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Theorem hbtlem6 41485
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem6.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
hbtlem6.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LNoeR)
hbtlem6.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
hbtlem6.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
hbtlem6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐼   𝑅,π‘˜   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘˜)   π‘ˆ(π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LNoeR)
2 lnrring 41468 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 hbtlem6.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
5 hbtlem6.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
6 hbtlem.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
7 hbtlem.u . . . . 5 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
8 hbtlem.s . . . . 5 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
9 eqid 2737 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
106, 7, 8, 9hbtlem2 41480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
113, 4, 5, 10syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
12 eqid 2737 . . . 4 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
139, 12lnr2i 41472 . . 3 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž))
141, 11, 13syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž))
15 elfpw 9305 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin) ↔ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin))
16 fvex 6860 . . . . . . . . 9 ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ V
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))
1816, 17fnmpti 6649 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) Fn {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) Fn {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋})
20 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
226, 7, 8, 21hbtlem1 41479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
231, 4, 5, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
2417rnmpt 5915 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)}
25 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘))
2625breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋))
2726rexrab 3659 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
2827abbii 2807 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)} = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}
2924, 28eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}
3023, 29eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
3220, 31sseqtrd 3989 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ π‘Ž βŠ† ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
33 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
34 fipreima 9309 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) Fn {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘Ž βŠ† ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin)((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž)
3519, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin)((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž)
36 elfpw 9305 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin) ↔ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin))
37 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} βŠ† 𝐼
38 sstr2 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} β†’ ({𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} βŠ† 𝐼 β†’ π‘˜ βŠ† 𝐼))
3937, 38mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} β†’ π‘˜ βŠ† 𝐼)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐼)
41 velpw 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝐼 ↔ π‘˜ βŠ† 𝐼)
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝐼)
4342adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝐼)
44 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
4543, 44elind 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
463adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
476ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋})
5150, 37sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐼)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5352, 7lidlss 20696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
5651, 55sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
57 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
5857, 52, 7rspcl 20708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘˜ βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ)
5949, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ)
605adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
616, 7, 8, 9hbtlem2 41480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
6246, 59, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
63 df-ima 5651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = ran ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜)
6457, 52rspssid 20709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘˜ βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘˜ βŠ† (π‘β€˜π‘˜))
6549, 56, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ βŠ† (π‘β€˜π‘˜))
66 ssrab 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↔ (π‘˜ βŠ† 𝐼 ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘˜ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋))
6766simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘˜ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋)
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘˜ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋)
69 ssrab 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↔ (π‘˜ βŠ† (π‘β€˜π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘˜ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋))
7065, 68, 69sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋})
7170resmptd 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) = (𝑏 ∈ π‘˜ ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
72 resmpt 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) = (𝑏 ∈ π‘˜ ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
7372ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) = (𝑏 ∈ π‘˜ ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
7471, 73eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) = ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜))
75 resss 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) βŠ† (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))
7674, 75eqsstrrdi 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) βŠ† (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
77 rnss 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) βŠ† (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ ran ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) βŠ† ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ran ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†Ύ π‘˜) βŠ† ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
7963, 78eqsstrid 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) βŠ† ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
806, 7, 8, 21hbtlem1 41479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ (π‘β€˜π‘˜)((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
8146, 59, 60, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ (π‘β€˜π‘˜)((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
82 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))
8382rnmpt 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)}
8426rexrab 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (π‘β€˜π‘˜)((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
8584abbii 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋}𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)} = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ (π‘β€˜π‘˜)((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}
8683, 85eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘ ∈ (π‘β€˜π‘˜)((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}
8781, 86eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) = ran (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ (π‘β€˜π‘˜) ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
8879, 87sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
8912, 9rspssp 20712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
9046, 62, 88, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
9145, 90jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
92 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž))
9392sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ↔ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
9493anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜)) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)) ↔ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))))
9591, 94syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ βŠ† {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∧ π‘˜ ∈ Fin)) β†’ (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))))
9636, 95sylan2b 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin)) β†’ (((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))))
9796expimpd 455 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin) ∧ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))))
9897adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin) ∧ ((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž) β†’ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))))
9998reximdv2 3162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ∩ Fin)((𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐼 ∣ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋} ↦ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β€œ π‘˜) = π‘Ž β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
10035, 99mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ Fin)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
10115, 100sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
102 sseq1 3974 . . . . 5 (((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) β†’ (((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ↔ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
103102rexbidv 3176 . . . 4 (((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
104101, 103syl5ibrcom 247 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin)) β†’ (((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
105104rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹)))
10614, 105mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) βŠ† ((π‘†β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  Ringcrg 19971  LIdealclidl 20647  RSpancrsp 20648  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   deg1 cdg1 25432  LNoeRclnr 41465  ldgIdlSeqcldgis 41477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-cnfld 20813  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-lfig 41424  df-lnm 41432  df-lnr 41466  df-ldgis 41478
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