MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressatans 26236
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
ressatans ℝ ⊆ 𝑆
Distinct variable group:   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11067 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2 1re 11114 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 resqcl 13984 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4 readdcl 11093 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
65recnd 11142 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
72a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 11636 . . . . . . . . . 10 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10 sqge0 13995 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
117, 3, 9, 10addgtge0d 11688 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12 0re 11116 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 ltnle 11193 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1412, 5, 13sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1511, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16 mnfxr 11171 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
17 elioc2 13282 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
1816, 12, 17mp2an 691 . . . . . . . 8 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
1918simp3bi 1148 . . . . . . 7 ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
2015, 19nsyl 140 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
216, 20eldifd 3920 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22 atansopn.d . . . . 5 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2321, 22eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
2423rgen 3065 . . 3 𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25 ssrab 4029 . . 3 (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
261, 24, 25mpbir2an 710 . 2 ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27 atansopn.s . 2 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2826, 27sseqtrri 3980 1 ℝ ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  {crab 3406  cdif 3906  wss 3909   class class class wbr 5104  (class class class)co 7352  cc 11008  cr 11009  0cc0 11010  1c1 11011   + caddc 11013  -∞cmnf 11146  *cxr 11147   < clt 11148  cle 11149  2c2 12167  (,]cioc 13220  cexp 13922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-ioc 13224  df-seq 13862  df-exp 13923
This theorem is referenced by:  leibpi  26244
  Copyright terms: Public domain W3C validator