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Theorem isufil2 22967
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 22963 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 22966 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1119 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3107 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 511 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 velpw 4535 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 snex 5349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 9108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 22910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
27 ineq2 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑓) = (𝑦 ∩ 𝑥))
2827neeq1d 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
2921, 28ralsn 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3029ralbii 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3126, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅)
32 filfbas 22907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
34 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
35 inss2 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
36 filtop 22914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
38 ineq1 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑥) = (𝑋 ∩ 𝑥))
3938neeq1d 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
4039rspcva 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
4137, 40sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
42 ssn0 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335, 41, 42sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4436ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
45 snfbas 22925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4634, 43, 44, 45syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
47 fbunfip 22928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4833, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4931, 48mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
50 fsubbas 22926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5144, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5219, 25, 49, 51mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
53 ssfg 22931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5513, 54sstrd 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5655unssad 4117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
57 fgcl 22937 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
58 sseq2 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ↔ 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
59 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓 ↔ 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6058, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6160rspcv 3547 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6252, 57, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6356, 62mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
64 vsnid 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6520, 64sselii 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6755, 66sseldd 3918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
68 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6967, 68syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7063, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7170impancom 451 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7271an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7372con3d 152 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
74 rexnal 3165 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
75 nne 2946 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
76 filelss 22911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
77 reldisj 4382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
79 difss 4062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
80 filss 22912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥))) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)
81803exp2 1352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))))
8279, 81mpii 46 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
8382imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8478, 83sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8575, 84syl5bi 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8685rexlimdva 3212 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8774, 86syl5bir 242 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8887ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8973, 88syld 47 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9089orrd 859 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
917, 90sylan2b 593 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9291ralrimiva 3107 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
93 isufil 22962 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
946, 92, 93sylanbrc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
955, 94impbii 208 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ficfi 9099  fBascfbas 20498  filGencfg 20499  Filcfil 22904  UFilcufil 22958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-fil 22905  df-ufil 22960
This theorem is referenced by:  filssufilg  22970  fmufil  23018
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