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Theorem axcontlem4 26759
Description: Lemma for axcont 26768. Given the separation assumption, 𝐴 is a subset of 𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axcontlem4.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
Assertion
Ref Expression
axcontlem4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥,𝑦   𝑁,𝑝,𝑥,𝑦   𝑈,𝑝,𝑥,𝑦   𝑍,𝑝,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem4
Dummy variables 𝑏 𝑖 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1212 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
2 n0 4293 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
3 idd 24 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁)))
4 ssel 3946 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
6 opeq2 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑍, 𝑏⟩)
76breq2d 5065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
87rspcv 3604 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵 → (∀𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ → 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
98ralimdv 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ → ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
103, 5, 93anim123d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → ((𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
1110anim2d 614 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))))
12 simplr1 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
1312adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
14 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑈𝐴)
1513, 14sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
16 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
17 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈) → 𝑈𝐴)
18 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
1918rspccva 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑈𝐴) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
2016, 17, 19syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
2215, 21jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
2312sselda 3953 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
2416adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
25 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩))
2625rspccva 3608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
2724, 26sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)
2822, 23, 27jca32 519 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
29 an4 655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ↔ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
3028, 29sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)))
31 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
32 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑍𝑈)
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → 𝑍𝑈)
34 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))
3534ralimi 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))
36 eqcom 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖))
37 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
38 1m0e1 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 − 0) = 1
3937, 38syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
4039oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) = (1 · (𝑍𝑖)))
41 oveq1 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝑏𝑖)) = (0 · (𝑏𝑖)))
4240, 41oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))))
4342eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 0 → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖) ↔ ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖)))
4436, 43syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 0 → ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ↔ ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖)))
4544ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖)))
4645biimpac 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ 𝑡 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖))
47 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
48 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
49 eqeefv 26695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
5047, 48, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
51 fveecn 26694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
5247, 51sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
53 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
55 fveecn 26694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
5654, 55sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
57 mulid2 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑍𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝑍𝑖)) = (𝑍𝑖))
58 mul02 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑏𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑏𝑖)) = 0)
5957, 58oveqan12d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = ((𝑍𝑖) + 0))
60 addid1 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑍𝑖) ∈ ℂ → ((𝑍𝑖) + 0) = (𝑍𝑖))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) → ((𝑍𝑖) + 0) = (𝑍𝑖))
6259, 61eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑍𝑖))
6352, 56, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑍𝑖))
6463eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
6564ralbidva 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
6650, 65bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((1 · (𝑍𝑖)) + (0 · (𝑏𝑖))) = (𝑈𝑖)))
6746, 66syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑍 = 𝑈))
6867expdimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))) → (𝑡 = 0 → 𝑍 = 𝑈))
6935, 68sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → (𝑡 = 0 → 𝑍 = 𝑈))
7069necon3d 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → (𝑍𝑈𝑡 ≠ 0))
7133, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → 𝑡 ≠ 0)
72 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
73 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
7472, 73, 533jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))
75 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
76 elicc01 12851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
7776simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
7875, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
79 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
80 elicc01 12851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1))
8180simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
8378, 82letrid 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡𝑠𝑠𝑡))
84 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝑠)
8578adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ∈ ℝ)
8676simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
8775, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 ≤ 𝑡)
8887adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 0 ≤ 𝑡)
8982adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
90 0red 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 0 ∈ ℝ)
91 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
9278, 87, 91ne0gt0d 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 < 𝑡)
9392adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 0 < 𝑡)
9490, 85, 89, 93, 84ltletrd 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → 0 < 𝑠)
95 divelunit 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑠)) → ((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡𝑠))
9685, 88, 89, 94, 95syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → ((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡𝑠))
9784, 96mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → (𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1))
98 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
10099, 51sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
101 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
103102, 55sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
10477recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
10575, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
10781recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
10879, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
110 0red 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
11178ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11282ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11387ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑡)
114 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ≠ 0)
115111, 113, 114ne0gt0d 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑡)
116 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡𝑠)
117110, 111, 112, 115, 116ltletrd 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑠)
118117gt0ne0d 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ≠ 0)
119 divcl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ)
120119adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ)
121 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 ∈ ℂ
122 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
