MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtlecl 17038
Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
ramtlecl (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
21imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
32albidv 1920 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4 ramtlecl.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
53, 4elrab2 3695 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
65simplbi 497 . . . 4 (𝑀𝑇𝑀 ∈ ℕ0)
7 eluznn0 12959 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87ex 412 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3989 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
106, 9syl 17 . . 3 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
115simprbi 496 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12 eluzle 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑛)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑛)
14 nn0ssre 12530 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℝ*
176adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1816, 17sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
196, 7sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2016, 19sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
22 hashxrcl 14396 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24 xrletr 13200 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2613, 25mpand 695 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2726imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2827ralrimdva 3154 . . . . . 6 (𝑀𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2928alimdv 1916 . . . . 5 (𝑀𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3011, 29mpd 15 . . . 4 (𝑀𝑇 → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31 ralcom4 3286 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
3230, 31sylibr 234 . . 3 (𝑀𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33 ssrab 4073 . . 3 ((ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3410, 32, 33sylanbrc 583 . 2 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
3534, 4sseqtrrdi 4025 1 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  cr 11154  *cxr 11294  cle 11296  0cn0 12526  cuz 12878  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator