Theorem choc1 29685

Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choc1	⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Proof of Theorem choc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helsh 29603	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
2		shocel 29640	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0))
4	3	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)
5		shocss 29644	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ Sℋ → (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ ℋ
7	6	sseli 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		hial0 29460	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
10	4, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 = 0ℎ)
11		elch0 29612	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
12	10, 11	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘ ℋ) → 𝑥 ∈ 0ℋ)
13	12	ssriv 3930	. 2 ⊢ (⊥‘ ℋ) ⊆ 0ℋ
14		h0elsh 29614	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
15		shococss 29652	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘(⊥‘0ℋ))
17		choc0 29684	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
18	17	fveq2i 6774	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘0ℋ)) = (⊥‘ ℋ)
19	16, 18	sseqtri 3962	. 2 ⊢ 0ℋ ⊆ (⊥‘ ℋ)
20	13, 19	eqssi 3942	1 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872   ℋchba 29277   ·_ih csp 29280  0_ℎc0v 29282   S_ℋ csh 29286  ⊥cort 29288  0_ℋc0h 29293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358  ax-hvcom 29359  ax-hvass 29360  ax-hv0cl 29361  ax-hvaddid 29362  ax-hfvmul 29363  ax-hvmulid 29364  ax-hvmulass 29365  ax-hvdistr1 29366  ax-hvdistr2 29367  ax-hvmul0 29368  ax-hfi 29437  ax-his1 29440  ax-his2 29441  ax-his3 29442  ax-his4 29443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-icc 13085  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094  df-lm 22378  df-haus 22464  df-grpo 28851  df-gid 28852  df-ginv 28853  df-gdiv 28854  df-ablo 28903  df-vc 28917  df-nv 28950  df-va 28953  df-ba 28954  df-sm 28955  df-0v 28956  df-vs 28957  df-nmcv 28958  df-ims 28959  df-hnorm 29326  df-hvsub 29329  df-hlim 29330  df-sh 29565  df-ch 29579  df-oc 29610  df-ch0 29611

This theorem is referenced by:  ho0val  30108  st0  30607