MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtlecl 16336
Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
ramtlecl (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 5056 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
21imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
32albidv 1922 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4 ramtlecl.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
53, 4elrab2 3669 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
65simplbi 501 . . . 4 (𝑀𝑇𝑀 ∈ ℕ0)
7 eluznn0 12316 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87ex 416 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3959 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
106, 9syl 17 . . 3 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
115simprbi 500 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12 eluzle 12255 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑛)
1312adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑛)
14 nn0ssre 11900 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 10685 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3962 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℝ*
176adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1816, 17sseldi 3951 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
196, 7sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2016, 19sseldi 3951 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
22 hashxrcl 13725 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24 xrletr 12550 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2613, 25mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2726imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2827ralrimdva 3184 . . . . . 6 (𝑀𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2928alimdv 1918 . . . . 5 (𝑀𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3011, 29mpd 15 . . . 4 (𝑀𝑇 → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31 ralcom4 3229 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
3230, 31sylibr 237 . . 3 (𝑀𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33 ssrab 4035 . . 3 ((ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3410, 32, 33sylanbrc 586 . 2 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
3534, 4sseqtrrdi 4004 1 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  wss 3919   class class class wbr 5053  cfv 6345  cr 10536  *cxr 10674  cle 10676  0cn0 11896  cuz 12242  chash 13697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-hash 13698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator