Theorem uffix 23837

Description: Lemma for fixufil 23838 and uffixfr 23839. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4759	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		snnzg 4726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		snfbas 23782	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	syl2an23an 1425	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6		velpw 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
8		snex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
9	8	snid 4614	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10		snssi 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11		sseq1 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
12	11	rspcev 3573	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
13	9, 10, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
14		intss1 4913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15		sstr2 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17		snidg 4612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
19	8	intsn 4934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ {{𝐴}} = {𝐴}
20	18, 19	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}})
21		ssel 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}} → 𝐴 ∈ 𝑦))
22	20, 21	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
23	16, 22	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
24	23	rexlimdva 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
25	13, 24	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦))
26	7, 25	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
27		eleq2w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
28	27	elrab 3643	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)))
30		elfg 23787	. . . . 5 ⊢ ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
31	5, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
32	26, 29, 31	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
33	32	eqrdv 2731	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
34	5, 33	jca 511	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  ∩ cint 4897  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  fBascfbas 21281  filGencfg 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-fil 23762

This theorem is referenced by:  fixufil  23838  uffixfr  23839