Theorem sprsymrelf1o 48305

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 into the symmetric relations 𝑅 on the fixed set 𝑉. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
sprsymrelf.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝑉,𝑐,𝑥,𝑦   𝑝,𝑐,𝑥,𝑦,𝑟   𝑅,𝑝   𝑉,𝑟,𝑐,𝑥,𝑦   𝑊,𝑐,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑐)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑐)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑝, 𝑐)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑟, 𝑝)

Proof of Theorem sprsymrelf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		sprsymrelf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
3		sprsymrelf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
4	1, 2, 3	sprsymrelf1 48303	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑃–1-1→𝑅
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1→𝑅)
6	1, 2, 3	sprsymrelfo 48304	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–onto→𝑅)
7		df-f1o 6547	. 2 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝑃–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝑃–onto→𝑅))
8	5, 6, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593   class class class wbr 5111  {copab 5175   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  Pairscspr 48284

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-spr 48285

This theorem is used by:  sprbisymrel  48306  uspgrbisymrelALT  48978