Theorem sprsymrelf1o 48131

Description: The mapping 𝐹 is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 into the symmetric relations 𝑅 on the fixed set 𝑉. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
sprsymrelf.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf1o	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝   𝑉,𝑐,𝑥,𝑦   𝑝,𝑐,𝑥,𝑦,𝑟   𝑅,𝑝   𝑉,𝑟,𝑐,𝑥,𝑦   𝑊,𝑐,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟,𝑝,𝑐)   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑟,𝑝)

Proof of Theorem sprsymrelf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		sprsymrelf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
3		sprsymrelf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
4	1, 2, 3	sprsymrelf1 48129	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑃–1-1→𝑅
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1→𝑅)
6	1, 2, 3	sprsymrelfo 48130	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–onto→𝑅)
7		df-f1o 6541	. 2 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝑃–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝑃–onto→𝑅))
8	5, 6, 7	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593   class class class wbr 5110  {copab 5174   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  –1-1→wf1 6531  –onto→wfo 6532  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  Pairscspr 48110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-spr 48111

This theorem is referenced by:  sprbisymrel  48132  uspgrbisymrelALT  48804