Theorem ramtlecl 17085

Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramtlecl.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ramtlecl	⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2	1	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3	2	albidv 1953	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4		ramtlecl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
5	3, 4	elrab2 3657	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
6	5	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		eluznn0 12959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8	7	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	8	ssrdv 3946	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	5	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12		eluzle 12893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑛)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑛)
14		nn0ssre 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	16, 17	sselid 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	6, 7	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	16, 19	sselid 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21		vex 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑠 ∈ V
22		hashxrcl 14413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24		xrletr 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
26	13, 25	mpand 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
27	26	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
28	27	ralrimdva 3168	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
29	28	alimdv 1949	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
30	11, 29	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31		ralcom4 3294	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
32	30, 31	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33		ssrab 4028	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
34	10, 32, 33	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
35	34, 4	sseqtrrdi 3981	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-hash 14387

This theorem is used by: (None)