MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufileu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufileu 23168
Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufileu (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufileu
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23153 . . . . 5 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 23156 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expa 1117 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
43eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
54ex 413 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
61, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
76ralrimiva 3139 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
8 ssid 3953 . . . 4 𝐹𝐹
9 sseq2 3957 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐹𝑓𝐹𝐹))
109eqreu 3674 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹𝐹 ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
118, 10mp3an2 1448 . . 3 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
127, 11mpdan 684 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
13 reu6 3671 . . 3 (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓 ↔ ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
14 ibibr 368 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝐹𝑓) ↔ (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
1514pm5.74ri 271 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓 ↔ (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
16 sseq2 3957 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝐹𝑔))
1715, 16bitr3d 280 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ↔ 𝐹𝑔))
1817rspcva 3568 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
1918adantll 711 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
20 ufilfil 23153 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
21 filelss 23101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑔) → 𝑥𝑋)
2221ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2423ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
25 filsspw 23100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
27 difss 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
28 filtop 23104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑋𝐹)
3029difexd 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ V)
31 elpwg 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝑥) ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3327, 32mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
3433snssd 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
3526, 34unssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
36 ssun1 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})
37 filn0 23111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3837ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ≠ ∅)
39 ssn0 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
4036, 38, 39sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
41 filelss 23101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓𝑋)
4241ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → 𝑓𝑋)
43 df-ss 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓𝑋 ↔ (𝑓𝑋) = 𝑓)
4442, 43sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑋) = 𝑓)
4544sseq1d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑓𝑥))
46 filss 23102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑓𝐹𝑥𝑋𝑓𝑥)) → 𝑥𝐹)
47463exp2 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑓𝐹 → (𝑥𝑋 → (𝑓𝑥𝑥𝐹))))
4847impcomd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
5049imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑥𝑥𝐹))
5145, 50sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑥𝐹))
5251con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5352expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑓𝐹 → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5554impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5655imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)
57 ineq2 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑔 = (𝑋𝑥) → (𝑓𝑔) = (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)))
5857neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔 = (𝑋𝑥) → ((𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
5958ralsng 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
60 inssdif0 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) = ∅)
6160necon3bbii 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅)
6259, 61bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6330, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6556, 64mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
6665ralrimiva 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
67 filfbas 23097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
69 difssd 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋)
70 ssdif0 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝑥 ↔ (𝑋𝑥) = ∅)
71 eqss 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑋𝑥))
7271simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥𝑥 = 𝑋))
73 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
7473notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑋𝐹))
7574biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥𝐹 → (𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐹))
7672, 75sylan9 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
7870, 77syl5bir 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) = ∅ → ¬ 𝑋𝐹))
7978necon2ad 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝐹 → (𝑋𝑥) ≠ ∅))
8029, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
81 snfbas 23115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋𝐹) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
8269, 80, 29, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
83 fbunfip 23118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8468, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8566, 84mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
86 fsubbas 23116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
8729, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
8835, 40, 85, 87mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
89 fgcl 23127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
91 filssufil 23161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
93 r19.29 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓))
94 biimp 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
95 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
96 snex 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(𝑋𝑥)} ∈ V
97 unexg 7653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
9895, 96, 97sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
99 ssfii 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
101 ssfg 23121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
103100, 102sstrd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
104103unssad 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
105 sstr2 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
107106imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔)))
108 sseq2 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
109108biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑓 = 𝑔 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
110109a2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11194, 107, 110syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)))
112111impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
113112rexlimdvw 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11493, 113syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11592, 114mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
116115imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
117116an32s 649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
118 snidg 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑥) ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
11930, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
120 elun2 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)} → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
122103, 121sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
123122adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
124117, 123sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝑔)
125 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
126 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑥𝑋)
127 ufilb 23155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
129124, 128mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ 𝑥𝑔)
130129expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ 𝑥𝑔))
131130con4d 115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
132131ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝑔𝑥𝐹)))
133132com23 86 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔 → (𝑥𝑋𝑥𝐹)))
13424, 133mpdd 43 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
135134ssrdv 3937 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔𝐹)
13619, 135eqssd 3948 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 = 𝑔)
137 simplr 766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
138136, 137eqeltrd 2837 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
139138rexlimdva2 3150 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14013, 139biimtrid 241 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14112, 140impbid2 225 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3347  Vcvv 3441  cdif 3894  cun 3895  cin 3896  wss 3897  c0 4268  𝒫 cpw 4546  {csn 4572  cfv 6473  (class class class)co 7329  ficfi 9259  fBascfbas 20683  filGencfg 20684  Filcfil 23094  UFilcufil 23148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-ac2 10312
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-rpss 7630  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-fin 8800  df-fi 9260  df-dju 9750  df-card 9788  df-ac 9965  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-fil 23095  df-ufil 23150
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator