Theorem snfbas 24023

Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
snfbas	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2	1	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4		snfil 24021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6		filfbas 24005	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		elpw2g 5304	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	8, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12	11	snssd 4752	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		fbasweak 24022	. 2 ⊢ (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ‘cfv 6536  fBascfbas 21510  Filcfil 24002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-fbas 21519  df-fil 24003

This theorem is referenced by:  isufil2  24065  ufileu  24076  filufint  24077  uffix  24078  flimclslem  24141