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Theorem isufil2 23419
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23415 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 23418 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1121 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3146 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 512 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 velpw 4607 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
8 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 9416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 23362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑋𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
27 ineq2 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦𝑓) = (𝑦𝑥))
2827neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) ≠ ∅))
2921, 28ralsn 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) ≠ ∅)
3029ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
3126, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅)
32 filfbas 23359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥𝑋)
35 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑥
36 filtop 23366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝐹)
38 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦𝑥) = (𝑋𝑥))
3938neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋𝑥) ≠ ∅))
4039rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝐹 ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
4137, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
42 ssn0 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335, 41, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4436ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑋𝐹)
45 snfbas 23377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4634, 43, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
47 fbunfip 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅))
4833, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐹𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦𝑓) ≠ ∅))
4931, 48mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
50 fsubbas 23378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
53 ssfg 23383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5513, 54sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5655unssad 4187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
57 fgcl 23389 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
58 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹𝑓𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
59 eqeq2 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6058, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6160rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6356, 62mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
64 vsnid 4665 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6520, 64sselii 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6755, 66sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
68 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6967, 68syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥𝐹))
7063, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓) → 𝑥𝐹))
7170impancom 452 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
7271an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
7372con3d 152 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅))
74 rexnal 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐹 ¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅)
75 nne 2944 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦𝑥) = ∅)
76 filelss 23363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
77 reldisj 4451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑋 → ((𝑦𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋𝑥)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑦𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋𝑥)))
79 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
80 filss 23364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋𝑦 ⊆ (𝑋𝑥))) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)
81803exp2 1354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → ((𝑋𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))))
8279, 81mpii 46 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
8382imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋𝑥) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8478, 83sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑦𝑥) = ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8575, 84biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8685rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦𝐹 ¬ (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8774, 86biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8887ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ ∀𝑦𝐹 (𝑦𝑥) ≠ ∅ → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
8973, 88syld 47 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9089orrd 861 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
917, 90sylan2b 594 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9291ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
93 isufil 23414 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
946, 92, 93sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
955, 94impbii 208 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹𝑓𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7411  ficfi 9407  fBascfbas 20938  filGencfg 20939  Filcfil 23356  UFilcufil 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-fil 23357  df-ufil 23412
This theorem is referenced by:  filssufilg  23422  fmufil  23470
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