Theorem ressatans 24882

Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
ressatans	⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10199	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		1re 10245	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resqcl 13138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4		readdcl 10225	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10274	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
7		0re 10246	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10		0lt1 10756	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
12		sqge0 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
13		addge01 10744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦↑2) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑦↑2))))
14	2, 3, 13	sylancr 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑦↑2) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑦↑2))))
15	12, 14	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ≤ (1 + (𝑦↑2)))
16	8, 9, 5, 11, 15	ltletrd 10403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
17		ltnle 10323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
18	7, 5, 17	sylancr 575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
19	16, 18	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
20		mnfxr 10302	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
22	20, 7, 21	mp2an 672	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
23	22	simp3bi 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
24	19, 23	nsyl 137	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
25	6, 24	eldifd 3734	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
26		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27	25, 26	syl6eleqr 2861	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
28	27	rgen 3071	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
29		ssrab 3829	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
30	1, 28, 29	mpbir2an 690	. 2 ⊢ ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
31		atansopn.s	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
32	30, 31	sseqtr4i 3787	1 ⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  -∞cmnf 10278  ℝ^*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281  2c2 11276  (,]cioc 12381  ↑cexp 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-ioc 12385  df-seq 13009  df-exp 13068

This theorem is referenced by:  leibpi  24890