Theorem snfbas 22925

Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfbas	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2	1	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4		snfil 22923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6		filfbas 22907	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		elpw2g 5263	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	8, 10	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12	11	snssd 4739	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13		simp3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		fbasweak 22924	. 2 ⊢ (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ‘cfv 6418  fBascfbas 20498  Filcfil 22904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-fbas 20507  df-fil 22905

This theorem is referenced by:  isufil2  22967  ufileu  22978  filufint  22979  uffix  22980  flimclslem  23043