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Theorem isufil2 22200
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 22196 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 22199 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1114 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3149 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 512 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 selpw 4460 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 snex 5223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 8729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 22143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
27 ineq2 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑓) = (𝑦 ∩ 𝑥))
2827neeq1d 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
2921, 28ralsn 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3029ralbii 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3126, 30sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅)
32 filfbas 22140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
35 inss2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
36 filtop 22147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
38 ineq1 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑥) = (𝑋 ∩ 𝑥))
3938neeq1d 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4039rspcva 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
4137, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
42 ssn0 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4436ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
45 snfbas 22158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4634, 43, 44, 45syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
47 fbunfip 22161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4833, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4931, 48mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
50 fsubbas 22159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
53 ssfg 22164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5513, 54sstrd 3899 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5655unssad 4084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
57 fgcl 22170 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
58 sseq2 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ↔ 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
59 eqeq2 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓 ↔ 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6058, 59imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6160rspcv 3555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6356, 62mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
64 vsnid 4507 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6520, 64sselii 3886 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6755, 66sseldd 3890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
68 eleq2 2871 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6967, 68syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7063, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7170impancom 452 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7271an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7372con3d 155 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
74 rexnal 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
75 nne 2988 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
76 filelss 22144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
77 reldisj 4316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
79 difss 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
80 filss 22145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥))) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)
81803exp2 1347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))))
8279, 81mpii 46 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
8382imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8478, 83sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8575, 84syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8685rexlimdva 3247 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8774, 86syl5bir 244 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8887ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8973, 88syld 47 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9089orrd 858 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
917, 90sylan2b 593 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9291ralrimiva 3149 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
93 isufil 22195 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
946, 92, 93sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
955, 94impbii 210 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4453  {csn 4472  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ficfi 8720  fBascfbas 20215  filGencfg 20216  Filcfil 22137  UFilcufil 22191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-fin 8361  df-fi 8721  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-fil 22138  df-ufil 22193
This theorem is referenced by:  filssufilg  22203  fmufil  22251
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