Theorem ldgenpisyslem3 34132

Description: Lemma for ldgenpisys 34133. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. 2 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		ldgenpisys.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
5		ldgenpisys.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
7	6	rgenw 3048	. . . . 5 ⊢ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
8		ssintrab 4921	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
9	7, 8	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
10	9, 4	sseqtrri 3985	. . 3 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐸
11		ldgenpisyslem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
12	10, 11	sselid 3933	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
13	1	ispisys 34119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
14	5, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16		elpwi 4558	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
18	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
21	1	inelpisys 34121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
23	10, 22	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
24	23	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
25	17, 24	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
26		ssrab 4024	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
28	1, 2, 3, 4, 5, 12, 27	ldgenpisyslem2 34131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858  ∩ cint 4896  Disj wdisj 5059   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  ficfi 9300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  34133