axcontlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem axcontlem4 29222

Description: Lemma for axcont 29231. Given the separation assumption, 𝐴 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
axcontlem4.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem4	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝,𝑥 𝐵,𝑝,𝑥,𝑦 𝑁,𝑝,𝑥,𝑦 𝑈,𝑝,𝑥,𝑦 𝑍,𝑝,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑦) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem4 Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1232	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
2		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
3		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁)))
4		ssel 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
5	4	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
6		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑍, 𝑏⟩)
7	6	breq2d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
8	7	rspcv 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ → 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
9	8	ralimdv 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
10	3, 5, 9	3anim123d 1467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
11	10	anim2d 623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))))
12		simplr1 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
14		simplr2 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
15	13, 14	sseldd 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simpr3 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
17		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
18		breq1 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
19	18	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
20	16, 17, 19	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
22	15, 21	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
23	12	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
24	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
25		breq1 5107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
26	25	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
27	24, 26	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
28	22, 23, 27	jca32 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
29		an4 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ↔ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
31		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
32		simpl2r 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ≠ 𝑈)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → 𝑍 ≠ 𝑈)
34		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))
35	34	ralimi 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))
36		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖))
37		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
38		1m0e1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (1 − 0) = 1
39	37, 38	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
40	39	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) = (1 · (𝑍‘𝑖)))
41		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝑏‘𝑖)) = (0 · (𝑏‘𝑖)))
42	40, 41	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))))
43	42	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 0 → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖) ↔ ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖)))
44	36, 43	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ↔ ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖)))
45	44	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖)))
46	45	biimpac 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ 𝑡 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖))
47		simpl2l 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
48		simpl3l 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
49		eqeefv 29158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
50	47, 48, 49	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
51		fveecn 29157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
52	47, 51	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
53		simp1r 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
54	53	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		fveecn 29157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
56	54, 55	sylancom 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
57		mullid 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝑍‘𝑖)) = (𝑍‘𝑖))
58		mul02 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑏‘𝑖)) = 0)
59	57, 58	oveqan12d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = ((𝑍‘𝑖) + 0))
60		addrid 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝑍‘𝑖) + 0) = (𝑍‘𝑖))
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝑍‘𝑖) + 0) = (𝑍‘𝑖))
62	59, 61	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑍‘𝑖))
63	52, 56, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑍‘𝑖))
64	63	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
65	64	ralbidva 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
66	50, 65	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍‘𝑖)) + (0 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑈‘𝑖)))
67	46, 66	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑍 = 𝑈))
68	67	expdimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))) → (𝑡 = 0 → 𝑍 = 𝑈))
69	35, 68	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → (𝑡 = 0 → 𝑍 = 𝑈))
70	69	necon3d 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → (𝑍 ≠ 𝑈 → 𝑡 ≠ 0))
71	33, 70	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → 𝑡 ≠ 0)
72		simp1l 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simp2l 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
74	72, 73, 53	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
75		simp2l 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
76		elicc01 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
77	76	simp1bi 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
78	75, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
79		simp2r 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
80		elicc01 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ 1))
81	80	simp1bi 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
82	79, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
83	78, 82	letrid 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ≤ 𝑠 ∨ 𝑠 ≤ 𝑡))
84		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 𝑡 ≤ 𝑠)
85	78	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 𝑡 ∈ ℝ)
86	76	simp2bi 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
87	75, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 ≤ 𝑡)
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 0 ≤ 𝑡)
89	82	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
90		0red 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
91		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
92	78, 87, 91	ne0gt0d 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 < 𝑡)
93	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 0 < 𝑡)
94	90, 85, 89, 93, 84	ltletrd 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → 0 < 𝑠)
95		divelunit 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑠)) → ((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ≤ 𝑠))
96	85, 88, 89, 94, 95	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → ((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ≤ 𝑠))
97	84, 96	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → (𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1))
98		simp12 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
99	98	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
100	99, 51	sylancom 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
101		simp13 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
102	101	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
103	102, 55	sylancom 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
104	77	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
105	75, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
106	105	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
107	81	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
108	79, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
109	108	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
110		0red 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
111	78	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
112	82	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
113	87	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑡)
114		simpll3 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ≠ 0)
115	111, 113, 114	ne0gt0d 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑡)
