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Theorem xkoinjcn 23411
Description: Continuity of "injection", i.e. currying, as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkoinjcn.3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
Assertion
Ref Expression
xkoinjcn ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xkoinjcn
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘Ÿ 𝑣 𝑀 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
21cnmptid 23385 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝑦) ∈ (𝑆 Cn 𝑆))
3 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
51, 3, 4cnmptc 23386 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯) ∈ (𝑆 Cn 𝑅))
61, 2, 5cnmpt1t 23389 . . 3 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
7 xkoinjcn.3 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
86, 7fmptd 7115 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
9 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
10 eqid 2732 . . . . . 6 {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} = {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}
11 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
129, 10, 11xkobval 23310 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})}
1312eqabri 2877 . . . 4 (𝑧 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
14 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)))
1514, 6sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
16 imaeq1 6054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β†’ (𝑓 β€œ π‘˜) = ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜))
1716sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1817elrab3 3684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
1915, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
20 funmpt 6586 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆)
2221elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑆)
2314simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
2622, 25sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
28 dmmptg 6241 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V β†’ dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = π‘Œ)
29 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ V)
3128, 30mprg 3067 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = π‘Œ
3227, 31sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ βŠ† dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩))
33 funimass4 6956 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∧ π‘˜ βŠ† dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣))
3420, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣))
3527sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
36 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)
38 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ V
3936, 37, 38fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ π‘Œ β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4140eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣))
42 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘₯ ∈ V
43 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = π‘₯ β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© = βŸ¨π‘§, π‘₯⟩)
4443eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣))
4542, 44ralsn 4685 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ ∈ 𝑣)
4641, 45bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
4746ralbidva 3175 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
48 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘˜ Γ— {π‘₯})𝑑 ∈ 𝑣)
49 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (𝑑 ∈ 𝑣 ↔ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣))
5049ralxp 5841 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘‘ ∈ (π‘˜ Γ— {π‘₯})𝑑 ∈ 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣)
5148, 50bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯}βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ 𝑣)
5247, 51bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)β€˜π‘§) ∈ 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
5319, 34, 523bitrd 304 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ↔ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
5453rabbidva 3439 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})
55 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ {π‘₯} = {𝑀})
5655xpeq2d 5706 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) = (π‘˜ Γ— {𝑀}))
5756sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣))
5857elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣))
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜)
60 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
61 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
62 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
64 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑅 ∈ Top)
66 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ Top)
6864adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ Top)
69 txtop 23293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
7170ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top)
72 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘˜ ∈ V
73 toponmax 22648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
7463, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
75 xpexg 7739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V)
7672, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V)
77 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))
7877ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))
79 elrestr 17378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top ∧ (π‘˜ Γ— 𝑋) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)))
8071, 76, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)))
8167ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 ∈ Top)
8272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ ∈ V)
83 txrest 23355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) ∧ (π‘˜ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)))
8481, 65, 82, 74, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)))
85 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
8663, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
8786oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝑋) = (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅))
8860restid 17383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅) = 𝑅)
8963, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt βˆͺ 𝑅) = 𝑅)
9087, 89eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝑋) = 𝑅)
9190oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t (𝑅 β†Ύt 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9284, 91eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) β†Ύt (π‘˜ Γ— 𝑋)) = ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9380, 92eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ∈ ((𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ—t 𝑅))
9423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9526adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ βŠ† π‘Œ)
96 resttopon 22885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘˜ βŠ† π‘Œ) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
9794, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜))
98 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜π‘˜) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
10099xpeq1d 5705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— {𝑀}))
101 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)
102 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
103102snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑋)
104 xpss2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑀} βŠ† 𝑋 β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
106101, 105ssind 4232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
107100, 106eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— {𝑀}) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
108102, 86eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑅)
10959, 60, 61, 65, 93, 107, 108txtube 23364 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
110 toponss 22649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
11163, 110sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝑋)
112 ssrab 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
113112baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣))
115 xpss2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
116111, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))
117116biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ∧ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋))))
118 iunid 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯} = π‘Ÿ
119118xpeq2i 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ Γ— βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯}) = (π‘˜ Γ— π‘Ÿ)
120 xpiundi 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ Γ— βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ {π‘₯}) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯})
121119, 120eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯})
122121sseq1i 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
123 iunss 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
124122, 123bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣)
125 ssin 4230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† 𝑣 ∧ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (π‘˜ Γ— 𝑋)) ↔ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))
126117, 124, 1253bitr3g 312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣 ↔ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
12799adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜))
128127xpeq1d 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Γ— π‘Ÿ) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ))
129128sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘˜ Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)) ↔ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
130114, 126, 1293bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ↔ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋))))
131130anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) ↔ (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))))
132131rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt π‘˜) Γ— π‘Ÿ) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘˜ Γ— 𝑋)))))
133109, 132mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ Γ— {𝑀}) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
13458, 133sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
135134ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}))
136 eltop2 22698 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})))
13714, 68, 1363syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣}βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 (𝑀 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣})))
138135, 137mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘˜ Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑣} ∈ 𝑅)
13954, 138eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑅)
140 imaeq2 6055 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
1417mptpreima 6237 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
142140, 141eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
143142eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅 ↔ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} ∈ 𝑅))
144139, 143syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) ∧ (𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
145144expimpd 454 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅))) β†’ (((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
146145rexlimdvva 3211 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝒫 βˆͺ π‘†βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅)((𝑆 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ∧ 𝑧 = {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
14713, 146biimtrid 241 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅))
148147ralrimiv 3145 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅)
149 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
150 ovex 7444 . . . . . 6 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∈ V
151150pwex 5378 . . . . 5 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∈ V
1529, 10, 11xkotf 23309 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} Γ— (𝑆 Γ—t 𝑅))βŸΆπ’« (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))
153 frn 6724 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}):({𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp} Γ— (𝑆 Γ—t 𝑅))βŸΆπ’« (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)))
154152, 153ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† 𝒫 (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))
155151, 154ssexi 5322 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V
156155a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) ∈ V)
1579, 10, 11xkoval 23311 . . . 4 ((𝑆 ∈ Top ∧ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
15867, 70, 157syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
159 eqid 2732 . . . . 5 ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) = ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)
160159xkotopon 23324 . . . 4 ((𝑆 ∈ Top ∧ (𝑆 Γ—t 𝑅) ∈ Top) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))))
16167, 70, 160syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅))))
162149, 156, 158, 161subbascn 22978 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆ(𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ {𝑀 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∣ (𝑆 β†Ύt 𝑀) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ (𝑆 Γ—t 𝑅) ↦ {𝑓 ∈ (𝑆 Cn (𝑆 Γ—t 𝑅)) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ 𝑅)))
1638, 148, 162mpbir2and 711 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 Cn ((𝑆 Γ—t 𝑅) ↑ko 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ficfi 9407   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  Compccmp 23110   Γ—t ctx 23284   ↑ko cxko 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-xko 23287
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