Theorem choc1 31584

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc1	⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Proof of Theorem choc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 31502	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 31539	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4	3	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5		shocss 31543	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
7	6	sseli 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		hial0 31359	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
10	4, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0ℎ)
11		elch0 31511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
12	10, 11	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0ℋ)
13	12	ssriv 3943	. 2 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ 0ℋ
14		h0elsh 31513	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15		shococss 31551	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ))
17		choc0 31583	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
18	17	fveq2i 6874	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘0ℋ)) = (⊥‘ ℋ)
19	16, 18	sseqtri 3987	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘ ℋ)
20	13, 19	eqssi 3955	1 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   ℋchba 31176   ·_ih csp 31179  0_ℎc0v 31181   S_ℋ csh 31185  ⊥cort 31187  0_ℋc0h 31192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31256  ax-hfvadd 31257  ax-hvcom 31258  ax-hvass 31259  ax-hv0cl 31260  ax-hvaddid 31261  ax-hfvmul 31262  ax-hvmulid 31263  ax-hvmulass 31264  ax-hvdistr1 31265  ax-hvdistr2 31266  ax-hvmul0 31267  ax-hfi 31336  ax-his1 31339  ax-his2 31340  ax-his3 31341  ax-his4 31342

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13367  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17484  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-bases 23060  df-lm 23343  df-haus 23429  df-grpo 30750  df-gid 30751  df-ginv 30752  df-gdiv 30753  df-ablo 30802  df-vc 30816  df-nv 30849  df-va 30852  df-ba 30853  df-sm 30854  df-0v 30855  df-vs 30856  df-nmcv 30857  df-ims 30858  df-hnorm 31225  df-hvsub 31228  df-hlim 31229  df-sh 31464  df-ch 31478  df-oc 31509  df-ch0 31510

This theorem is referenced by:  ho0val  32007  st0  32506