Theorem blcls 24620

Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (Equality need not hold; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcls	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		blcld.3	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
3	1, 2	blcld 24619	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
4		blssm 24532	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
5		elbl 24502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑅)))
6		xmetcl 24445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
7	6	3expa 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
8	7	3adantl3 1185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
9		simpl3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10		xrltle 13162	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
12	11	expimpd 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑅) → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
13	5, 12	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
14	13	ralrimiv 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)(𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅)
15		ssrab 4027	. . . 4 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)(𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅))
16	4, 14, 15	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
17	16, 2	sseqtrrdi 3980	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑆)
18		eqid 2765	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
19	18	clsss2 23186	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑆) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)
20	3, 17, 19	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((cls‘𝐽)‘(𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  ∞Metcxmet 21464  ballcbl 21466  MetOpencmopn 21469  Clsdccld 23130  clsccl 23132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17484  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-bases 23060  df-cld 23133  df-cls 23135

This theorem is referenced by:  blsscls  24621  cnllycmp  25072  cncmet  25438