Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprsymrelf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprsymrelf1o 44638
Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 into the symmetric relations 𝑅 on the fixed set 𝑉. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sprsymrelf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
sprsymrelf.f 𝐹 = (𝑝𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
Assertion
Ref Expression
sprsymrelf1o (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1-onto𝑅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝑉,𝑐,𝑥,𝑦   𝑝,𝑐,𝑥,𝑦,𝑟   𝑅,𝑝   𝑉,𝑟,𝑐,𝑥,𝑦   𝑊,𝑐,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟,𝑝,𝑐)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑟,𝑝)

Proof of Theorem sprsymrelf1o
StepHypRef Expression
1 sprsymrelf.p . . . 4 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 sprsymrelf.r . . . 4 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
3 sprsymrelf.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
41, 2, 3sprsymrelf1 44636 . . 3 𝐹:𝑃1-1𝑅
54a1i 11 . 2 (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1𝑅)
61, 2, 3sprsymrelfo 44637 . 2 (𝑉𝑊𝐹:𝑃onto𝑅)
7 df-f1o 6396 . 2 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹:𝑃1-1𝑅𝐹:𝑃onto𝑅))
85, 6, 7sylanbrc 586 1 (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  wrex 3063  {crab 3066  𝒫 cpw 4522  {cpr 4552   class class class wbr 5062  {copab 5124  cmpt 5144   × cxp 5558  1-1wf1 6386  ontowfo 6387  1-1-ontowf1o 6388  cfv 6389  Pairscspr 44617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-id 5464  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-spr 44618
This theorem is referenced by:  sprbisymrel  44639  uspgrbisymrelALT  45005
  Copyright terms: Public domain W3C validator