Theorem uffix 23808

Description: Lemma for fixufil 23809 and uffixfr 23810. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		snnzg 4738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		snfbas 23753	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	syl2an23an 1425	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6		velpw 4568	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
8		snex 5391	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
9	8	snid 4626	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10		snssi 4772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11		sseq1 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
12	11	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
13	9, 10, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
14		intss1 4927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15		sstr2 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17		snidg 4624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
19	8	intsn 4948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ {{𝐴}} = {𝐴}
20	18, 19	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}})
21		ssel 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}} → 𝐴 ∈ 𝑦))
22	20, 21	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
23	16, 22	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
24	23	rexlimdva 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
25	13, 24	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦))
26	7, 25	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
27		eleq2w 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
28	27	elrab 3659	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)))
30		elfg 23758	. . . . 5 ⊢ ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
31	5, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
32	26, 29, 31	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
33	32	eqrdv 2727	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
34	5, 33	jca 511	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∩ cint 4910  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  fBascfbas 21252  filGencfg 21253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-fil 23733

This theorem is referenced by:  fixufil  23809  uffixfr  23810