Theorem ldgenpisyslem3 34328

Description: Lemma for ldgenpisys 34329. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. 2 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		ldgenpisys.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
5		ldgenpisys.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
7	6	rgenw 3056	. . . . 5 ⊢ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
8		ssintrab 4914	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
9	7, 8	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
10	9, 4	sseqtrri 3972	. . 3 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐸
11		ldgenpisyslem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
12	10, 11	sselid 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
13	1	ispisys 34315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
14	5, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16		elpwi 4549	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
18	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
21	1	inelpisys 34317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
23	10, 22	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
24	23	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
25	17, 24	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
26		ssrab 4012	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
28	1, 2, 3, 4, 5, 12, 27	ldgenpisyslem2 34327	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  Disj wdisj 5053   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  ωcom 7811   ≼ cdom 8885  ficfi 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-acn 9860

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  34329