Theorem ramtlecl 16971

Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramtlecl.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ramtlecl	⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2	1	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3	2	albidv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4		ramtlecl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
5	3, 4	elrab2 3662	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
6	5	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		eluznn0 12876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	8	ssrdv 3952	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	5	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12		eluzle 12806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑛)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑛)
14		nn0ssre 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	16, 17	sselid 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	6, 7	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	16, 19	sselid 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21		vex 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑠 ∈ V
22		hashxrcl 14322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24		xrletr 13118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
26	13, 25	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
27	26	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
28	27	ralrimdva 3133	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
29	28	alimdv 1916	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
30	11, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31		ralcom4 3263	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
32	30, 31	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33		ssrab 4036	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
34	10, 32, 33	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
35	34, 4	sseqtrrdi 3988	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-hash 14296

This theorem is referenced by: (None)