Theorem uffix 22980

Description: Lemma for fixufil 22981 and uffixfr 22982. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		snnzg 4707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		snfbas 22925	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
5	1, 2, 3, 4	syl2an23an 1421	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
6		velpw 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
8		snex 5349	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
9	8	snid 4594	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴} ∈ {{𝐴}}
10		snssi 4738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
11		sseq1 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
12	11	rspcev 3552	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
13	9, 10, 12	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)
14		intss1 4891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
15		sstr2 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥 ⊆ 𝑦 → ∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
17		snidg 4592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴})
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
19	8	intsn 4914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ {{𝐴}} = {𝐴}
20	18, 19	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}})
21		ssel 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 ∈ ∩ {{𝐴}} → 𝐴 ∈ 𝑦))
22	20, 21	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∩ {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
23	16, 22	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
24	23	rexlimdva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ∈ 𝑦))
25	13, 24	impbid2 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦))
26	7, 25	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
27		eleq2w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
28	27	elrab 3617	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)))
30		elfg 22930	. . . . 5 ⊢ ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
31	5, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥 ⊆ 𝑦)))
32	26, 29, 31	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
33	32	eqrdv 2736	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
34	5, 33	jca 511	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∩ cint 4876  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  fBascfbas 20498  filGencfg 20499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-fil 22905

This theorem is referenced by:  fixufil  22981  uffixfr  22982