Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldgenpisyslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldgenpisyslem3 32828
Description: Lemma for ldgenpisys 32829. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem3.1 (𝜑𝐴𝑇)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem3 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . 2 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . 2 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . 2 (𝜑𝑂𝑉)
4 ldgenpisys.e . 2 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
5 ldgenpisys.1 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
76rgenw 3065 . . . . 5 𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
8 ssintrab 4936 . . . . 5 (𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡))
97, 8mpbir 230 . . . 4 𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡}
109, 4sseqtrri 3985 . . 3 𝑇𝐸
11 ldgenpisyslem3.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑇)
1210, 11sselid 3946 . 2 (𝜑𝐴𝐸)
131ispisys 32815 . . . . . . 7 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
145, 13sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
1514simpld 496 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16 elpwi 4571 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
185adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
1911adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝐴𝑇)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
211inelpisys 32817 . . . . . . 7 ((𝑇𝑃𝐴𝑇𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2310, 22sselid 3946 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2423ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2517, 24jca 513 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
26 ssrab 4034 . . 3 (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
2725, 26sylibr 233 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
281, 2, 3, 4, 5, 12, 27ldgenpisyslem2 32827 1 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  {crab 3406  cdif 3911  cin 3913  wss 3914  c0 4286  𝒫 cpw 4564   cuni 4869   cint 4911  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  cfv 6500  ωcom 7806  cdom 8887  ficfi 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886
This theorem is referenced by:  ldgenpisys  32829
  Copyright terms: Public domain W3C validator