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Theorem xkoinjcn 23061
Description: Continuity of "injection", i.e. currying, as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkoinjcn.3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
Assertion
Ref Expression
xkoinjcn ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xkoinjcn
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘Ÿ 𝑣 𝑀 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
21cnmptid 23035 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝑦) ∈ (𝑆 Cn 𝑆))
3 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 simpr 486 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
51, 3, 4cnmptc 23036 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯) ∈ (𝑆 Cn 𝑅))
61, 2, 5cnmpt1t 23039 . . 3 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
7 xkoinjcn.3 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
86, 7fmptd 7066 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
9 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
10 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} = {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}
11 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
129, 10, 11xkobval 22960 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})}
1312eqabi 2878 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
14 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)))
1514, 6sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
16 imaeq1 6012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β†’ (𝑓 β€œ π‘˜) = ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜))
1716sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1817elrab3 3650 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1915, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
20 funmpt 6543 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆)
2221elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑆)
2314simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
2622, 25sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
28 dmmptg 6198 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = π‘Œ)
29 opex 5425 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V)
3128, 30mprg 3067 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = π‘Œ
3227, 31sseqtrrdi 3999 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ βŠ† dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
33 funimass4 6911 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∧ π‘˜ βŠ† dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣))
3420, 32, 33sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣))
3527sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
36 opeq1 4834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)
38 opex 5425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ V
3936, 37, 38fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ π‘Œ β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4140eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣))
42 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘₯ ∈ V
43 opeq2 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = π‘₯ β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4443eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣))
4542, 44ralsn 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣)
4641, 45bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
4746ralbidva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
48 dfss3 3936 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘˜ Γ— {π‘₯})𝑑 ∈ 𝑣)
49 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
5049ralxp 5801 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘‘ ∈ (π‘˜ Γ— {π‘₯})𝑑 ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣)
5148, 50bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣)
5247, 51bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
5319, 34, 523bitrd 305 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
5453rabbidva 3413 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})
55 sneq 4600 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ {π‘₯} = {𝑀})
5655xpeq2d 5667 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = (π‘˜ Γ— {𝑀}))
5756sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣))
5857elrab 3649 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜)
60 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
61 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
62 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
64 topontop 22285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑅 ∈ Top)
66 topontop 22285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ Top)
6864adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ Top)
69 txtop 22943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
72 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘˜ ∈ V
73 toponmax 22298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
7463, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
75 xpexg 7688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V)
7672, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V)
77 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))
79 elrestr 17318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top ∧ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)))
8071, 76, 78, 79syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)))
8167ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 ∈ Top)
8272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ ∈ V)
83 txrest 23005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) ∧ (π‘˜ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)))
8481, 65, 82, 74, 83syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)))
85 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
8663, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
8786oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝑋) = (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅))
8860restid 17323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅) = 𝑅)
8963, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅) = 𝑅)
9087, 89eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝑋) = 𝑅)
9190oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9284, 91eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9380, 92eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9526adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
96 resttopon 22535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘˜ βŠ† π‘Œ) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
9794, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
98 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
10099xpeq1d 5666 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— {𝑀}))
101 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)
102 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
103102snssd 4773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑋)
104 xpss2 5657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑀} βŠ† 𝑋 β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
106101, 105ssind 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
107100, 106eqsstrrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— {𝑀}) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
108102, 86eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑅)
10959, 60, 61, 65, 93, 107, 108txtube 23014 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
110 toponss 22299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
11163, 110sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
112 ssrab 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
113112baib 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
115 xpss2 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
116111, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
117116biantrud 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ∧ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))))
118 iunid 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯} = π‘Ÿ
119118xpeq2i 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ Γ— βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯}) = (π‘˜ Γ— π‘Ÿ)
120 xpiundi 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ Γ— βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯})
121119, 120eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯})
122121sseq1i 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
123 iunss 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
124122, 123bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
125 ssin 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ∧ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋)) ↔ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
126117, 124, 1253bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
12799adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
128127xpeq1d 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ))
129128sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ↔ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
130114, 126, 1293bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
131130anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) ↔ (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))))
132131rexbidva 3170 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))))
133109, 132mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
13458, 133sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
135134ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
136 eltop2 22348 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})))
13714, 68, 1363syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})))
138135, 137mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅)
13954, 138eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑅)
140 imaeq2 6013 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
1417mptpreima 6194 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
142140, 141eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
143142eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅 ↔ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑅))
144139, 143syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
145144expimpd 455 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ (((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
146145rexlimdvva 3202 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
14713, 146biimtrid 241 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
148147ralrimiv 3139 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅)
149 simpl 484 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
150 ovex 7394 . . . . . 6 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∈ V
151150pwex 5339 . . . . 5 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∈ V
1529, 10, 11xkotf 22959 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} Γ— (𝑆 Γ—t 𝑅))βŸΆπ’« (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))
153 frn 6679 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} Γ— (𝑆 Γ—t 𝑅))βŸΆπ’« (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
154152, 153ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))
155151, 154ssexi 5283 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
156155a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V)
1579, 10, 11xkoval 22961 . . . 4 ((𝑆 ∈ Top ∧ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
15867, 70, 157syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
159 eqid 2733 . . . . 5 ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)
160159xkotopon 22974 . . . 4 ((𝑆 ∈ Top ∧ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))))
16167, 70, 160syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))))
162149, 156, 158, 161subbascn 22628 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆ(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅)))
1638, 148, 162mpbir2and 712 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ficfi 9354   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  Compccmp 22760   Γ—t ctx 22934   ↑ko cxko 22935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-xko 22937
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