MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbasweak Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbasweak 22468
Description: A filter base on any set is also a filter base on any larger set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbasweak ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))

Proof of Theorem fbasweak
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
2 simp1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3 elfvdm 6684 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ dom fBas)
5 isfbas 22432 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
72, 6mpbid 235 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
87simprd 499 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
9 isfbas 22432 . . 3 (𝑌𝑉 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
1093ad2ant3 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
111, 8, 10mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌𝑌𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2114  wne 3011  wnel 3115  wral 3130  cin 3907  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511  dom cdm 5532  cfv 6334  fBascfbas 20077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fv 6342  df-fbas 20086
This theorem is referenced by:  snfbas  22469  fgabs  22482  fgtr  22493  trfg  22494  ssufl  22521  cfiluweak  22899  cfilresi  23897  cmetss  23918  minveclem4a  24032  minveclem4  24034
  Copyright terms: Public domain W3C validator