Theorem ramtlecl 17098

Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramtlecl.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ramtlecl	⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2	1	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3	2	albidv 1953	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4		ramtlecl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
5	3, 4	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
6	5	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		eluznn0 12970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8	7	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	8	ssrdv 3940	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	5	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12		eluzle 12904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑛)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑛)
14		nn0ssre 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	16, 17	sselid 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	6, 7	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	16, 19	sselid 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑠 ∈ V
22		hashxrcl 14425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24		xrletr 13213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
26	13, 25	mpand 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
27	26	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
28	27	ralrimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
29	28	alimdv 1949	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
30	11, 29	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31		ralcom4 3290	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
32	30, 31	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33		ssrab 4022	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
34	10, 32, 33	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
35	34, 4	sseqtrrdi 3975	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ♯chash 14398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-hash 14399

This theorem is used by: (None)