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Theorem isufil2 22444
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 22440 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 22443 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1113 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3179 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 512 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 velpw 4543 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
8 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 snex 5322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 22387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑋𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
27 ineq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦𝑓) = (𝑦𝑥))
2827neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) ≠ ∅))
2921, 28ralsn 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) ≠ ∅)
3029ralbii 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
3126, 30sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅)
32 filfbas 22384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥𝑋)
35 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑥
36 filtop 22391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝐹)
38 ineq1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦𝑥) = (𝑋𝑥))
3938neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝑥) ≠ ∅))
4039rspcva 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝐹 ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
4137, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
42 ssn0 4351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4436ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑋𝐹)
45 snfbas 22402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4634, 43, 44, 45syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
47 fbunfip 22405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅))
4833, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅))
4931, 48mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
50 fsubbas 22403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
53 ssfg 22408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5513, 54sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5655unssad 4160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
57 fgcl 22414 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
58 sseq2 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹𝑓𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
59 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6058, 59imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6160rspcv 3615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6356, 62mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
64 vsnid 4592 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6520, 64sselii 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6755, 66sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
68 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6967, 68syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥𝐹))
7063, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → 𝑥𝐹))
7170impancom 452 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
7271an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
7372con3d 155 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅))
74 rexnal 3235 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐹 ¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
75 nne 3017 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) = ∅)
76 filelss 22388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
77 reldisj 4398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑋 → ((𝑦𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋𝑥)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑦𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋𝑥)))
79 difss 4105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
80 filss 22389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋𝑦 ⊆ (𝑋𝑥))) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)
81803exp2 1346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → ((𝑋𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))))
8279, 81mpii 46 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
8382imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8478, 83sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑦𝑥) = ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8575, 84syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8685rexlimdva 3281 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦𝐹 ¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8774, 86syl5bir 244 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8887ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8973, 88syld 47 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9089orrd 857 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
917, 90sylan2b 593 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9291ralrimiva 3179 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
93 isufil 22439 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
946, 92, 93sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
955, 94impbii 210 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  ficfi 8862  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  Filcfil 22381  UFilcufil 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382  df-ufil 22437
This theorem is referenced by:  filssufilg  22447  fmufil  22495
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