MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix 22053
Description: Lemma for fixufil 22054 and uffixfr 22055. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4527 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
21adantl 474 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
3 snnzg 4496 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
43adantl 474 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ≠ ∅)
5 simpl 475 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝑋𝑉)
6 snfbas 21998 . . 3 (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
72, 4, 5, 6syl3anc 1491 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
8 selpw 4356 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋))
10 snex 5099 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
1110snid 4400 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
12 snssi 4527 . . . . . . 7 (𝐴𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
13 sseq1 3822 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴} → (𝑥𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
1413rspcev 3497 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
1511, 12, 14sylancr 582 . . . . . 6 (𝐴𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
16 intss1 4682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
17 sstr2 3805 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
19 snidg 4398 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
2019adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
2110intsn 4703 . . . . . . . . . 10 {{𝐴}} = {𝐴}
2220, 21syl6eleqr 2889 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 {{𝐴}})
23 ssel 3792 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 {{𝐴}} → 𝐴𝑦))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦𝐴𝑦))
2518, 24sylan9r 505 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥𝑦𝐴𝑦))
2625rexlimdva 3212 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦𝐴𝑦))
2715, 26impbid2 218 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦))
289, 27anbi12d 625 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
29 eleq2w 2862 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥𝐴𝑦))
3029elrab 3556 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦))
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦)))
32 elfg 22003 . . . . 5 ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
337, 32syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
3428, 31, 333bitr4d 303 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
3534eqrdv 2797 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
367, 35jca 508 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769  c0 4115  𝒫 cpw 4349  {csn 4368   cint 4667  cfv 6101  (class class class)co 6878  fBascfbas 20056  filGencfg 20057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-fil 21978
This theorem is referenced by:  fixufil  22054  uffixfr  22055
  Copyright terms: Public domain W3C validator