Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprsymrelf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprsymrelf1o 46897
Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 into the symmetric relations 𝑅 on the fixed set 𝑉. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sprsymrelf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
sprsymrelf.f 𝐹 = (𝑝𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
Assertion
Ref Expression
sprsymrelf1o (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1-onto𝑅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝑉,𝑐,𝑥,𝑦   𝑝,𝑐,𝑥,𝑦,𝑟   𝑅,𝑝   𝑉,𝑟,𝑐,𝑥,𝑦   𝑊,𝑐,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟,𝑝,𝑐)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑟,𝑝)

Proof of Theorem sprsymrelf1o
StepHypRef Expression
1 sprsymrelf.p . . . 4 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 sprsymrelf.r . . . 4 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
3 sprsymrelf.f . . . 4 𝐹 = (𝑝𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
41, 2, 3sprsymrelf1 46895 . . 3 𝐹:𝑃1-1𝑅
54a1i 11 . 2 (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1𝑅)
61, 2, 3sprsymrelfo 46896 . 2 (𝑉𝑊𝐹:𝑃onto𝑅)
7 df-f1o 6550 . 2 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹:𝑃1-1𝑅𝐹:𝑃onto𝑅))
85, 6, 7sylanbrc 581 1 (𝑉𝑊𝐹:𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627   class class class wbr 5144  {copab 5206  cmpt 5227   × cxp 5671  1-1wf1 6540  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  Pairscspr 46876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-spr 46877
This theorem is referenced by:  sprbisymrel  46898  uspgrbisymrelALT  47325
  Copyright terms: Public domain W3C validator