Theorem ressatans 26886

Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
ressatans	⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11084	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		1re 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resqcl 14075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11110	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
7	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 11661	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10		sqge0 14087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
11	7, 3, 9, 10	addgtge0d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12		0re 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltnle 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
14	12, 5, 13	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
15	11, 14	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16		mnfxr 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17		elioc2 13351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
18	16, 12, 17	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
19	18	simp3bi 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
20	15, 19	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
21	6, 20	eldifd 3896	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
23	21, 22	eleqtrrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
24	23	rgen 3051	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25		ssrab 4004	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
26	1, 24, 25	mpbir2an 712	. 2 ⊢ ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27		atansopn.s	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
28	26, 27	sseqtrri 3966	1 ⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  {crab 3387   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12225  (,]cioc 13288  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-ioc 13292  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  leibpi  26894