Theorem snfbas 23590

Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfbas	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5323	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4		snfil 23588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6		filfbas 23572	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		elpw2g 5344	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	8, 10	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12	11	snssd 4812	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		fbasweak 23589	. 2 ⊢ (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ‘cfv 6543  fBascfbas 21132  Filcfil 23569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fbas 21141  df-fil 23570

This theorem is referenced by:  isufil2  23632  ufileu  23643  filufint  23644  uffix  23645  flimclslem  23708