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Theorem connpconn 32768
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
connpconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)

Proof of Theorem connpconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑔 𝑠 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conntop 22168 . . 3 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 484 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2738 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Conn)
5 inss1 4119 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ 𝐽
6 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn)
71ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
83topopn 21657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽𝐽)
10 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝑧 𝐽)
11 nlly2i 22227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ 𝐽𝐽𝑧 𝐽) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
126, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
13 simprr1 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑧𝑢)
14 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑤))
1514anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1615rexbidv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1716elrab 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑤 𝐽 ∧ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1817simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤))
19 simprr3 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
21 simprr2 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑢𝑠)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑢𝑠)
23 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑢)
2422, 23sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑠)
257ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
26 elpwi 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑠 𝐽)
2726ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑠 𝐽)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 𝐽)
293restuni 21913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 𝐽) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3025, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3124, 30eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤 (𝐽t 𝑠))
32 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑢)
3322, 32sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑠)
3433, 30eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦 (𝐽t 𝑠))
35 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐽t 𝑠) = (𝐽t 𝑠)
3635pconncn 32757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐽t 𝑠) ∈ PConn ∧ 𝑤 (𝐽t 𝑠) ∧ 𝑦 (𝐽t 𝑠)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
3720, 31, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
38 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
3938ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
4025adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝐽 ∈ Top)
41 cnrest2r 22038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
43 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)))
4442, 43sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn 𝐽))
45 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4645ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4746simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = 𝑤)
48 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘0) = 𝑤)
4947, 48eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = (‘0))
5039, 44, 49pcocn 23769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5139, 44pco0 23766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑔‘0))
5246simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘0) = 𝑥)
5351, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥)
5439, 44pco1 23767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
55 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘1) = 𝑦)
5654, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)
57 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘0) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0))
5857eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥))
59 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1))
6059eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦))
6158, 60anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)))
6261rspcev 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6350, 53, 56, 62syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6437, 63rexlimddv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6564anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) ∧ 𝑦𝑢) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6665ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6766anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6867rexlimdvaa 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
6921adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢𝑠)
70 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽)
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 𝐽)
7269, 71sstrd 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢 𝐽)
7368, 72jctild 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))))
74 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘0) = (𝑔‘0))
7574eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (𝑔‘0) = 𝑥))
76 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘1) = (𝑔‘1))
7776eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘1) = 𝑤 ↔ (𝑔‘1) = 𝑤))
7875, 77anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))
7978cbvrexvw 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
80 ssrab 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
8173, 79, 803imtr4g 299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8218, 81syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8382ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8413, 83jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8584expr 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8685reximdv 3183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8786rexlimdva 3194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8812, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8988anassrs 471 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑧 𝐽) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
9089ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
911ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
92 ssrab2 3969 . . . . . . . . 9 {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽
933isclo2 21839 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9491, 92, 93sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9590, 94mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
965, 95sseldi 3875 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ 𝐽)
97 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
98 iitopon 23631 . . . . . . . . . 10 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
9998a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
1003toptopon 21668 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10191, 100sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
102 cnconst2 22034 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
10399, 101, 97, 102syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
104 0elunit 12943 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
105 vex 3402 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
106105fvconst2 6976 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
107104, 106mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
108 1elunit 12944 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
109105fvconst2 6976 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
110108, 109mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
111 eqeq2 2750 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑥))
112111anbi2d 632 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
113 fveq1 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑥})‘0))
114113eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥))
115 fveq1 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑥})‘1))
116115eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥))
117114, 116anbi12d 634 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)))
118112, 117rspc2ev 3538 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐽 ∧ ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
11997, 103, 107, 110, 118syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
120 rabn0 4274 . . . . . . 7 ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
121119, 120sylibr 237 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅)
122 inss2 4120 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ (Clsd‘𝐽)
123122, 95sseldi 3875 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1243, 4, 96, 121, 123connclo 22166 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} = 𝐽)
125124eqcomd 2744 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})
126 rabid2 3284 . . . 4 ( 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
127125, 126sylib 221 . . 3 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
128127ralrimiva 3096 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
1293ispconn 32756 . 2 (𝐽 ∈ PConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
1302, 128, 129sylanbrc 586 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  cin 3842  wss 3843  c0 4211  𝒫 cpw 4488  {csn 4516   cuni 4796   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616  [,]cicc 12824  t crest 16797  Topctop 21644  TopOnctopon 21661  Clsdccld 21767   Cn ccn 21975  Conncconn 22162  𝑛-Locally cnlly 22216  IIcii 23627  *𝑝cpco 23752  PConncpconn 32752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-conn 22163  df-nlly 22218  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-ii 23629  df-pco 23757  df-pconn 32754
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