Theorem ressatans 26992

Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
ressatans	⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11210	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		1re 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resqcl 14161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4		readdcl 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
7	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 11783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
10		sqge0 14173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
11	7, 3, 9, 10	addgtge0d 11835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
12		0re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltnle 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
15	11, 14	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
16		mnfxr 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17		elioc2 13447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
18	16, 12, 17	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
19	18	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
20	15, 19	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
21	6, 20	eldifd 3974	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
22		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
23	21, 22	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
24	23	rgen 3061	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
25		ssrab 4083	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
26	1, 24, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
27		atansopn.s	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
28	26, 27	sseqtrri 4033	1 ⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  (,]cioc 13385  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioc 13389  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  leibpi  27000