MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtlecl 17002
Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
ramtlecl (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 5156 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
21imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
32albidv 1916 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4 ramtlecl.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
53, 4elrab2 3684 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
65simplbi 496 . . . 4 (𝑀𝑇𝑀 ∈ ℕ0)
7 eluznn0 12953 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87ex 411 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3985 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
106, 9syl 17 . . 3 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
115simprbi 495 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12 eluzle 12887 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑛)
1312adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑛)
14 nn0ssre 12528 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 11308 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3989 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℝ*
176adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1816, 17sselid 3977 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
196, 7sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2016, 19sselid 3977 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21 vex 3466 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
22 hashxrcl 14374 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24 xrletr 13191 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2613, 25mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2726imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2827ralrimdva 3144 . . . . . 6 (𝑀𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
2928alimdv 1912 . . . . 5 (𝑀𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3011, 29mpd 15 . . . 4 (𝑀𝑇 → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31 ralcom4 3274 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
3230, 31sylibr 233 . . 3 (𝑀𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33 ssrab 4069 . . 3 ((ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3410, 32, 33sylanbrc 581 . 2 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
3534, 4sseqtrrdi 4031 1 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947   class class class wbr 5153  cfv 6554  cr 11157  *cxr 11297  cle 11299  0cn0 12524  cuz 12874  chash 14347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-hash 14348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator