Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldgenpisyslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldgenpisyslem3 31600
 Description: Lemma for ldgenpisys 31601. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem3.1 (𝜑𝐴𝑇)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem3 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . 2 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . 2 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . 2 (𝜑𝑂𝑉)
4 ldgenpisys.e . 2 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
5 ldgenpisys.1 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
76rgenw 3118 . . . . 5 𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
8 ssintrab 4865 . . . . 5 (𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡))
97, 8mpbir 234 . . . 4 𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡}
109, 4sseqtrri 3954 . . 3 𝑇𝐸
11 ldgenpisyslem3.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑇)
1210, 11sseldi 3915 . 2 (𝜑𝐴𝐸)
131ispisys 31587 . . . . . . 7 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
145, 13sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
1514simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16 elpwi 4509 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
185adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
1911adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝐴𝑇)
20 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
211inelpisys 31589 . . . . . . 7 ((𝑇𝑃𝐴𝑇𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2310, 22sseldi 3915 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2423ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2517, 24jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
26 ssrab 4002 . . 3 (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
2725, 26sylibr 237 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
281, 2, 3, 4, 5, 12, 27ldgenpisyslem2 31599 1 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4804  ∩ cint 4842  Disj wdisj 4999   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  ωcom 7573   ≼ cdom 8508  ficfi 8876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fi 8877  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373 This theorem is referenced by:  ldgenpisys  31601
 Copyright terms: Public domain W3C validator