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Theorem ldgenpisys 34167
Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisys (𝜑𝐸𝑃)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2 ldgenpisys.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
3 dynkin.l . . . . . . 7 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
4 dynkin.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
5 ssrab2 4080 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑃)
7 dynkin.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
86, 7eleqtrdi 2851 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
95, 8sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
109elpwid 4609 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
113, 4, 10ldsysgenld 34161 . . . . . 6 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ∈ 𝐿)
122, 11eqeltrid 2845 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐿)
1312, 3eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))})
141, 13sselid 3981 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑏𝐸)
16 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑎𝐸)
174adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑂𝑉)
186adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇𝑃)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
2010adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
2120sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑎) = (𝑎𝑏)
234ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑂𝑉)
246ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
267, 3, 23, 2, 24, 25ldgenpisyslem3 34166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
27 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎𝐸)
2826, 27sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
29 ineq2 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑎 → (𝑏𝑐) = (𝑏𝑎))
3029eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3130elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3228, 31sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3332simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐸)
3422, 33eqeltrrid 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
3521, 34jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
36 ineq2 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎𝑐) = (𝑎𝑏))
3736eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3837elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3935, 38sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4039ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐸) → (𝑏𝑇𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸}))
4140ssrdv 3989 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
427, 3, 17, 2, 18, 19, 41ldgenpisyslem2 34165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4316, 42syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
44 ssrab 4073 . . . . . . . . 9 (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4543, 44sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4645simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸)
4737rspcv 3618 . . . . . . 7 (𝑏𝐸 → (∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
4815, 46, 47sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
4948ralrimivva 3202 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
50 inficl 9465 . . . . . 6 (𝐸𝐿 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5112, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5249, 51mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53 eqimss 4042 . . . 4 ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5452, 53syl 17 . . 3 (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5514, 54jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
567ispisys 34153 . 2 (𝐸𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
5755, 56sylibr 234 1 (𝜑𝐸𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   cint 4946  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cfv 6561  ωcom 7887  cdom 8983  ficfi 9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-siga 34110
This theorem is referenced by:  dynkin  34168
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