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Theorem ufileu 23943
Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufileu (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufileu
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23928 . . . . 5 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 23931 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expa 1117 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
43eqcomd 2741 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
54ex 412 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
61, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
76ralrimiva 3144 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
8 ssid 4018 . . . 4 𝐹𝐹
9 sseq2 4022 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐹𝑓𝐹𝐹))
109eqreu 3738 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹𝐹 ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
118, 10mp3an2 1448 . . 3 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
127, 11mpdan 687 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
13 reu6 3735 . . 3 (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓 ↔ ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
14 ibibr 368 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝐹𝑓) ↔ (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
1514pm5.74ri 272 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓 ↔ (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
16 sseq2 4022 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝐹𝑔))
1715, 16bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ↔ 𝐹𝑔))
1817rspcva 3620 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
1918adantll 714 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
20 ufilfil 23928 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
21 filelss 23876 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑔) → 𝑥𝑋)
2221ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2423ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
25 filsspw 23875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
27 difss 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
28 filtop 23879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑋𝐹)
3029difexd 5337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ V)
31 elpwg 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝑥) ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3327, 32mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
3433snssd 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
3526, 34unssd 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
36 ssun1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})
37 filn0 23886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3837ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ≠ ∅)
39 ssn0 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
4036, 38, 39sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
41 filelss 23876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓𝑋)
4241ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → 𝑓𝑋)
43 dfss2 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓𝑋 ↔ (𝑓𝑋) = 𝑓)
4442, 43sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑋) = 𝑓)
4544sseq1d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑓𝑥))
46 filss 23877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑓𝐹𝑥𝑋𝑓𝑥)) → 𝑥𝐹)
47463exp2 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑓𝐹 → (𝑥𝑋 → (𝑓𝑥𝑥𝐹))))
4847impcomd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
5049imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑥𝑥𝐹))
5145, 50sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑥𝐹))
5251con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5352expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑓𝐹 → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5554impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)
57 ineq2 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑔 = (𝑋𝑥) → (𝑓𝑔) = (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)))
5857neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 = (𝑋𝑥) → ((𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
5958ralsng 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
60 inssdif0 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) = ∅)
6160necon3bbii 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅)
6259, 61bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6330, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6556, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
6665ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
67 filfbas 23872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6867ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
69 difssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋)
70 ssdif0 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝑥 ↔ (𝑋𝑥) = ∅)
71 eqss 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑋𝑥))
7271simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥𝑥 = 𝑋))
73 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
7473notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑋𝐹))
7574biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥𝐹 → (𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐹))
7672, 75sylan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
7870, 77biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) = ∅ → ¬ 𝑋𝐹))
7978necon2ad 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝐹 → (𝑋𝑥) ≠ ∅))
8029, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
81 snfbas 23890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋𝐹) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
8269, 80, 29, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
83 fbunfip 23893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8468, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8566, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
86 fsubbas 23891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
8729, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
8835, 40, 85, 87mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
89 fgcl 23902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
91 filssufil 23936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
93 r19.29 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓))
94 biimp 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
95 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
96 snex 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(𝑋𝑥)} ∈ V
97 unexg 7762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
9895, 96, 97sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
99 ssfii 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
101 ssfg 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
103100, 102sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
104103unssad 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
105 sstr2 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
107106imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔)))
108 sseq2 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
109108biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑓 = 𝑔 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
110109a2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11194, 107, 110syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)))
112111impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
113112rexlimdvw 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11493, 113syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11592, 114mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
116115imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
117116an32s 652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
118 snidg 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑥) ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
11930, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
120 elun2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)} → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
122103, 121sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
123122adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
124117, 123sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝑔)
125 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
126 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑥𝑋)
127 ufilb 23930 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
129124, 128mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ 𝑥𝑔)
130129expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ 𝑥𝑔))
131130con4d 115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
132131ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝑔𝑥𝐹)))
133132com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔 → (𝑥𝑋𝑥𝐹)))
13424, 133mpdd 43 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
135134ssrdv 4001 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔𝐹)
13619, 135eqssd 4013 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 = 𝑔)
137 simplr 769 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
138136, 137eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
139138rexlimdva2 3155 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14013, 139biimtrid 242 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14112, 140impbid2 226 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  ficfi 9448  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  Filcfil 23869  UFilcufil 23923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fil 23870  df-ufil 23925
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