Theorem snfbas 23759

Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfbas	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4		snfil 23757	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6		filfbas 23741	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		elpw2g 5290	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	8, 10	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12	11	snssd 4775	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		fbasweak 23758	. 2 ⊢ (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  ‘cfv 6513  fBascfbas 21258  Filcfil 23738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-fbas 21267  df-fil 23739

This theorem is referenced by:  isufil2  23801  ufileu  23812  filufint  23813  uffix  23814  flimclslem  23877