MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressatans 25213
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
ressatans ℝ ⊆ 𝑆
Distinct variable group:   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10392 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2 1re 10439 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 resqcl 13305 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4 readdcl 10418 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 578 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
65recnd 10468 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
72a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 10963 . . . . . . . . . 10 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10 sqge0 13316 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
117, 3, 9, 10addgtge0d 11015 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12 0re 10441 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 ltnle 10520 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1412, 5, 13sylancr 578 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1511, 14mpbid 224 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16 mnfxr 10498 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
17 elioc2 12615 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
1816, 12, 17mp2an 679 . . . . . . . 8 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1918simp3bi 1127 . . . . . . 7 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
2015, 19nsyl 138 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
216, 20eldifd 3840 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22 atansopn.d . . . . 5 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2321, 22syl6eleqr 2877 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
2423rgen 3098 . . 3 𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25 ssrab 3939 . . 3 (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
261, 24, 25mpbir2an 698 . 2 ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27 atansopn.s . 2 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2826, 27sseqtr4i 3894 1 ℝ ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  {crab 3092  cdif 3826  wss 3829   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  -∞cmnf 10472  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  2c2 11495  (,]cioc 12555  cexp 13244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-ioc 12559  df-seq 13185  df-exp 13245
This theorem is referenced by:  leibpi  25222
  Copyright terms: Public domain W3C validator