Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldgenpisyslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldgenpisyslem3 34166
Description: Lemma for ldgenpisys 34167. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem3.1 (𝜑𝐴𝑇)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem3 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . 2 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . 2 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . 2 (𝜑𝑂𝑉)
4 ldgenpisys.e . 2 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
5 ldgenpisys.1 . 2 (𝜑𝑇𝑃)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
76rgenw 3065 . . . . 5 𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡)
8 ssintrab 4971 . . . . 5 (𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝑇𝑡))
97, 8mpbir 231 . . . 4 𝑇 {𝑡𝐿𝑇𝑡}
109, 4sseqtrri 4033 . . 3 𝑇𝐸
11 ldgenpisyslem3.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑇)
1210, 11sselid 3981 . 2 (𝜑𝐴𝐸)
131ispisys 34153 . . . . . . 7 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
145, 13sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
1514simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16 elpwi 4607 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
185adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
1911adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝐴𝑇)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
211inelpisys 34155 . . . . . . 7 ((𝑇𝑃𝐴𝑇𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝑇)
2310, 22sselid 3981 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑇) → (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2423ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸)
2517, 24jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
26 ssrab 4073 . . 3 (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏𝑇 (𝐴𝑏) ∈ 𝐸))
2725, 26sylibr 234 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
281, 2, 3, 4, 5, 12, 27ldgenpisyslem2 34165 1 (𝜑𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   cint 4946  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cfv 6561  ωcom 7887  cdom 8983  ficfi 9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982
This theorem is referenced by:  ldgenpisys  34167
  Copyright terms: Public domain W3C validator