Theorem uffix 23886

Description: Lemma for fixufil 23887 and uffixfr 23888. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4729	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		snnzg 4718	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		snfbas 23831	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	syl2an23an 1426	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6		velpw 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
8		snex 5381	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
9	8	snid 4606	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10		snssi 4729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11		sseq1 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
12	11	rspcev 3564	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
13	9, 10, 12	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
14		intss1 4905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15		sstr2 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17		snidg 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
19	8	intsn 4926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ {{𝐴}} = {𝐴}
20	18, 19	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}})
21		ssel 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}} → 𝐴 ∈ 𝑦))
22	20, 21	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
23	16, 22	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
24	23	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
25	13, 24	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦))
26	7, 25	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
27		eleq2w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
28	27	elrab 3634	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)))
30		elfg 23836	. . . . 5 ⊢ ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
31	5, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
32	26, 29, 31	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
33	32	eqrdv 2734	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
34	5, 33	jca 511	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ∩ cint 4889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  fBascfbas 21340  filGencfg 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-fil 23811

This theorem is referenced by:  fixufil  23887  uffixfr  23888