MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snfbas 22474
Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
snfbas ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas
StepHypRef Expression
1 ssexg 5213 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
213adant2 1128 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4 snfil 22472 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6 filfbas 22456 . . 3 ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
9 elpw2g 5233 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
1093ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
118, 10mpbird 260 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
1211snssd 4726 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13 simp3 1135 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
14 fbasweak 22473 . 2 (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
157, 12, 13, 14syl3anc 1368 1 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  cfv 6343  fBascfbas 20533  Filcfil 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fv 6351  df-fbas 20542  df-fil 22454
This theorem is referenced by:  isufil2  22516  ufileu  22527  filufint  22528  uffix  22529  flimclslem  22592
  Copyright terms: Public domain W3C validator