123 subcl 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
124121, 122, 123sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
125 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
126124, 125mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
127 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
128122, 127mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑠 · (𝑏𝑖)) ∈ ℂ)
129120, 126, 128adddid 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) = (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
130129oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
131 subcl 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 / 𝑠)) ∈ ℂ)
132121, 120, 131sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (1 − (𝑡 / 𝑠)) ∈ ℂ)
133132, 125mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
134120, 126mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖))) ∈ ℂ)
135120, 128mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖))) ∈ ℂ)
136133, 134, 135addassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖)))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
137120, 124mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) ∈ ℂ)
138132, 137, 125adddird 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍𝑖))))
139 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
140 subdi 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
141121, 140mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
142119, 139, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)))
143119mulid1d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · 1) = (𝑡 / 𝑠))
144 divcan1 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) = 𝑡)
145143, 144oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → (((𝑡 / 𝑠) · 1) − ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠)) = ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡))
146142, 145eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) = ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡))
147146oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)))
148 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
149 npncan 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 / 𝑠) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)) = (1 − 𝑡))
150121, 119, 148, 149mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) − 𝑡)) = (1 − 𝑡))
151147, 150eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = (1 − 𝑡))
152151adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) = (1 − 𝑡))
153152oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) + ((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠))) · (𝑍𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))
154120, 124, 125mulassd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍𝑖)) = ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖))))
155154oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑡 / 𝑠) · (1 − 𝑠)) · (𝑍𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)))))
156138, 153, 1553eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)))) = ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))
157120, 122, 127mulassd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) · (𝑏𝑖)) = ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖))))
158144adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) = 𝑡)
159158oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((𝑡 / 𝑠) · 𝑠) · (𝑏𝑖)) = (𝑡 · (𝑏𝑖)))
160157, 159eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (𝑡 · (𝑏𝑖)))
161156, 160oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)))) + ((𝑡 / 𝑠) · (𝑠 · (𝑏𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))
162130, 136, 1613eqtr2rd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
163100, 103, 106, 109, 118, 162syl23anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
164163ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
165 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (1 − 𝑟) = (1 − (𝑡 / 𝑠)))
166165oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → ((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) = ((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)))
167 oveq1 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) = ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
168166, 167oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
169168eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
170169ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑟 = (𝑡 / 𝑠) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
171170rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑡 / 𝑠) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑡 / 𝑠)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 / 𝑠) · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
17297, 164, 171syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑡𝑠) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
173172ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡𝑠 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
17480simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑠)
17579, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 0 ≤ 𝑠)
176 divelunit 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡)) → ((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑠𝑡))
17782, 175, 78, 92, 176syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑠𝑡))
178177biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡) → (𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1))
179 simp112 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
180 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
181179, 180, 51syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
182 simp113 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
183182, 180, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
184 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
185184, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
186 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
187186, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
188 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ≠ 0)
189 divcl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ)
190189adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ)
191 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℂ)
192 subcl 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
193121, 191, 192sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
194 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
195193, 194mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
196 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑏𝑖) ∈ ℂ)
197191, 196mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑡 · (𝑏𝑖)) ∈ ℂ)
198190, 195, 197adddid 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))) = (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖)))))
199198oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
200 subcl 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ) → (1 − (𝑠 / 𝑡)) ∈ ℂ)
201121, 190, 200sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (1 − (𝑠 / 𝑡)) ∈ ℂ)
202201, 194mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
203190, 195mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖))) ∈ ℂ)
204190, 197mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∈ ℂ)
205202, 203, 204addassd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖)))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
206 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
207 subdi 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
208121, 207mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
209189, 206, 208syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)))
210189mulid1d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · 1) = (𝑠 / 𝑡))
211 divcan1 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) = 𝑠)
212210, 211oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((𝑠 / 𝑡) · 1) − ((𝑠 / 𝑡) · 𝑡)) = ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠))
213209, 212eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) = ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠))
214213oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)))
215 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
216 npncan 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑠 / 𝑡) ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)) = (1 − 𝑠))
217121, 189, 215, 216mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) − 𝑠)) = (1 − 𝑠))
218214, 217eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 − 𝑠) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))))
219218oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍𝑖)))
220219adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍𝑖)))
221190, 193mulcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
222201, 221, 194adddird 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) + ((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍𝑖))))
