MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem2 9516
Description: Lemma for ordtype 9529. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem2 (𝜑 → Ord 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.5 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
21ssrab3 4079 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ On
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ On)
43sselda 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ∈ On)
5 onss 7774 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ On → 𝑎 ⊆ On)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ⊆ On)
7 eloni 6373 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → Ord 𝑎)
9 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
109raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1110rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1211, 1elrab2 3685 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑇 ↔ (𝑎 ∈ On ∧ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1312simprbi 495 . . . . . . . 8 (𝑎𝑇 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡)
15 ordelss 6379 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝑎𝑥𝑎) → 𝑥𝑎)
16 imass2 6100 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑎 → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎))
17 ssralv 4049 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
1817reximdv 3168 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎) → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑎𝑥𝑎) → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
2019ralrimdva 3152 . . . . . . 7 (Ord 𝑎 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
218, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑇) → ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡)
22 ssrab 4069 . . . . . 6 (𝑎 ⊆ {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡} ↔ (𝑎 ⊆ On ∧ ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
236, 21, 22sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ⊆ {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡})
2423, 1sseqtrrdi 4032 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎𝑇)
2524ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑇 𝑎𝑇)
26 dftr3 5270 . . 3 (Tr 𝑇 ↔ ∀𝑎𝑇 𝑎𝑇)
2725, 26sylibr 233 . 2 (𝜑 → Tr 𝑇)
28 ordon 7766 . . 3 Ord On
29 trssord 6380 . . 3 ((Tr 𝑇𝑇 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑇)
302, 28, 29mp3an23 1451 . 2 (Tr 𝑇 → Ord 𝑇)
3127, 30syl 17 1 (𝜑 → Ord 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  wss 3947   class class class wbr 5147  cmpt 5230  Tr wtr 5264   Se wse 5628   We wwe 5629  ran crn 5676  cima 5678  Ord word 6362  Oncon0 6363  crio 7366  recscrecs 8372  OrdIsocoi 9506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367
This theorem is referenced by:  ordtypelem5  9519  ordtypelem6  9520  ordtypelem7  9521  ordtypelem8  9522  ordtypelem9  9523
  Copyright terms: Public domain W3C validator