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Theorem lhop1lem 25980

Description: Lemma for lhop1 25981. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lhop1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lhop1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
lhop1.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lhop1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.if	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.ig	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.f0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐴))
lhop1.g0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐴))
lhop1.gn0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop1.gd0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
lhop1lem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
lhop1lem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lhop1lem.db	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐵)
lhop1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐷))
lhop1lem.t	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐷)(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) − 𝐶)) < 𝐸)
lhop1lem.r	⊢ 𝑅 = (𝐴 + (𝑟 / 2))

**Assertion**
Ref	Expression
lhop1lem	⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) < (2 · 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑧,𝑟,𝐵 𝑡,𝐷 𝜑,𝑟,𝑧 𝑧,𝑅 𝑡,𝑟,𝐴,𝑧 𝐸,𝑟,𝑡 𝑋,𝑟,𝑧 𝐶,𝑟,𝑡,𝑧 𝐹,𝑟,𝑡,𝑧 𝐺,𝑟,𝑡,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡) 𝐵(𝑡) 𝐷(𝑧,𝑟) 𝑅(𝑡,𝑟) 𝐸(𝑧) 𝑋(𝑡)

Proof of Theorem lhop1lem Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhop1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2		lhop1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		lhop1lem.db	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐵)
4		iooss2 13334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6		lhop1lem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐷))
7	5, 6	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8	1, 7	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
10		lhop1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11	10, 7	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
13		lhop1.gn0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
14	10	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
15		fnfvelrn 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ran 𝐺)
16	14, 7, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ran 𝐺)
17		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘𝑋) = 0 → ((𝐺‘𝑋) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
18	16, 17	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
19	18	necon3bd 2946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0))
20	13, 19	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0)
21	9, 12, 20	divcld 11931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ℂ)
22		limccl 25842	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴) ⊆ ℂ
23		lhop1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
24	22, 23	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	21, 24	subcld 11505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15401	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
27		lhop1lem.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
28	27	rpred 12986	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
29		2re 12255	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31	30, 28	remulcld 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
32		cnxmet 24737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
34		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
35		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → 𝐴 ∈ 𝑣)
36		eliooord 13358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐷) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐷))
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐷))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑋)
39		lhop1.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
40		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴(,)𝐷) ⊆ ℝ
41	40, 6	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
42		difrp 12982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
43	39, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
44	38, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
46		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
47	46	cnfldtopn 24746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
48	47	mopni3 24459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣) ∧ (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑟 < (𝑋 − 𝐴) ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣))
49	33, 34, 35, 45, 48	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑟 < (𝑋 − 𝐴) ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣))
50		ssrin 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣 → ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋)) ⊆ (𝑣 ∩ (𝐴(,)𝑋)))
51		lbioo 13329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝑋)
52		disjsn 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴(,)𝑋) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝑋))
53	51, 52	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴(,)𝑋) ∩ {𝐴}) = ∅
54		disj3 4394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴(,)𝑋) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ (𝐴(,)𝑋) = ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))
55	53, 54	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝑋) = ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})
56	55	ineq2i 4157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 ∩ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))
57	50, 56	sseqtrdi 3962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣 → ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋)) ⊆ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})))
58		lhop1lem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑅 = (𝐴 + (𝑟 / 2))
59	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
60		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
61	60	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	61	rehalfcld 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
63	59, 62	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
64	58, 63	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65	64	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ ℂ)
66	39	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
69	68	cnmetdval 24735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑅 − 𝐴)))
70	65, 67, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(𝑅 − 𝐴)))
71	58	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑟 / 2)) − 𝐴)
72	61	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑟 ∈ ℂ)
73	72	halfcld 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
74	67, 73	pncan2d 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐴 + (𝑟 / 2)) − 𝐴) = (𝑟 / 2))
75	71, 74	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅 − 𝐴) = (𝑟 / 2))
76	75	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs‘(𝑅 − 𝐴)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
77	60	rphalfcld 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
78	77	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
79	77	rpge0d 12990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 0 ≤ (𝑟 / 2))
80	78, 79	absidd 15385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
81	70, 76, 80	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(abs ∘ − )𝐴) = (𝑟 / 2))
82		rphalflt 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
83	60, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
84	81, 83	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(abs ∘ − )𝐴) < 𝑟)
85	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
86	61	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
87		elbl3 24357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ)) → (𝑅 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐴) < 𝑟))
88	85, 86, 67, 65, 87	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑅(abs ∘ − )𝐴) < 𝑟))
89	84, 88	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
90	59, 77	ltaddrpd 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 < (𝐴 + (𝑟 / 2)))
91	90, 58	breqtrrdi 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 < 𝑅)
92	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ ℝ)
93	92, 59	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
