveq2i 6887	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘0ℋ)) = (⊥‘ ℋ)
19	16, 18	sseqtri 3993	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘ ℋ)
20	13, 19	eqssi 3961	1 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102   ℋchba 31214   ·_ih csp 31217  0_ℎc0v 31219   S_ℋ csh 31223  ⊥cort 31225  0_ℋc0h 31230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181  ax-mulf 11182  ax-hilex 31294  ax-hfvadd 31295  ax-hvcom 31296  ax-hvass 31297  ax-hv0cl 31298  ax-hvaddid 31299  ax-hfvmul 31300  ax-hvmulid 31301  ax-hvmulass 31302  ax-hvdistr1 31303  ax-hvdistr2 31304  ax-hvmul0 31305  ax-hfi 31374  ax-his1 31377  ax-his2 31378  ax-his3 31379  ax-his4 31380

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-icc 13381  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-topgen 17498  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-top 23022  df-topon 23039  df-bases 23074  df-lm 23357  df-haus 23443  df-grpo 30788  df-gid 30789  df-ginv 30790  df-gdiv 30791  df-ablo 30840  df-vc 30854  df-nv 30887  df-va 30890  df-ba 30891  df-sm 30892  df-0v 30893  df-vs 30894  df-nmcv 30895  df-ims 30896  df-hnorm 31263  df-hvsub 31266  df-hlim 31267  df-sh 31502  df-ch 31516  df-oc 31547  df-ch0 31548

This theorem is referenced by:  ho0val  32045  st0  32544