Theorem sprsymrelf1o 47485

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 into the symmetric relations 𝑅 on the fixed set 𝑉. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
sprsymrelf.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝑉,𝑐,𝑥,𝑦   𝑝,𝑐,𝑥,𝑦,𝑟   𝑅,𝑝   𝑉,𝑟,𝑐,𝑥,𝑦   𝑊,𝑐,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟,𝑝,𝑐)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑟,𝑝)

Proof of Theorem sprsymrelf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		sprsymrelf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
3		sprsymrelf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
4	1, 2, 3	sprsymrelf1 47483	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑃–1-1→𝑅
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1→𝑅)
6	1, 2, 3	sprsymrelfo 47484	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–onto→𝑅)
7		df-f1o 6568	. 2 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝑃–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝑃–onto→𝑅))
8	5, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  –1-1→wf1 6558  –onto→wfo 6559  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  Pairscspr 47464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-spr 47465

This theorem is referenced by:  sprbisymrel  47486  uspgrbisymrelALT  48071