94		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))
95	78, 61, 93, 83, 94	lttrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑟 / 2) < (𝑋 − 𝐴))
96	59, 78, 92	ltaddsub2d 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐴 + (𝑟 / 2)) < 𝑋 ↔ (𝑟 / 2) < (𝑋 − 𝐴)))
97	95, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴 + (𝑟 / 2)) < 𝑋)
98	58, 97	eqbrtrid 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 < 𝑋)
99	59	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
100	41	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
102		elioo2 13339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) → (𝑅 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑋)))
103	99, 101, 102	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑋)))
104	64, 91, 98, 103	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ (𝐴(,)𝑋))
105	89, 104	elind 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋)))
106	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
107	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
108		lhop1lem.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
109	108	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ^*)
110	37	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐷)
111	41, 108, 110	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐷)
112	100, 109, 2, 111, 3	xrletrd 13113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
113		iooss2 13334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
114	2, 112, 113	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
116	115, 104	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ (𝐴(,)𝐵))
117	107, 116	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ)
119	106, 118	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
120	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
121	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
122	121, 116	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐺‘𝑅) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐺‘𝑅) ∈ ℂ)
124	120, 123	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) ∈ ℂ)
125		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑅))
126	125	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)))
127	126	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0 ↔ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) ≠ 0))
128		lhop1.gd0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
130	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
131	114	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
132	10	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
133	131, 132	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
134	133	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
135	130, 134	subeq0ad 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) = 0 ↔ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)))
136		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
137	136, 131	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
139	41	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑋 ∈ ℝ)
140		eliooord 13358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑋))
141	140	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑋))
142	141	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 < 𝑋)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑧 < 𝑋)
144	39	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
145	144	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
146	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
147	141	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝐴 < 𝑧)
148	100, 109, 2, 110, 3	xrltletrd 13112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐵)
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑋 < 𝐵)
150		iccssioo 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑋 < 𝐵)) → (𝑧[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
151	145, 146, 147, 149, 150	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝑧[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
153		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
155		fss 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
156	10, 153, 155	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
157	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
158		lhop1.ig	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
159		dvcn 25888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
160	154, 156, 157, 158, 159	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
161		cncfcdm 24865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
162	153, 160, 161	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
163	10, 162	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
164	163	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
165		rescncf 24864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑧[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)) ∈ ((𝑧[,]𝑋)–cn→ℝ)))
166	152, 164, 165	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)) ∈ ((𝑧[,]𝑋)–cn→ℝ))
167	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ℝ ⊆ ℂ)
168	156	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
169	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
170	152, 136	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧[,]𝑋) ⊆ ℝ)
171		tgioo4 24770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
172	46, 171	dvres 25878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑧[,]𝑋) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑧[,]𝑋))))
173	167, 168, 169, 170, 172	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑧[,]𝑋))))
174		iccntr 24787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑧[,]𝑋)) = (𝑧(,)𝑋))
175	138, 139, 174	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑧[,]𝑋)) = (𝑧(,)𝑋))
176	175	reseq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑧[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋)))
177	173, 176	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋)))
178	177	dmeqd 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋)))
179		ioossicc 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧(,)𝑋) ⊆ (𝑧[,]𝑋)
180	179, 152	sstrid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
181	158	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
182	180, 181	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
183		ssdmres 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋)) = (𝑧(,)𝑋))
184	182, 183	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋)) = (𝑧(,)𝑋))
185	178, 184	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))) = (𝑧(,)𝑋))
186	137	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
187	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
188	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
189	137, 188, 142	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 ≤ 𝑋)
190		ubicc2 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑧[,]𝑋))
191	186, 187, 189, 190	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝑧[,]𝑋))
192	191	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
193		lbicc2 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧[,]𝑋))
194	186, 187, 189, 193	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑧[,]𝑋))
195	194	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
196	192, 195	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑋) = ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)))
197	196	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑋) = ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑧))
198	197	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑧) = ((𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋))‘𝑋))
199	138, 139, 143, 166, 185, 198	rolle 25957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ∃𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = 0)
200	177	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋))‘𝑤))
201		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋) → (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑧(,)𝑋))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))
202	200, 201	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))
203		dvf 25874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
204	158	feq2d 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
205	203, 204	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
206	205	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
207	206	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
