MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isufil2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isufil2 23891
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23887 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 23890 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1127 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3131 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 516 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 velpw 4534 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8 simpll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 vsnex 5364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 9322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 23834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 ineq2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑓) = (𝑦 ∩ 𝑥))
2726neeq1d 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
2821, 27ralsn 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
2928ralbii 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3029bilanri 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅)
31 filfbas 23831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3231ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
33 simplr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
34 inss2 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
35 filtop 23838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
37 ineq1 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑥) = (𝑋 ∩ 𝑥))
3837neeq1d 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3938rspcva 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
4036, 39sylan 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
41 ssn0 4332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4234, 40, 41sylancr 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
44 snfbas 23849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4533, 42, 43, 44syl3anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
46 fbunfip 23852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4732, 45, 46syl2anc 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4830, 47mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
49 fsubbas 23850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5119, 25, 48, 50mpbir3and 1349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
52 ssfg 23855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5413, 53sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5554unssad 4122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
56 fgcl 23861 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
57 sseq2 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ↔ 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
58 eqeq2 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓 ↔ 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5957, 58imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6059rspcv 3556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6151, 56, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6255, 61mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
63 vsnid 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6420, 63sselii 3912 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6654, 65sseldd 3916 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
67 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6866, 67syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝐹))
6962, 68syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7069impancom 452 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7170an32s 658 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7271con3d 152 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
73 rexnal 3091 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
74 nne 2938 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
75 filelss 23835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
76 reldisj 4381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
78 difss 4066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
79 filss 23836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥))) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)
80793exp2 1361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))))
8178, 80mpii 46 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
8281imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8377, 82sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8474, 83biimtrid 243 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8584rexlimdva 3140 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8673, 85biimtrrid 244 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8786ad2antrr 732 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8872, 87syld 47 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8988orrd 869 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
907, 89sylan2b 600 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9190ralrimiva 3131 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
92 isufil 23886 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
936, 91, 92sylanbrc 589 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
945, 93impbii 210 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ficfi 9313  fBascfbas 21335  filGencfg 21336  Filcfil 23828  UFilcufil 23882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-fil 23829  df-ufil 23884
This theorem is referenced by:  filssufilg  23894  fmufil  23942
  Copyright terms: Public domain W3C validator