MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtlecl 15907
Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
ramtlecl (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
21imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
32albidv 2001 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4 ramtlecl.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
53, 4elrab2 3518 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
65simplbi 485 . . . 4 (𝑀𝑇𝑀 ∈ ℕ0)
7 eluznn0 11961 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87ex 397 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3758 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
106, 9syl 17 . . 3 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
115simprbi 484 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12 eluzle 11902 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑛)
1312adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑛)
14 nn0ssre 11499 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 10285 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3761 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℝ*
176adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1816, 17sseldi 3750 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
196, 7sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2016, 19sseldi 3750 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
22 hashxrcl 13346 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24 xrletr 12190 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2613, 25mpand 675 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2726imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2827ralrimdva 3118 . . . . . 6 (𝑀𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2928alimdv 1997 . . . . 5 (𝑀𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3011, 29mpd 15 . . . 4 (𝑀𝑇 → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31 ralcom4 3376 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
3230, 31sylibr 224 . . 3 (𝑀𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33 ssrab 3829 . . 3 ((ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3410, 32, 33sylanbrc 572 . 2 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
3534, 4syl6sseqr 3801 1 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6029  cr 10137  *cxr 10275  cle 10277  0cn0 11495  cuz 11889  chash 13317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-hash 13318
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator