Theorem snfbas 24240

Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfbas	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2	1	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4		snfil 24238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6		filfbas 24222	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		elpw2g 5302	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	8, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12	11	snssd 4749	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		fbasweak 24239	. 2 ⊢ (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1399	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ‘cfv 6566  fBascfbas 21717  Filcfil 24219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-fbas 21726  df-fil 24220

This theorem is used by:  isufil2  24282  ufileu  24293  filufint  24294  uffix  24295  flimclslem  24358