MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdgsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdgsum2 23463
Description: For any neighborhood π‘ˆ of 𝑛𝑋, there is a neighborhood 𝑒 of 𝑋 such that any sum of 𝑛 elements in 𝑒 sums to an element of π‘ˆ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tmdgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tmdgsum2.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
tmdgsum2.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tmdgsum2.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
tmdgsum2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
tmdgsum2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
tmdgsum2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
tmdgsum2.3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑓,𝐴   𝑓,𝐽,𝑒   𝑓,𝑋,𝑒   𝐡,𝑓,𝑒   𝑓,𝐺,𝑒   π‘ˆ,𝑓,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑓)   Β· (𝑒,𝑓)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓))
21mptpreima 6195 . . . . . 6 (β—‘(𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β€œ π‘ˆ) = {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
86, 7tmdgsum 23462 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) ∈ ((𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) Cn 𝐽))
93, 4, 5, 8syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) ∈ ((𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) Cn 𝐽))
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
11 cnima 22632 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) ∈ ((𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) Cn 𝐽) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (β—‘(𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β€œ π‘ˆ) ∈ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴))
129, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘(𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β€œ π‘ˆ) ∈ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴))
132, 12eqeltrrid 2843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ∈ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴))
146, 7tmdtopon 23448 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
15 topontop 22278 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
164, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
17 xkopt 23022 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝐽})))
1816, 5, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝐽})))
19 fnconstg 6735 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ (𝐴 Γ— {𝐽}) Fn 𝐴)
204, 14, 193syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝐽}) Fn 𝐴)
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
2221ptval 22937 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 Γ— {𝐽}) Fn 𝐴) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝐽})) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
235, 20, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝐽})) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
2418, 23eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 ↑ko 𝒫 𝐴) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
2513, 24eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ∈ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
26 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐴 Γ— {𝑋}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 Γ— {𝑋})))
2726eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑓 = (𝐴 Γ— {𝑋}) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐴 Γ— {𝑋})) ∈ π‘ˆ))
28 tmdgsum2.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
29 fconst6g 6736 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— {𝑋}):𝐴⟢𝐡)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝑋}):𝐴⟢𝐡)
317fvexi 6861 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
32 elmapg 8785 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 Γ— {𝑋}):𝐴⟢𝐡))
3331, 5, 32sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↔ (𝐴 Γ— {𝑋}):𝐴⟢𝐡))
3430, 33mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ (𝐡 ↑m 𝐴))
35 fconstmpt 5699 . . . . . . . 8 (𝐴 Γ— {𝑋}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
3635oveq2i 7373 . . . . . . 7 (𝐺 Ξ£g (𝐴 Γ— {𝑋})) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
37 cmnmnd 19586 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
383, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
39 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9 Β· = (.gβ€˜πΊ)
407, 39gsumconst 19718 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((β™―β€˜π΄) Β· 𝑋))
4138, 5, 28, 40syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((β™―β€˜π΄) Β· 𝑋))
4236, 41eqtrid 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 Γ— {𝑋})) = ((β™―β€˜π΄) Β· 𝑋))
43 tmdgsum2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
4442, 43eqeltrd 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 Γ— {𝑋})) ∈ π‘ˆ)
4527, 34, 44elrabd 3652 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})
46 tg2 22331 . . . 4 (({𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ∈ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}) ∧ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}))
4725, 45, 46syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}))
48 eleq2 2827 . . . . 5 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ 𝑑 ↔ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯))
49 sseq1 3974 . . . . 5 (𝑑 = π‘₯ β†’ (𝑑 βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ↔ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}))
5048, 49anbi12d 632 . . . 4 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) ↔ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})))
5150rexab2 3662 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) ↔ βˆƒπ‘₯(βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})))
5247, 51sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯(βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})))
53 toponuni 22279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
544, 14, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
5655ineq1d 4176 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) = (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ ran 𝑔))
5716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
58 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
59 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))
60 fvconst2g 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) = 𝐽)
6160eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ↔ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝐽))
6261ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝐽))
6357, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝐽))
6459, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝐽)
65 ffnfv 7071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:𝐴⟢𝐽 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝐽))
6658, 64, 65sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝑔:𝐴⟢𝐽)
6766frnd 6681 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ ran 𝑔 βŠ† 𝐽)
685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
69 dffn4 6767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 Fn 𝐴 ↔ 𝑔:𝐴–ontoβ†’ran 𝑔)
7058, 69sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝑔:𝐴–ontoβ†’ran 𝑔)
71 fofi 9289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐴–ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 ∈ Fin)
7268, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ ran 𝑔 ∈ Fin)
73 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
7473rintopn 22274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ran 𝑔 βŠ† 𝐽 ∧ ran 𝑔 ∈ Fin) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ 𝐽)
7557, 67, 72, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ 𝐽)
7656, 75eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ 𝐽)
7728ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
78 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))
8078, 79eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))
81 mptelixpg 8880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)))
8268, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)))
8380, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦))
84 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (𝑋 ∈ 𝑧 ↔ 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)))
8584ralrn 7043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 Fn 𝐴 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑔 𝑋 ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)))
8658, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑔 𝑋 ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)))
8783, 86mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑔 𝑋 ∈ 𝑧)
88 elrint 4957 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑔 𝑋 ∈ 𝑧))
8977, 87, 88sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔))
9031inex1 5279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ V
91 ixpconstg 8851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ V) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) = ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴))
9268, 90, 91sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) = ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴))
93 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† ∩ ran 𝑔
94 fnfvelrn 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑔)
95 intss1 4929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑔 β†’ ∩ ran 𝑔 βŠ† (π‘”β€˜π‘¦))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ∩ ran 𝑔 βŠ† (π‘”β€˜π‘¦))
9793, 96sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† (π‘”β€˜π‘¦))
9897ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 Fn 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† (π‘”β€˜π‘¦))
99 ss2ixp 8855 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† (π‘”β€˜π‘¦) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))
10058, 98, 993syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))
10192, 100eqsstrrd 3988 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))
102 ssrab 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ↔ (X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (𝐡 ↑m 𝐴) ∧ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
103102simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} β†’ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)
104103ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘“ ∈ X 𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)
105 ssralv 4015 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ X 𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
106101, 104, 105sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)
107 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) β†’ (𝑋 ∈ 𝑒 ↔ 𝑋 ∈ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔)))
108 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) β†’ (𝑒 ↑m 𝐴) = ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴))
109108raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
110107, 109anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)))
111110rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∈ 𝐽 ∧ (𝑋 ∈ (𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐡 ∩ ∩ ran 𝑔) ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
11276, 89, 106, 111syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
113112ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)))
1141133adantr3 1172 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)))
115 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ↔ (𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)))
116 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ} ↔ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}))
117115, 116anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) ↔ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})))
118117imbi1d 342 . . . . . . 7 (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ ((((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)) ↔ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∧ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))))
119114, 118syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦))) β†’ (π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))))
120119expimpd 455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))))
121120exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ}) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))))
122121impd 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)))
123122exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯(βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝐽})β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐴 Γ— {𝑋}) ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ)))
12452, 123mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑒 ↑m 𝐴)(𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  βˆ© cint 4912   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Xcixp 8842  Fincfn 8890  β™―chash 14237  Basecbs 17090  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  βˆtcpt 17327   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  .gcmg 18879  CMndccmn 19569  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591   ↑ko cxko 22928  TopMndctmd 23437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-rest 17311  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-xko 22930  df-tmd 23439
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23522
  Copyright terms: Public domain W3C validator