Theorem ldgenpisys 34326

Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4021	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
3		dynkin.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4		dynkin.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4021	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
8	6, 7	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
9	5, 8	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
10	9	elpwid 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
11	3, 4, 10	ldsysgenld 34320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
12	2, 11	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿)
13	12, 3	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))})
14	1, 13	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
16		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝑉)
18	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
20	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
21	20	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22		incom 4150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ 𝑏)
23	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝑉)
24	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 34325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
27		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ 𝐸)
28	26, 27	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
29		ineq2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑏 ∩ 𝑐) = (𝑏 ∩ 𝑎))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
31	30	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
32	28, 31	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
33	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸)
34	22, 33	eqeltrrid 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
35	21, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
36		ineq2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏))
37	36	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
38	37	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
39	35, 38	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → (𝑏 ∈ 𝑇 → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸}))
41	40	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 34324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
43	16, 42	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
44		ssrab 4012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
45	43, 44	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
46	45	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸)
47	37	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
50		inficl 9331	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐿 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
52	49, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53		eqimss 3981	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
55	14, 54	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
56	7	ispisys 34312	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
57	55, 56	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  Disj wdisj 5053   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ωcom 7810   ≼ cdom 8884  ficfi 9316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-siga 34269

This theorem is referenced by:  dynkin  34327