MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix 23812
Description: Lemma for fixufil 23813 and uffixfr 23814. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4807 . . 3 (𝐴𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2 snnzg 4774 . . 3 (𝐴𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3 simpl 482 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝑋𝑉)
4 snfbas 23757 . . 3 (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
51, 2, 3, 4syl2an23an 1421 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6 velpw 4603 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋))
8 snex 5427 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
98snid 4660 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10 snssi 4807 . . . . . . 7 (𝐴𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11 sseq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴} → (𝑥𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
1211rspcev 3607 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
139, 10, 12sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
14 intss1 4961 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15 sstr2 3985 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17 snidg 4658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
198intsn 4984 . . . . . . . . . 10 {{𝐴}} = {𝐴}
2018, 19eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 {{𝐴}})
21 ssel 3971 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 {{𝐴}} → 𝐴𝑦))
2220, 21syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦𝐴𝑦))
2316, 22sylan9r 508 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥𝑦𝐴𝑦))
2423rexlimdva 3150 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦𝐴𝑦))
2513, 24impbid2 225 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦))
267, 25anbi12d 630 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
27 eleq2w 2812 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥𝐴𝑦))
2827elrab 3680 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦))
2928a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦)))
30 elfg 23762 . . . . 5 ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
315, 30syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
3226, 29, 313bitr4d 311 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
3332eqrdv 2725 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
345, 33jca 511 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065  {crab 3427  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   cint 4944  cfv 6542  (class class class)co 7414  fBascfbas 21254  filGencfg 21255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-fil 23737
This theorem is referenced by:  fixufil  23813  uffixfr  23814
  Copyright terms: Public domain W3C validator