Theorem blcls 24546

Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (Equality need not hold; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcls	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		blcld.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
3	1, 2	blcld 24545	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
4		blssm 24458	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
5		elbl 24428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑅)))
6		xmetcl 24371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
7	6	3expa 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
8	7	3adantl3 1181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
9		simpl3 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10		xrltle 13148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
11	8, 9, 10	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
12	11	expimpd 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑅) → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
13	5, 12	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
14	13	ralrimiv 3152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)(𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅)
15		ssrab 4024	. . . 4 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)(𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
16	4, 14, 15	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
17	16, 2	sseqtrrdi 3977	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑆)
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
19	18	clsss2 23112	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑆) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)
20	3, 17, 19	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  ∞Metcxmet 21389  ballcbl 21391  MetOpencmopn 21394  Clsdccld 23056  clsccl 23058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cld 23059  df-cls 23061

This theorem is referenced by:  blsscls  24547  cnllycmp  24998  cncmet  25364