HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem choc1 28758
Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc1 (⊥‘ ℋ) = 0

Proof of Theorem choc1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 helsh 28674 . . . . . . 7 ℋ ∈ S
2 shocel 28713 . . . . . . 7 ( ℋ ∈ S → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
43simprbi 492 . . . . 5 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5 shocss 28717 . . . . . . . 8 ( ℋ ∈ S → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
76sseli 3816 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 hial0 28531 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
104, 9mpbid 224 . . . 4 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0)
11 elch0 28683 . . . 4 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
1210, 11sylibr 226 . . 3 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0)
1312ssriv 3824 . 2 (⊥‘ ℋ) ⊆ 0
14 h0elsh 28685 . . . 4 0S
15 shococss 28725 . . . 4 (0S → 0 ⊆ (⊥‘(⊥‘0)))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 0 ⊆ (⊥‘(⊥‘0))
17 choc0 28757 . . . 4 (⊥‘0) = ℋ
1817fveq2i 6449 . . 3 (⊥‘(⊥‘0)) = (⊥‘ ℋ)
1916, 18sseqtri 3855 . 2 0 ⊆ (⊥‘ ℋ)
2013, 19eqssi 3836 1 (⊥‘ ℋ) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wss 3791  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  chba 28348   ·ih csp 28351  0c0v 28353   S csh 28357  cort 28359  0c0h 28364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-lm 21441  df-haus 21527  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-hnorm 28397  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682
This theorem is referenced by:  ho0val  29181  st0  29680
  Copyright terms: Public domain W3C validator