MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem2 9514
Description: Lemma for ordtype 9527. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem2 (𝜑 → Ord 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.5 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
21ssrab3 4081 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ On
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ On)
43sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ∈ On)
5 onss 7772 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ On → 𝑎 ⊆ On)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ⊆ On)
7 eloni 6375 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → Ord 𝑎)
9 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
109raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1110rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1211, 1elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑇 ↔ (𝑎 ∈ On ∧ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡))
1312simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑎𝑇 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡)
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑇) → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡)
15 ordelss 6381 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝑎𝑥𝑎) → 𝑥𝑎)
16 imass2 6102 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑎 → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎))
17 ssralv 4051 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎) → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
1817reximdv 3171 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑎) → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
1915, 16, 183syl 18 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑎𝑥𝑎) → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
2019ralrimdva 3155 . . . . . . 7 (Ord 𝑎 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑎)𝑧𝑅𝑡 → ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
218, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑇) → ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡)
22 ssrab 4071 . . . . . 6 (𝑎 ⊆ {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡} ↔ (𝑎 ⊆ On ∧ ∀𝑥𝑎𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡))
236, 21, 22sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎 ⊆ {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡})
2423, 1sseqtrrdi 4034 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑇) → 𝑎𝑇)
2524ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑇 𝑎𝑇)
26 dftr3 5272 . . 3 (Tr 𝑇 ↔ ∀𝑎𝑇 𝑎𝑇)
2725, 26sylibr 233 . 2 (𝜑 → Tr 𝑇)
28 ordon 7764 . . 3 Ord On
29 trssord 6382 . . 3 ((Tr 𝑇𝑇 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑇)
302, 28, 29mp3an23 1454 . 2 (Tr 𝑇 → Ord 𝑇)
3127, 30syl 17 1 (𝜑 → Ord 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  Tr wtr 5266   Se wse 5630   We wwe 5631  ran crn 5678  cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  crio 7364  recscrecs 8370  OrdIsocoi 9504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369
This theorem is referenced by:  ordtypelem5  9517  ordtypelem6  9518  ordtypelem7  9519  ordtypelem8  9520  ordtypelem9  9521
  Copyright terms: Public domain W3C validator