208	207	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
209	180	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
210		fnfvelrn 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
211	208, 209, 210	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
212	202, 211	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
213		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = 0 → (((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
214	212, 213	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)) → (((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
215	214	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → (∃𝑤 ∈ (𝑧(,)𝑋)((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑧[,]𝑋)))‘𝑤) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
216	199, 215	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧)) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
217	216	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑧) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
218	135, 217	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
219	218	necon3bd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0))
220	129, 219	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0)
221	220	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0)
222	221	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0)
223	127, 222, 104	rspcdva 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) ≠ 0)
224	119, 124, 223	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) ∈ ℂ)
225	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
226	224, 225	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶) ∈ ℂ)
227	226	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) ∈ ℝ)
228	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐸 ∈ ℝ)
229	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
230	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑋 < 𝐷)
231		iccssioo 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝑅 ∧ 𝑋 < 𝐷)) → (𝑅[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐷))
232	99, 229, 91, 230, 231	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐷))
233	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
234	232, 233	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
235		fss 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
236	1, 153, 235	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
237		lhop1.if	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
238		dvcn 25888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
239	154, 236, 157, 237, 238	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
240		cncfcdm 24865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
241	153, 239, 240	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
242	1, 241	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
243	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
244		rescncf 24864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)) ∈ ((𝑅[,]𝑋)–cn→ℝ)))
245	234, 243, 244	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)) ∈ ((𝑅[,]𝑋)–cn→ℝ))
246	163	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
247		rescncf 24864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅[,]𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)) ∈ ((𝑅[,]𝑋)–cn→ℝ)))
248	234, 246, 247	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)) ∈ ((𝑅[,]𝑋)–cn→ℝ))
249	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ℝ ⊆ ℂ)
250	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
251	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
252		iccssre 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑅[,]𝑋) ⊆ ℝ)
253	64, 92, 252	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅[,]𝑋) ⊆ ℝ)
254	46, 171	dvres 25878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑅[,]𝑋) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))))
255	249, 250, 251, 253, 254	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))))
256		iccntr 24787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
257	64, 92, 256	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
258	257	reseq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
259	255, 258	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
260	259	dmeqd 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
261	59, 64, 91	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐴 ≤ 𝑅)
262		iooss1 13333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑅) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝑋))
263	99, 261, 262	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝑋))
264	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑋 ≤ 𝐷)
265		iooss2 13334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝐷) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐷))
266	229, 264, 265	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐷))
267	263, 266	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐷))
268	267, 233	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
269	237	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
270	268, 269	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
271		ssdmres 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
272	270, 271	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
273	260, 272	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = (𝑅(,)𝑋))
274	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
275	46, 171	dvres 25878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝑅[,]𝑋) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))))
276	249, 274, 251, 253, 275	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))))
277	257	reseq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((ℝ D 𝐺) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
278	276, 277	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
279	278	dmeqd 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋)))
280	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
281	268, 280	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (𝑅(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
282		ssdmres 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅(,)𝑋) ⊆ dom (ℝ D 𝐺) ↔ dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
283	281, 282	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom ((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋)) = (𝑅(,)𝑋))
284	279, 283	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → dom (ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))) = (𝑅(,)𝑋))
285	64, 92, 98, 245, 248, 273, 284	cmvth 25958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ∃𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)((((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)))
286	64	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
287	286	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
288	100	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
289	64, 92, 98	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → 𝑅 ≤ 𝑋)
290	289	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑅 ≤ 𝑋)
291		ubicc2 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑅[,]𝑋))
292	287, 288, 290, 291	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝑅[,]𝑋))
293	292	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
294		lbicc2 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ (𝑅[,]𝑋))
295	287, 288, 290, 294	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑅 ∈ (𝑅[,]𝑋))
296	295	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅) = (𝐹‘𝑅))
297	293, 296	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) = ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)))
298	278	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤) = (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋))‘𝑤))
299		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋) → (((ℝ D 𝐺) ↾ (𝑅(,)𝑋))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))
300	298, 299	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))
301	297, 300	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)))
302	292	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
303	295	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅) = (𝐺‘𝑅))
304	302, 303	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)))
305	259	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋))‘𝑤))
