Theorem fbasweak 23016

Description: A filter base on any set is also a filter base on any larger set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbasweak	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))

Proof of Theorem fbasweak

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
2		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3		elfvdm 6806	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
4	3	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ dom fBas)
5		isfbas 22980	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
7	2, 6	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
8	7	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))
9		isfbas 22980	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
10	9	3ad2ant3 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
11	1, 8, 10	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  fBascfbas 20585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-fbas 20594

This theorem is referenced by:  snfbas  23017  fgabs  23030  fgtr  23041  trfg  23042  ssufl  23069  cfiluweak  23447  cfilresi  24459  cmetss  24480  minveclem4a  24594  minveclem4  24596