Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem choc1 29108
 Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc1 (⊥‘ ℋ) = 0

Proof of Theorem choc1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 helsh 29026 . . . . . . 7 ℋ ∈ S
2 shocel 29063 . . . . . . 7 ( ℋ ∈ S → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
43simprbi 500 . . . . 5 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5 shocss 29067 . . . . . . . 8 ( ℋ ∈ S → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
76sseli 3938 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 hial0 28883 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
104, 9mpbid 235 . . . 4 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0)
11 elch0 29035 . . . 4 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
1210, 11sylibr 237 . . 3 (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0)
1312ssriv 3946 . 2 (⊥‘ ℋ) ⊆ 0
14 h0elsh 29037 . . . 4 0S
15 shococss 29075 . . . 4 (0S → 0 ⊆ (⊥‘(⊥‘0)))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 0 ⊆ (⊥‘(⊥‘0))
17 choc0 29107 . . . 4 (⊥‘0) = ℋ
1817fveq2i 6655 . . 3 (⊥‘(⊥‘0)) = (⊥‘ ℋ)
1916, 18sseqtri 3978 . 2 0 ⊆ (⊥‘ ℋ)
2013, 19eqssi 3958 1 (⊥‘ ℋ) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526   ℋchba 28700   ·ih csp 28703  0ℎc0v 28705   Sℋ csh 28709  ⊥cort 28711  0ℋc0h 28716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr1 28789  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-lm 21832  df-haus 21918  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-hnorm 28749  df-hvsub 28752  df-hlim 28753  df-sh 28988  df-ch 29002  df-oc 29033  df-ch0 29034 This theorem is referenced by:  ho0val  29531  st0  30030
 Copyright terms: Public domain W3C validator