306		fvres 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑅(,)𝑋))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
307	305, 306	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
308	304, 307	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
309	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) ∈ ℂ)
310		dvf 25874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
311	237	feq2d 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
312	310, 311	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
313	312	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
314	268	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
315	313, 314	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ ℂ)
316	309, 315	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) · ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))))
317	308, 316	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) · ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))))
318	301, 317	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) ↔ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) · ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)))))
319	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ)
320	205	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
321	320, 314	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ∈ ℂ)
322	223	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)) ≠ 0)
323	128	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
324	320	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
325	324, 314, 210	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
326		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((ℝ D 𝐺)‘𝑤) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
327	325, 326	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑤) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
328	327	necon3bd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ≠ 0))
329	323, 328	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑤) ≠ 0)
330	319, 309, 315, 321, 322, 329	divmuleqd 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) ↔ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) · ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)))))
331	318, 330	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (((((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) ↔ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))))
332	331	rexbidva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (∃𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)((((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) = ((((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑋) − ((𝐺 ↾ (𝑅[,]𝑋))‘𝑅)) · ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑅[,]𝑋)))‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)(((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))))
333	285, 332	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ∃𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)(((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)))
334		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
335		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑡) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑤))
336	334, 335	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)))
337	336	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) − 𝐶)))
338	337	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) − 𝐶)) < 𝐸 ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) − 𝐶)) < 𝐸))
339		lhop1lem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐷)(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) − 𝐶)) < 𝐸)
340	339	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐷)(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑡) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑡)) − 𝐶)) < 𝐸)
341	267	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐷))
342	338, 340, 341	rspcdva 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) − 𝐶)) < 𝐸)
343		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) − 𝐶)))
344	343	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) → ((abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) < 𝐸 ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) − 𝐶)) < 𝐸))
345	342, 344	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)) → ((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) < 𝐸))
346	345	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (∃𝑤 ∈ (𝑅(,)𝑋)(((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑤) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑤)) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) < 𝐸))
347	333, 346	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) < 𝐸)
348	227, 228, 347	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
349		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑅))
350	349	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)))
351		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (𝐺‘𝑢) = (𝐺‘𝑅))
352	351	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅)))
353	350, 352	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) = (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))))
354	353	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) = (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)))
355	354	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = 𝑅 → ((abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
356	355	rspcev 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋)) ∧ (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑅)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑅))) − 𝐶)) ≤ 𝐸) → ∃𝑢 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
357	105, 348, 356	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ∃𝑢 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
358	357	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ∃𝑢 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
359		ssrexv 3991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋)) ⊆ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) → (∃𝑢 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (𝐴(,)𝑋))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸 → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
360	57, 358, 359	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴))) → ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣 → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
361	360	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑟 < (𝑋 − 𝐴)) → ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣 → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
362	361	expimpd 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑟 < (𝑋 − 𝐴) ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
363	362	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → (∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑟 < (𝑋 − 𝐴) ∧ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
364	49, 363	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
365		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) ⊆ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})
366		difss 4076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝑋)
367	365, 366	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) ⊆ (𝐴(,)𝑋)
368	367	sseli 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) → 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝑋))
369		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑢))
370	369	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)))
371		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑢))
372	371	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) = ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢)))
373	370, 372	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))) = (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))))
374		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))
375		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) ∈ V
376	373, 374, 375	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝑋) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) = (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))))
377	376	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝑋) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) = (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)))
378	377	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝑋) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
