Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldgenpisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldgenpisys 34147
Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisys (𝜑𝐸𝑃)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4090 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2 ldgenpisys.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
3 dynkin.l . . . . . . 7 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
4 dynkin.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
5 ssrab2 4090 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑃)
7 dynkin.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
86, 7eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
95, 8sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
109elpwid 4614 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
113, 4, 10ldsysgenld 34141 . . . . . 6 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ∈ 𝐿)
122, 11eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐿)
1312, 3eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))})
141, 13sselid 3993 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑏𝐸)
16 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑎𝐸)
174adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑂𝑉)
186adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇𝑃)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
2010adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
2120sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22 incom 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑎) = (𝑎𝑏)
234ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑂𝑉)
246ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
267, 3, 23, 2, 24, 25ldgenpisyslem3 34146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
27 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎𝐸)
2826, 27sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
29 ineq2 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑎 → (𝑏𝑐) = (𝑏𝑎))
3029eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3130elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3228, 31sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3332simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐸)
3422, 33eqeltrrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
3521, 34jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
36 ineq2 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎𝑐) = (𝑎𝑏))
3736eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3837elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3935, 38sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4039ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐸) → (𝑏𝑇𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸}))
4140ssrdv 4001 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
427, 3, 17, 2, 18, 19, 41ldgenpisyslem2 34145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4316, 42syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
44 ssrab 4083 . . . . . . . . 9 (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4543, 44sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4645simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸)
4737rspcv 3618 . . . . . . 7 (𝑏𝐸 → (∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
4815, 46, 47sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
4948ralrimivva 3200 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
50 inficl 9463 . . . . . 6 (𝐸𝐿 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5112, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5249, 51mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53 eqimss 4054 . . . 4 ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5452, 53syl 17 . . 3 (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5514, 54jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
567ispisys 34133 . 2 (𝐸𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
5755, 56sylibr 234 1 (𝜑𝐸𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   cint 4951  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cfv 6563  ωcom 7887  cdom 8982  ficfi 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-siga 34090
This theorem is referenced by:  dynkin  34148
  Copyright terms: Public domain W3C validator