Theorem ldgenpisyslem3 34146

Description: Lemma for ldgenpisys 34147. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. 2 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		ldgenpisys.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
5		ldgenpisys.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
7	6	rgenw 3063	. . . . 5 ⊢ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
8		ssintrab 4976	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
9	7, 8	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
10	9, 4	sseqtrri 4033	. . 3 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐸
11		ldgenpisyslem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
12	10, 11	sselid 3993	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
13	1	ispisys 34133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
14	5, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16		elpwi 4612	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
18	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
21	1	inelpisys 34135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
23	10, 22	sselid 3993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
24	23	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
25	17, 24	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
26		ssrab 4083	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
28	1, 2, 3, 4, 5, 12, 27	ldgenpisyslem2 34145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ωcom 7887   ≼ cdom 8982  ficfi 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  34147