379	368, 378	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
380	379	rexbiia 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘((((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑢)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑢))) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
381	364, 380	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
382		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))) ∈ V
383	382, 374	fnmpti 6641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) Fn (𝐴(,)𝑋)
384		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) = (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)))
385	384	breq1d 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) → ((abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
386	385	rexima 7193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) Fn (𝐴(,)𝑋) ∧ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})) ⊆ (𝐴(,)𝑋)) → (∃𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})))(abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
387	383, 367, 386	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})))(abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))(abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))))‘𝑢) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
388	381, 387	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})))(abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸)
389		dfrex2 3064	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴})))(abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸)
390	388, 389	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ¬ ∀𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸)
391		ssrab 4011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ↔ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸))
392	391	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → ∀𝑥 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸)
393	390, 392	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝑣)) → ¬ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})
394	393	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)) → (𝐴 ∈ 𝑣 → ¬ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
395	394	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 → ¬ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
396		ralinexa 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 → ¬ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
397	395, 396	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
398		fvoveq1 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)))
399	398	breq1d 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
400	399	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) → (¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸 ↔ ¬ (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
401	400	elrab3 3635	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ℂ → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ↔ ¬ (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
402	21, 401	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ↔ ¬ (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸))
403		eleq2 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
404		sseq2 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))
405	404	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → ((𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})))
406	405	rexbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})))
407	403, 406	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → ((((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}))))
408	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
409	1	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
410	131, 409	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
411	410	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
412	408, 411	subcld 11505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
413	130, 134	subcld 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
414		eldifsn 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ≠ 0))
415	413, 220, 414	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
416		ssidd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
417		difss 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
418	417	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
419	46	cnfldtopon 24747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
420		cnex 11119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
421	420	difexi 5271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
422		txrest 23596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ V)) → (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ↾_t (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))))
423	419, 419, 420, 421, 422	mp4an 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ↾_t (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})))
424		unicntop 24750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
425	424	restid 17396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld))
426	419, 425	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld)
427	426	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})))
428	423, 427	eqtr2i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ↾_t (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
429	9	subid1d 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) − 0) = (𝐹‘𝑋))
430		txtopon 23556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
431	419, 419, 430	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
432	431	toponrestid 22886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) ↾_t (ℂ × ℂ))
433		limcresi 25852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
434		ioossre 13360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ⊆ ℝ
435		resmpt 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴(,)𝑋) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑋)))
436	434, 435	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑋))
437	436	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
438	433, 437	sseqtri 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
439		cncfmptc 24879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
440	8, 154, 154, 439	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
441		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
442	440, 39, 441	cnmptlimc 25857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴))
443	438, 442	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴))
444		limcresi 25852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
445	1, 114	feqresmpt 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑧)))
446	445	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
447	444, 446	sseqtrid 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
448		lhop1.f0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐴))
449	447, 448	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
450	46	subcn 24832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
451		0cn 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
452		opelxpi 5668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨(𝐹‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
453	9, 451, 452	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
454	431	toponunii 22881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld))
455	454	cncnpi 23243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ∧ ⟨(𝐹‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → − ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐹‘𝑋), 0⟩))
456	450, 453, 455	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → − ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐹‘𝑋), 0⟩))
457	408, 411, 416, 416, 46, 432, 443, 449, 456	limccnp2 25859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) − 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
458	429, 457	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ ((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
459	12	subid1d 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − 0) = (𝐺‘𝑋))
460		limcresi 25852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
461		resmpt 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴(,)𝑋) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑋)))
462	434, 461	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑋))