223190, 193, 194mulassd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍𝑖)) = ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖))))
224223oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + (((𝑠 / 𝑡) · (1 − 𝑡)) · (𝑍𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))))
225220, 222, 2243eqtrrd 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))) = ((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)))
226190, 191, 196mulassd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏𝑖)) = ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖))))
227211oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏𝑖)) = (𝑠 · (𝑏𝑖)))
228227adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑠 / 𝑡) · 𝑡) · (𝑏𝑖)) = (𝑠 · (𝑏𝑖)))
229226, 228eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (𝑠 · (𝑏𝑖)))
230225, 229oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)))) + ((𝑠 / 𝑡) · (𝑡 · (𝑏𝑖)))) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))
231199, 205, 2303eqtr2rd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑏𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
232181, 183, 185, 187, 188, 231syl23anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
2332323expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
234233ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
235 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (1 − 𝑟) = (1 − (𝑠 / 𝑡)))
236235oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → ((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) = ((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)))
237 oveq1 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))) = ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))
238236, 237oveq12d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
239238eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → ((((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
240239ralbidv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑟 = (𝑠 / 𝑡) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
241240rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑠 / 𝑡) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − (𝑠 / 𝑡)) · (𝑍𝑖)) + ((𝑠 / 𝑡) · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
242178, 234, 241syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ 𝑠𝑡) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
243242ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑠𝑡 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
244173, 243orim12d 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡𝑠𝑠𝑡) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))))
245 r19.43 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
246244, 245syl6ibr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡𝑠𝑠𝑡) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))))
24783, 246mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
248 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) → (𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))
249 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) → (𝑟 · (𝑝𝑖)) = (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
250249oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
251248, 250eqeqan12d 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
252251ralimi 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
253 ralbi 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ↔ (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
254252, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))))
255 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) → (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))
256 oveq2 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) → (𝑟 · (𝑈𝑖)) = (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))
257256oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))
258255, 257eqeqan12rd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
259258ralimi 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
260 ralbi 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) ↔ (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
261259, 260syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))))
262254, 261orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))))
263262rexbidv 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))))))))
264247, 263syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
2652643expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 ≠ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))))
266265com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))))
26774, 266sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))))
268267imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → (𝑡 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
26971, 268mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))
270269ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
271270rexlimdvva 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
272 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
273 brbtwn 26691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))
274272, 73, 53, 273syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖)))))
275 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
276 brbtwn 26691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
277275, 73, 53, 276syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
278274, 277anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
279 r19.26 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
2802792rexbii 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
281 reeanv 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
282280, 281bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖)))))
283278, 282syl6bbr 292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑈𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑏𝑖))) ∧ (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑖)) + (𝑠 · (𝑏𝑖))))))
284 brbtwn 26691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖)))))
285272, 73, 275, 284syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖)))))
286 brbtwn 26691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))
287275, 73, 272, 286syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))
288285, 287orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
289 r19.43 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖)))))
290288, 289syl6bbr 292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑈𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑝𝑖))) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑖)) + (𝑟 · (𝑈𝑖))))))
291271, 283, 2903imtr4d 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
2922913expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))
293292impd 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
29431, 293sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
2952943adantr2 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
296295adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → (((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩ ∧ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
29730, 296mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
298297ralrimiva 3177 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
2992983exp2 1351 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑏⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈𝐴 → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))))
30011, 299syl6 35 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈𝐴 → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
301300exlimiv 1932 . . . . . 6 (∃𝑏 𝑏𝐵 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈𝐴 → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
3022, 301sylbi 220 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈𝐴 → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
303302com4l 92 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑈𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))))
3043033impd 1345 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝑍𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))))
305304imp32 422 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
306 axcontlem4.1 . . . 4 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
307306sseq2i 3982 . . 3 (𝐴𝐷𝐴 ⊆ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)})
308 ssrab 4035 . . 3 (𝐴 ⊆ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ↔ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
309307, 308bitri 278 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
3101, 305, 309sylanbrc 586 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  {crab 3137  wss 3919  c0 4276  cop 4556   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  [,]cicc 12736  ...cfz 12892  𝔼cee 26680   Btwn cbtwn 26681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-z 11977  df-uz 12239  df-icc 12740  df-fz 12893  df-ee 26683  df-btwn 26684
This theorem is referenced by:  axcontlem9  26764  axcontlem10  26765
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