Theorem ldgenpisys 31818

Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3983	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
3		dynkin.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4		dynkin.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
8	6, 7	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
9	5, 8	sseldi 3889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
10	9	elpwid 4514	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
11	3, 4, 10	ldsysgenld 31812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
12	2, 11	eqeltrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿)
13	12, 3	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))})
14	1, 13	sseldi 3889	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
16		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
17	4	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝑉)
18	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
20	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
21	20	sselda 3891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22		incom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ 𝑏)
23	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝑉)
24	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
25		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 31817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
27		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ 𝐸)
28	26, 27	sseldd 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
29		ineq2 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑏 ∩ 𝑐) = (𝑏 ∩ 𝑎))
30	29	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
31	30	elrab 3595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
32	28, 31	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
33	32	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸)
34	22, 33	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
35	21, 34	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
36		ineq2 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏))
37	36	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
38	37	elrab 3595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
39	35, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
40	39	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → (𝑏 ∈ 𝑇 → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸}))
41	40	ssrdv 3897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 31816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
43	16, 42	syldan 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
44		ssrab 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
45	43, 44	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
46	45	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸)
47	37	rspcv 3525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	ralrimivva 3105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
50		inficl 9030	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐿 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
52	49, 51	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53		eqimss 3947	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
55	14, 54	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
56	7	ispisys 31804	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
57	55, 56	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  {crab 3058   ∖ cdif 3854   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4503  ∪ cuni 4809  ∩ cint 4849  Disj wdisj 5008   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  ωcom 7633   ≼ cdom 8613  ficfi 9015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-ac2 10060

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5009  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fi 9016  df-oi 9115  df-dju 9500  df-card 9538  df-acn 9541  df-ac 9713  df-siga 31761

This theorem is referenced by:  dynkin  31819