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Theorem isufil2 24065
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem isufil2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 24061 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 24064 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expia 1139 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
43ralrimiva 3157 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓))
51, 4jca 520 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
6 simpl 487 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 velpw 4567 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
8 simpll 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9 vsnex 5406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥} ∈ V
10 unexg 7741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ V) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V)
12 ssfii 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∪ {𝑥}) ∈ V → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
1311, 12syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
14 filsspw 24008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
1514ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
167biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1817snssd 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18unssd 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 ssun2 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥})
21 vex 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
2221snnz 4742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥} ≠ ∅
23 ssn0 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑥} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑥}) ∧ {𝑥} ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
2420, 22, 23mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅)
26 ineq2 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑥 → (𝑦 ∩ 𝑓) = (𝑦 ∩ 𝑥))
2726neeq1d 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑥 → ((𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
2821, 27ralsn 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
2928ralbii 3111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
3029bilanri 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅)
31 filfbas 24005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3231ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
33 simplr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
34 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥
35 filtop 24012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
3635adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
37 ineq1 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑥) = (𝑋 ∩ 𝑥))
3837neeq1d 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
3938rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
4036, 39sylan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
41 ssn0 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑋 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4234, 40, 41sylancr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4335ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
44 snfbas 24023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
4533, 42, 43, 44syl3anc 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
46 fbunfip 24026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4732, 45, 46syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑓 ∈ {𝑥} (𝑦 ∩ 𝑓) ≠ ∅))
4830, 47mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))
49 fsubbas 24024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5043, 49syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {𝑥}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5119, 25, 48, 50mpbir3and 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋))
52 ssfg 24029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5351, 52syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5413, 53sstrd 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
5554unssad 4146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
56 fgcl 24035 . . . . . . . . . . . . 13 ((fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋))
57 sseq2 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ↔ 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
58 eqeq2 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝐹 = 𝑓 ↔ 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
5957, 58imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → ((𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) ↔ (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6059rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6151, 56, 603syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))))
6255, 61mpid 45 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
63 vsnid 4629 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑥}
6420, 63sselii 3934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥})
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝐹 ∪ {𝑥}))
6654, 65sseldd 3938 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))))
67 eleq2 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥})))))
6866, 67syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (𝐹 = (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝐹))
6962, 68syld 48 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
7069impancom 456 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7170an32s 664 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
7271con3d 153 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
73 rexnal 3117 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
74 nne 2962 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
75 filelss 24009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
76 reldisj 4413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
7775, 76syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥)))
78 difss 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
79 filss 24010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥))) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)
80793exp2 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))))
8178, 80mpii 47 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
8281imp 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8377, 82sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8474, 83biimtrid 245 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8584rexlimdva 3166 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 ¬ (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8673, 85biimtrrid 246 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8786ad2antrr 738 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑦 ∩ 𝑥) ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8872, 87syld 48 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
8988orrd 876 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
907, 89sylan2b 605 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
9190ralrimiva 3157 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
92 isufil 24060 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
936, 91, 92sylanbrc 594 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
945, 93impbii 212 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝐹 = 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ficfi 9366  fBascfbas 21510  filGencfg 21511  Filcfil 24002  UFilcufil 24056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-fil 24003  df-ufil 24058
This theorem is referenced by:  filssufilg  24068  fmufil  24116
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