463	462	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
464	460, 463	sseqtri 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
465		cncfmptc 24879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
466	11, 154, 154, 465	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
467		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
468	466, 39, 467	cnmptlimc 25857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴))
469	464, 468	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑋)) lim_ℂ 𝐴))
470		limcresi 25852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴)
471	10, 114	feqresmpt 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝑋)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑧)))
472	471	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝐴(,)𝑋)) lim_ℂ 𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
473	470, 472	sseqtrid 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 lim_ℂ 𝐴) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
474		lhop1.g0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐴))
475	473, 474	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐺‘𝑧)) lim_ℂ 𝐴))
476		opelxpi 5668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨(𝐺‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
477	12, 451, 476	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐺‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
478	454	cncnpi 23243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ∧ ⟨(𝐺‘𝑋), 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → − ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐺‘𝑋), 0⟩))
479	450, 477, 478	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → − ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐺‘𝑋), 0⟩))
480	130, 134, 416, 416, 46, 432, 469, 475, 479	limccnp2 25859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) − 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
481	459, 480	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))) lim_ℂ 𝐴))
482		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))
483	46, 482	divcn 24835	. . . . . . . . 9 ⊢ / ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
484		eldifsn 4731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0))
485	12, 20, 484	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (ℂ ∖ {0}))
486	9, 485	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑋), (𝐺‘𝑋)⟩ ∈ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
487		resttopon 23126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
488	419, 417, 487	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))
489		txtopon 23556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) ∈ (TopOn‘(ℂ × (ℂ ∖ {0}))))
490	419, 488, 489	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) ∈ (TopOn‘(ℂ × (ℂ ∖ {0})))
491	490	toponunii 22881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × (ℂ ∖ {0})) = ∪ ((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0})))
492	491	cncnpi 23243	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ∧ ⟨(𝐹‘𝑋), (𝐺‘𝑋)⟩ ∈ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → / ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐹‘𝑋), (𝐺‘𝑋)⟩))
493	483, 486, 492	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → / ∈ ((((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ {0}))) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘⟨(𝐹‘𝑋), (𝐺‘𝑋)⟩))
494	412, 415, 416, 418, 46, 428, 458, 481, 493	limccnp2 25859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) lim_ℂ 𝐴))
495	412, 413, 220	divcld 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧))) ∈ ℂ)
496	495	fmpttd 7067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))):(𝐴(,)𝑋)⟶ℂ)
497	434, 153	sstri 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ⊆ ℂ
498	497	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ ℂ)
499	496, 498, 66, 46	ellimc2 25844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) lim_ℂ 𝐴) ↔ (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢)))))
500	494, 499	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢))))
501	500	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ 𝑢)))
502		notrab 4262	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}
503	68	cnmetdval 24735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝐶 − 𝑥)))
504		abssub 15289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐶)))
505	503, 504	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝐶)))
506	24, 505	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝐶)))
507	506	breq1d 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸))
508	507	rabbidva 3395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})
509	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
510	28	rexrd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ^*)
511		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸}
512	47, 511	blcld 24470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℝ^*) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂ_fld)))
513	509, 24, 510, 512	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝐶(abs ∘ − )𝑥) ≤ 𝐸} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂ_fld)))
514	508, 513	eqeltrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂ_fld)))
515	424	cldopn 22996	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂ_fld)) → (ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}) ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
516	514, 515	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸}) ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
517	502, 516	eqeltrrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
518	407, 501, 517	rspcdva 3565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸} → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})))
519	402, 518	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂ_fld)(𝐴 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (((𝐹‘𝑋) − (𝐹‘𝑧)) / ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑧)))) “ (𝑣 ∩ ((𝐴(,)𝑋) ∖ {𝐴}))) ⊆ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ≤ 𝐸})))
520	397, 519	mt3d 148	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) ≤ 𝐸)
521	28	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
522	521	mullidd 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
523		1red 11145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
524		1lt2 12347	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
525	524	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
526	523, 30, 27, 525	ltmul1dd 13041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
527	522, 526	eqbrtrrd 5109	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (2 · 𝐸))
528	26, 28, 31, 520, 527	lelttrd 11304	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐹‘𝑋) / (𝐺‘𝑋)) − 𝐶)) < (2 · 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 ∃wrex 3061 {crab 3389 Vcvv 3429 ∖ cdif 3886 ∩ cin 3888 ⊆ wss 3889 ∅c0 4273 {csn 4567 ⟨cop 4573 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 × cxp 5629 dom cdm 5631 ran crn 5632 ↾ cres 5633 “ cima 5634 ∘ ccom 5635 Fn wfn 6493 ⟶wf 6494 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 ℝ^*cxr 11178 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 / cdiv 11807 2c2 12236 ℝ⁺crp 12942 (,)cioo 13298 [,]cicc 13301 abscabs 15196 ↾_t crest 17383 TopOpenctopn 17384 topGenctg 17400 ∞Metcxmet 21337 ballcbl 21339 ℂ_fldccnfld 21352 TopOnctopon 22875 Clsdccld 22981 intcnt 22982 Cn ccn 23189 CnP ccnp 23190 ×_t ctx 23525 –cn→ccncf 24843 lim_ℂ climc 25829 D cdv 25830

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-ixp 8846 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-ico 13304 df-icc 13305 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17466 df-qtop 17471 df-imas 17472 df-xps 17474 df-mre 17548 df-mrc 17549 df-acs 17551 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-submnd 18752 df-mulg 19044 df-cntz 19292 df-cmn 19757 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-fbas 21349 df-fg 21350 df-cnfld 21353 df-top 22859 df-topon 22876 df-topsp 22898 df-bases 22911 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101 df-perf 23102 df-cn 23192 df-cnp 23193 df-haus 23280 df-cmp 23352 df-tx 23527 df-hmeo 23720 df-fil 23811 df-fm 23903 df-flim 23904 df-flf 23905 df-xms 24285 df-ms 24286 df-tms 24287 df-cncf 24845 df-limc 25833 df-dv 25834

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