Theorem ressatans 26896

Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
ressatans	⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11186	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		1re 11235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resqcl 14142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
7	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 11759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10		sqge0 14154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
11	7, 3, 9, 10	addgtge0d 11811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12		0re 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltnle 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
15	11, 14	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16		mnfxr 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17		elioc2 13426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
18	16, 12, 17	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
19	18	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
20	15, 19	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
21	6, 20	eldifd 3937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
23	21, 22	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
24	23	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25		ssrab 4048	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
26	1, 24, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27		atansopn.s	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
28	26, 27	sseqtrri 4008	1 ⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  2c2 12295  (,]cioc 13363  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioc 13367  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  leibpi  26904