Theorem ldgenpisys 34012

Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4073	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
3		dynkin.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4		dynkin.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4073	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
8	6, 7	eleqtrdi 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
9	5, 8	sselid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
10	9	elpwid 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
11	3, 4, 10	ldsysgenld 34006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
12	2, 11	eqeltrid 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿)
13	12, 3	eleqtrdi 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))})
14	1, 13	sselid 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
16		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
17	4	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝑉)
18	6	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
20	10	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
21	20	sselda 3978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22		incom 4199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ 𝑏)
23	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝑉)
24	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
25		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 34011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
27		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ 𝐸)
28	26, 27	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
29		ineq2 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑏 ∩ 𝑐) = (𝑏 ∩ 𝑎))
30	29	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
31	30	elrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
32	28, 31	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
33	32	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸)
34	22, 33	eqeltrrid 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
35	21, 34	jca 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
36		ineq2 4204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏))
37	36	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
38	37	elrab 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
39	35, 38	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
40	39	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → (𝑏 ∈ 𝑇 → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸}))
41	40	ssrdv 3984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 34010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
43	16, 42	syldan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
44		ssrab 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
45	43, 44	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
46	45	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸)
47	37	rspcv 3603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	ralrimivva 3191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
50		inficl 9461	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐿 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
52	49, 51	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53		eqimss 4037	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
55	14, 54	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
56	7	ispisys 33998	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
57	55, 56	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3419   ∖ cdif 3943   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4905  ∩ cint 4946  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  ωcom 7868   ≼ cdom 8964  ficfi 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-ac2 10497

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9447  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-acn 9978  df-ac 10152  df-siga 33955

This theorem is referenced by:  dynkin  34013