Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uspgrbisymrelALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgrbisymrelALT 48071
Description: Alternate proof of uspgrbisymrel 48070 not using the definition of equinumerosity. (Contributed by AV, 26-Nov-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgrbisymrel.g 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrbisymrel.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
Assertion
Ref Expression
uspgrbisymrelALT (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝑒,𝑊,𝑞,𝑣   𝑥,𝑊,𝑦   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑓,𝑟)

Proof of Theorem uspgrbisymrelALT
Dummy variables 𝑔 𝑝 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6919 . . . . 5 (Pairs‘𝑉) ∈ V
21pwex 5380 . . . 4 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V
3 mptexg 7241 . . . 4 (𝒫 (Pairs‘𝑉) ∈ V → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V)
5 eqid 2737 . . . . 5 𝒫 (Pairs‘𝑉) = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
6 uspgrbisymrel.g . . . . 5 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
75, 6uspgrex 48066 . . . 4 (𝑉𝑊𝐺 ∈ V)
8 mptexg 7241 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V)
10 coexg 7951 . . 3 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∈ V ∧ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) ∈ V) → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V)
12 uspgrbisymrel.r . . . 4 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
13 eqid 2737 . . . 4 (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) = (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}})
145, 12, 13sprsymrelf1o 47485 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}):𝒫 (Pairs‘𝑉)–1-1-onto𝑅)
15 eqid 2737 . . . 4 (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)) = (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))
165, 6, 15uspgrsprf1o 48065 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto→𝒫 (Pairs‘𝑉))
17 f1oco 6871 . . 3 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}):𝒫 (Pairs‘𝑉)–1-1-onto𝑅 ∧ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔)):𝐺1-1-onto→𝒫 (Pairs‘𝑉)) → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅)
1814, 16, 17syl2anc 584 . 2 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅)
19 f1oeq1 6836 . . 3 (𝑓 = ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) → (𝑓:𝐺1-1-onto𝑅 ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅))
2019spcegv 3597 . 2 (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))) ∈ V → (((𝑝 ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑐𝑝 𝑐 = {𝑥, 𝑦}}) ∘ (𝑔𝐺 ↦ (2nd𝑔))):𝐺1-1-onto𝑅 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅))
2111, 18, 20sylc 65 1 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝐺1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  2nd c2nd 8013  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  USPGraphcuspgr 29165  Pairscspr 47464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-upgr 29099  df-uspgr 29167  df-spr 47465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator