Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix 22530
 Description: Lemma for fixufil 22531 and uffixfr 22532. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4704 . . 3 (𝐴𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2 snnzg 4673 . . 3 (𝐴𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3 simpl 486 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝑋𝑉)
4 snfbas 22475 . . 3 (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
51, 2, 3, 4syl2an23an 1420 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6 velpw 4505 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋))
8 snex 5300 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
98snid 4564 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10 snssi 4704 . . . . . . 7 (𝐴𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11 sseq1 3943 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴} → (𝑥𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
1211rspcev 3574 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
139, 10, 12sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
14 intss1 4856 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15 sstr2 3925 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17 snidg 4562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
1817adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
198intsn 4877 . . . . . . . . . 10 {{𝐴}} = {𝐴}
2018, 19eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 {{𝐴}})
21 ssel 3911 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 {{𝐴}} → 𝐴𝑦))
2220, 21syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦𝐴𝑦))
2316, 22sylan9r 512 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥𝑦𝐴𝑦))
2423rexlimdva 3246 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦𝐴𝑦))
2513, 24impbid2 229 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦))
267, 25anbi12d 633 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
27 eleq2w 2876 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥𝐴𝑦))
2827elrab 3631 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦))
2928a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦)))
30 elfg 22480 . . . . 5 ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
315, 30syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
3226, 29, 313bitr4d 314 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
3332eqrdv 2799 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
345, 33jca 515 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ∩ cint 4841  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  fBascfbas 20083  filGencfg 20084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-fil 22455 This theorem is referenced by:  fixufil  22531  uffixfr  22532
 Copyright terms: Public domain W3C validator