116		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ≤ 𝑠)
117	110, 111, 112, 115, 116	ltletrd 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑠)
118	117	gt0ne0d 11766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ≠ 0)
119		divcl 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ)
120	119	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ)
121		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 1 ∈ ℂ
122		simpr2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
123		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
124	121, 122, 123	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
125		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
126	124, 125	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
127		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
128	122, 127	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑠 · (𝑏‘𝑖)) ∈ ℂ)
129	120, 126, 128	adddid 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) = (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
130	129	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
131		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 / 𝑠)) ∈ ℂ)
132	121, 120, 131	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (1 − (𝑡 / 𝑠)) ∈ ℂ)
133	132, 125	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
134	120, 126	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
135	120, 128	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addassd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
137	120, 124	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) ∈ ℂ)
138	132, 137, 125	adddird 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍‘𝑖))))
139		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
140		subdi 11635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
141	121, 140	mp3an2 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
142	119, 139, 141	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
143	119	mulridd 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · 1) = (𝑡 / 𝑠))
144		divcan1 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) = 𝑡)
145	143, 144	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)) = ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡))
146	142, 145	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡))
147	146	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)))
148		simp1 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
149		npncan 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)) = (1 − 𝑡))
150	121, 119, 148, 149	mp3an2i 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)) = (1 − 𝑡))
151	147, 150	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = (1 − 𝑡))
152	151	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = (1 − 𝑡))
153	152	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))
154	120, 124, 125	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) = ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖))))
155	154	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)))))
156	138, 153, 155	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)))) = ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))
157	120, 122, 127	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) · (𝑏‘𝑖)) = ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))
158	144	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) = 𝑡)
159	158	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) · (𝑏‘𝑖)) = (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))
160	157, 159	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))
161	156, 160	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))
162	130, 136, 161	3eqtr2rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
163	100, 103, 106, 109, 118, 162	syl23anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
164	163	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
165		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (1 − 𝑟) = (1 − (𝑡 / 𝑠)))
166	165	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → ((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)))
167		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) = ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
168	166, 167	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
169	168	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
170	169	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
171	170	rspcev 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
172	97, 164, 171	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡 ≤ 𝑠) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
173	172	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ≤ 𝑠 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
174	80	simp2bi 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑠)
175	79, 174	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 ≤ 𝑠)
176		divelunit 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡)) → ((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑠 ≤ 𝑡))
177	82, 175, 78, 92, 176	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑠 ≤ 𝑡))
178	177	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡) → (𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1))
179		simp112 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
180		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
181	179, 180, 51	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
182		simp113 1321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
183	182, 180, 55	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
184		simp12r 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
185	184, 107	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
186		simp12l 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
187	186, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
188		simp13 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ≠ 0)
189		divcl 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ)
190	189	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ)
191		simpr2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℂ)
192		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
193	121, 191, 192	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
194		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
195	193, 194	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
196		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ)
197	191, 196	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑡 · (𝑏‘𝑖)) ∈ ℂ)
198	190, 195, 197	adddid 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))) = (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))
199	198	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
200		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ) → (1 − (𝑠 / 𝑡)) ∈ ℂ)
201	121, 190, 200	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (1 − (𝑠 / 𝑡)) ∈ ℂ)
202	201, 194	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
203	190, 195	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
204	190, 197	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∈ ℂ)
205	202, 203, 204	addassd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
206		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
207		subdi 11635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
208	121, 207	mp3an2 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
209	189, 206, 208	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
210	189	mulridd 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · 1) = (𝑠 / 𝑡))
211		divcan1 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) = 𝑠)
212	210, 211	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)) = ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠))
213	209, 212	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠))
214	213	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)))
215		simp1 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
216		npncan 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)) = (1 − 𝑠))
217	121, 189, 215, 216	mp3an2i 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)) = (1 − 𝑠))
218	214, 217	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 − 𝑠) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))))
219	218	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍‘𝑖)))
220	219	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍‘𝑖)))
221	190, 193	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
222	201, 221, 194	adddird 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍‘𝑖))))
223	190, 193, 194	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) = ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖))))
