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Theorem ldgenpisys 31533
Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisys (𝜑𝐸𝑃)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4010 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2 ldgenpisys.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
3 dynkin.l . . . . . . 7 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
4 dynkin.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
5 ssrab2 4010 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑃)
7 dynkin.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
86, 7eleqtrdi 2903 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
95, 8sseldi 3916 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
109elpwid 4511 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
113, 4, 10ldsysgenld 31527 . . . . . 6 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ∈ 𝐿)
122, 11eqeltrid 2897 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐿)
1312, 3eleqtrdi 2903 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))})
141, 13sseldi 3916 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑏𝐸)
16 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑎𝐸)
174adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑂𝑉)
186adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇𝑃)
19 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
2010adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
2120sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22 incom 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑎) = (𝑎𝑏)
234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑂𝑉)
246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
25 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
267, 3, 23, 2, 24, 25ldgenpisyslem3 31532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎𝐸)
2826, 27sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
29 ineq2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑎 → (𝑏𝑐) = (𝑏𝑎))
3029eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3130elrab 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3228, 31sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3332simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐸)
3422, 33eqeltrrid 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
3521, 34jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
36 ineq2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎𝑐) = (𝑎𝑏))
3736eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3837elrab 3631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3935, 38sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4039ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐸) → (𝑏𝑇𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸}))
4140ssrdv 3924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
427, 3, 17, 2, 18, 19, 41ldgenpisyslem2 31531 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4316, 42syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
44 ssrab 4003 . . . . . . . . 9 (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4543, 44sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4645simprd 499 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸)
4737rspcv 3569 . . . . . . 7 (𝑏𝐸 → (∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
4815, 46, 47sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
4948ralrimivva 3159 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
50 inficl 8877 . . . . . 6 (𝐸𝐿 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5112, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5249, 51mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53 eqimss 3974 . . . 4 ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5452, 53syl 17 . . 3 (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5514, 54jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
567ispisys 31519 . 2 (𝐸𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
5755, 56sylibr 237 1 (𝜑𝐸𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {crab 3113  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   cuni 4803   cint 4841  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033  cfv 6328  ωcom 7564  cdom 8494  ficfi 8862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-siga 31476
This theorem is referenced by:  dynkin  31534
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