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Theorem ldgenpisys 32765
Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisys (𝜑𝐸𝑃)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2 ldgenpisys.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
3 dynkin.l . . . . . . 7 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
4 dynkin.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
5 ssrab2 4037 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑃)
7 dynkin.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
86, 7eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
95, 8sselid 3942 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
109elpwid 4569 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
113, 4, 10ldsysgenld 32759 . . . . . 6 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ∈ 𝐿)
122, 11eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐿)
1312, 3eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))})
141, 13sselid 3942 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑏𝐸)
16 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝑎𝐸)
174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑂𝑉)
186adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇𝑃)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑎𝐸)
2010adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
2120sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑎) = (𝑎𝑏)
234ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑂𝑉)
246ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑇𝑃)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏𝑇)
267, 3, 23, 2, 24, 25ldgenpisyslem3 32764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
27 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎𝐸)
2826, 27sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸})
29 ineq2 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑎 → (𝑏𝑐) = (𝑏𝑎))
3029eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3130elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3228, 31sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏𝑎) ∈ 𝐸))
3332simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏𝑎) ∈ 𝐸)
3422, 33eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
3521, 34jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
36 ineq2 4166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎𝑐) = (𝑎𝑏))
3736eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3837elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
3935, 38sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐸) ∧ 𝑏𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4039ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐸) → (𝑏𝑇𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸}))
4140ssrdv 3950 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
427, 3, 17, 2, 18, 19, 41ldgenpisyslem2 32763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
4316, 42syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸})
44 ssrab 4030 . . . . . . . . 9 (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4543, 44sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸))
4645simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → ∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸)
4737rspcv 3577 . . . . . . 7 (𝑏𝐸 → (∀𝑐𝐸 (𝑎𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸))
4815, 46, 47sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐸𝑏𝐸)) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
4948ralrimivva 3197 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸)
50 inficl 9361 . . . . . 6 (𝐸𝐿 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5112, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝐸𝑏𝐸 (𝑎𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
5249, 51mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53 eqimss 4000 . . . 4 ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5452, 53syl 17 . . 3 (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
5514, 54jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
567ispisys 32751 . 2 (𝐸𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
5755, 56sylibr 233 1 (𝜑𝐸𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   cint 4907  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  cfv 6496  ωcom 7802  cdom 8881  ficfi 9346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-siga 32708
This theorem is referenced by:  dynkin  32766
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