Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uspgrbisymrelALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgrbisymrelALT 42291
Description: Alternate proof of uspgrbisymrel 42290 not using the definition of equinumerosity. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgrbisymrel.g 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrbisymrel.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
Assertion
Ref Expression
uspgrbisymrelALT (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝑒,𝑊,𝑞,𝑣   𝑥,𝑊,𝑦   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑓,𝑟)

Proof of Theorem uspgrbisymrelALT
Dummy variables 𝑔 𝑝 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6342 . . . . 5 (Pairs‘𝑉) ∈ V
21pwex 4981 . . . 4 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
3 mptexg 6628 . . . 4 (𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V)
5 eqid 2771 . . . . 5 𝒫 (Pairs‘𝑉) = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
6 uspgrbisymrel.g . . . . 5 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
75, 6uspgrex 42286 . . . 4 (𝑉𝑊𝐺 ∈ V)
8 mptexg 6628 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V)
10 coexg 7264 . . 3 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V ∧ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V) → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 573 . 2 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V)
12 uspgrbisymrel.r . . . 4 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
13 eqid 2771 . . . 4 (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) = (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
145, 12, 13sprsymrelf1o 42276 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}):𝒫 (Pairs‘𝑉)–1-1-onto𝑅)
15 eqid 2771 . . . 4 (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) = (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))
165, 6, 15uspgrsprf1o 42285 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto→𝒫 (Pairs‘𝑉))
17 f1oco 6300 . . 3 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}):𝒫 (Pairs‘𝑉)–1-1-onto𝑅 ∧ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto→𝒫 (Pairs‘𝑉)) → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅)
1814, 16, 17syl2anc 573 . 2 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅)
19 f1oeq1 6268 . . 3 (𝑓 = ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) → (𝑓:𝐺1-1-onto𝑅 ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅))
2019spcegv 3445 . 2 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V → (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅))
2111, 18, 20sylc 65 1 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297  {cpr 4318   class class class wbr 4786  {copab 4846  cmpt 4863   × cxp 5247  ccom 5253  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  2nd c2nd 7314  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160  USPGraphcuspgr 26265  Pairscspr 42255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-upgr 26198  df-uspgr 26267  df-spr 42256
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator