Theorem ramtlecl 15907

Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramtlecl.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ramtlecl	⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
2	1	imbi1d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
3	2	albidv 2001	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
4		ramtlecl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)}
5	3, 4	elrab2 3518	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
6	5	simplbi 485	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		eluznn0 11961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8	7	ex 397	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	8	ssrdv 3758	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	5	simprbi 484	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
12		eluzle 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑛)
13	12	adantl 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑛)
14		nn0ssre 11499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 10285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	6	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	16, 17	sseldi 3750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	6, 7	sylan 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	16, 19	sseldi 3750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21		vex 3354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑠 ∈ V
22		hashxrcl 13346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ V → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (♯‘𝑠) ∈ ℝ*)
24		xrletr 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
26	13, 25	mpand 675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
27	26	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
28	27	ralrimdva 3118	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ((𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
29	28	alimdv 1997	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
30	11, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
31		ralcom4 3376	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
32	30, 31	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑))
33		ssrab 3829	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)))
34	10, 32, 33	sylanbrc 572	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → 𝜑)})
35	34, 4	syl6sseqr 3801	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382  ∀wal 1629   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  ‘cfv 6029  ℝcr 10137  ℝ^*cxr 10275   ≤ cle 10277  ℕ₀cn0 11495  ℤ_≥cuz 11889  ♯chash 13317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-hash 13318

This theorem is referenced by: (None)