Theorem ldgenpisyslem3 34677

Description: Lemma for ldgenpisys 34678. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐴,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑇,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝜑,𝑏,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠, 𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦, 𝑡, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. 2 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		ldgenpisys.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
5		ldgenpisys.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
7	6	rgenw 3080	. . . . 5 ⊢ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡)
8		ssintrab 4931	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
9	7, 8	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
10	9, 4	sseqtrri 3980	. . 3 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐸
11		ldgenpisyslem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
12	10, 11	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
13	1	ispisys 34664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
14	5, 13	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
15	14	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
16		elpwi 4564	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
18	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
21	1	inelpisys 34666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝑇)
23	10, 22	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
24	23	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
25	17, 24	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
26		ssrab 4019	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑇 (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
27	25, 26	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
28	1, 2, 3, 4, 5, 12, 27	ldgenpisyslem2 34676	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4907  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ωcom 7863   ≼ cdom 8951  ficfi 9381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-acn 9948

This theorem is used by:  ldgenpisys  34678