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Theorem connpconn 35219
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
connpconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)

Proof of Theorem connpconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑔 𝑠 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conntop 23440 . . 3 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 480 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2734 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Conn)
5 inss1 4244 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ 𝐽
6 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn)
71ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
83topopn 22927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽𝐽)
10 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝑧 𝐽)
11 nlly2i 23499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ 𝐽𝐽𝑧 𝐽) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
126, 9, 10, 11syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
13 simprr1 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑧𝑢)
14 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑤))
1514anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1615rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1716elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑤 𝐽 ∧ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1817simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤))
19 simprr3 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
21 simprr2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑢𝑠)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑢𝑠)
23 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑢)
2422, 23sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑠)
257ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
26 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑠 𝐽)
2726ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑠 𝐽)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 𝐽)
293restuni 23185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 𝐽) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3025, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3124, 30eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤 (𝐽t 𝑠))
32 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑢)
3322, 32sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑠)
3433, 30eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦 (𝐽t 𝑠))
35 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐽t 𝑠) = (𝐽t 𝑠)
3635pconncn 35208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐽t 𝑠) ∈ PConn ∧ 𝑤 (𝐽t 𝑠) ∧ 𝑦 (𝐽t 𝑠)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
3720, 31, 34, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
38 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
3938ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
4025adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝐽 ∈ Top)
41 cnrest2r 23310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
43 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)))
4442, 43sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn 𝐽))
45 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4645ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4746simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = 𝑤)
48 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘0) = 𝑤)
4947, 48eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = (‘0))
5039, 44, 49pcocn 25063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5139, 44pco0 25060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑔‘0))
5246simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘0) = 𝑥)
5351, 52eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥)
5439, 44pco1 25061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
55 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘1) = 𝑦)
5654, 55eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)
57 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘0) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0))
5857eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥))
59 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1))
6059eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦))
6158, 60anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)))
6261rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6350, 53, 56, 62syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6437, 63rexlimddv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6564anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) ∧ 𝑦𝑢) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6665ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6766anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6867rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
6921adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢𝑠)
70 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽)
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 𝐽)
7269, 71sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢 𝐽)
7368, 72jctild 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))))
74 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘0) = (𝑔‘0))
7574eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (𝑔‘0) = 𝑥))
76 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘1) = (𝑔‘1))
7776eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘1) = 𝑤 ↔ (𝑔‘1) = 𝑤))
7875, 77anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))
7978cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
80 ssrab 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
8173, 79, 803imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8218, 81syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8413, 83jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8584expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8685reximdv 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8786rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8812, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8988anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑧 𝐽) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
9089ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
911ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
92 ssrab2 4089 . . . . . . . . 9 {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽
933isclo2 23111 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9491, 92, 93sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9590, 94mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
965, 95sselid 3992 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ 𝐽)
97 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
98 iitopon 24918 . . . . . . . . . 10 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
9998a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
1003toptopon 22938 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10191, 100sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
102 cnconst2 23306 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
10399, 101, 97, 102syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
104 0elunit 13505 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
105 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
106105fvconst2 7223 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
107104, 106mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
108 1elunit 13506 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
109105fvconst2 7223 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
110108, 109mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
111 eqeq2 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑥))
112111anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
113 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑥})‘0))
114113eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥))
115 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑥})‘1))
116115eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥))
117114, 116anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)))
118112, 117rspc2ev 3634 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐽 ∧ ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
11997, 103, 107, 110, 118syl112anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
120 rabn0 4394 . . . . . . 7 ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
121119, 120sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅)
122 inss2 4245 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ (Clsd‘𝐽)
123122, 95sselid 3992 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1243, 4, 96, 121, 123connclo 23438 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} = 𝐽)
125124eqcomd 2740 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})
126 rabid2 3467 . . . 4 ( 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
127125, 126sylib 218 . . 3 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
128127ralrimiva 3143 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
1293ispconn 35207 . 2 (𝐽 ∈ PConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
1302, 128, 129sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4911   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  [,]cicc 13386  t crest 17466  Topctop 22914  TopOnctopon 22931  Clsdccld 23039   Cn ccn 23247  Conncconn 23434  𝑛-Locally cnlly 23488  IIcii 24914  *𝑝cpco 25046  PConncpconn 35203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-conn 23435  df-nlly 23490  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916  df-pco 25051  df-pconn 35205
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