224	223	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))))
225	220, 222, 224	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))) = ((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)))
226	190, 191, 196	mulassd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏‘𝑖)) = ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))
227	211	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏‘𝑖)) = (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))
228	227	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏‘𝑖)) = (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))
229	226, 228	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))
230	225, 229	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))
231	199, 205, 230	3eqtr2rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
232	181, 183, 185, 187, 188, 231	syl23anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
233	232	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
234	233	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
235		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (1 − 𝑟) = (1 − (𝑠 / 𝑡)))
236	235	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → ((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)))
237		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))) = ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))
238	236, 237	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
239	238	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → ((((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
240	239	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
241	240	rspcev 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
242	178, 234, 241	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠 ≤ 𝑡) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
243	242	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑠 ≤ 𝑡 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
244	173, 243	orim12d 979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 ≤ 𝑠 ∨ 𝑠 ≤ 𝑡) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))))
245		r19.43 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
246	244, 245	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 ≤ 𝑠 ∨ 𝑠 ≤ 𝑡) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))))
247	83, 246	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
248		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) → (𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))
249		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) → (𝑟 · (𝑝‘𝑖)) = (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
250	249	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
251	248, 250	eqeqan12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
252	251	ralimi 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
253		ralbi 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
254	252, 253	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))))
255		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) → (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))
256		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) → (𝑟 · (𝑈‘𝑖)) = (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))
257	256	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))
258	255, 257	eqeqan12rd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
259	258	ralimi 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
260		ralbi 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
261	259, 260	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))))
262	254, 261	orbi12d 931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))))
263	262	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))))))))
264	247, 263	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
265	264	3expia 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 ≠ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))))
266	265	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))))
267	74, 266	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))))
268	267	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
269	71, 268	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))
270	269	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
271	270	rexlimdvva 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
272		simp3l 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
273		brbtwn 29154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))
274	272, 73, 53, 273	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖)))))
275		simp3r 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
276		brbtwn 29154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
277	275, 73, 53, 276	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
278	274, 277	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
279		r19.26 3125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
280	279	2rexbii 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
281		reeanv 3237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
282	280, 281	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖)))))
283	278, 282	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑏‘𝑖))) ∧ (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑏‘𝑖))))))
284		brbtwn 29154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖)))))
285	272, 73, 275, 284	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖)))))
286		brbtwn 29154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))
287	275, 73, 272, 286	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))
288	285, 287	orbi12d 931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
289		r19.43 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖)))))
290	288, 289	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑝‘𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑖))))))
291	271, 283, 290	3imtr4d 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
292	291	3expia 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))
293	292	impd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
294	31, 293	sylanl2 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
295	294	3adantr2 1187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
296	295	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
297	30, 296	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
298	297	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
299	298	3exp2 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈 ∈ 𝐴 → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))))
300	11, 299	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈 ∈ 𝐴 → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
301	300	exlimiv 1953	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈 ∈ 𝐴 → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
302	2, 301	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈 ∈ 𝐴 → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
303	302	com4l 93	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
304	303	3impd 1365	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑍 ≠ 𝑈 → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))
305	304	imp32 423	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
306		axcontlem4.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
307	306	sseq2i 3968	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐷 ↔ 𝐴 ⊆ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)})
308		ssrab 4027	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ↔ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
309	307, 308	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐷 ↔ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
310	1, 305, 309	sylanbrc 594	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1101 = wceq 1563 ∃wex 1802 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2960 ∀wral 3079 ∃wrex 3089 {crab 3417 ⊆ wss 3907 ∅c0 4288 ⟨cop 4591 class class class wbr 5104 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ℂcc 11086 ℝcr 11087 0cc0 11088 1c1 11089 + caddc 11091 · cmul 11093 < clt 11231 ≤ cle 11232 − cmin 11429 / cdiv 11859 ℕcn 12221 [,]cicc 13363 ...cfz 13523 𝔼cee 29142 Btwn cbtwn 29143

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-sep 5250 ax-nul 5260 ax-pow 5326 ax-pr 5394 ax-un 7722 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6291 df-ord 6352 df-on 6353 df-lim 6354 df-suc 6355 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-er 8682 df-map 8814 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12222 df-z 12580 df-uz 12851 df-icc 13367 df-fz 13524 df-ee 29145 df-btwn 29146

This theorem is referenced by: axcontlem9 29227 axcontlem10 29228

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