MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressatans 26977
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
ressatans ℝ ⊆ 𝑆
Distinct variable group:   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 resqcl 14164 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4 readdcl 11238 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
65recnd 11289 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
72a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 11785 . . . . . . . . . 10 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10 sqge0 14176 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
117, 3, 9, 10addgtge0d 11837 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 ltnle 11340 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1511, 14mpbid 232 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16 mnfxr 11318 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
17 elioc2 13450 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
1816, 12, 17mp2an 692 . . . . . . . 8 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1918simp3bi 1148 . . . . . . 7 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
2015, 19nsyl 140 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
216, 20eldifd 3962 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22 atansopn.d . . . . 5 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2321, 22eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
2423rgen 3063 . . 3 𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25 ssrab 4073 . . 3 (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
261, 24, 25mpbir2an 711 . 2 ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27 atansopn.s . 2 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2826, 27sseqtrri 4033 1 ℝ ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  (,]cioc 13388  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ioc 13392  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  leibpi  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator