Theorem ldgenpisys 34171

Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4025	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
3		dynkin.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4		dynkin.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4025	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
8	6, 7	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
9	5, 8	sselid 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
10	9	elpwid 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
11	3, 4, 10	ldsysgenld 34165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
12	2, 11	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿)
13	12, 3	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))})
14	1, 13	sselid 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
16		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝑉)
18	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
20	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
21	20	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22		incom 4154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ 𝑏)
23	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝑉)
24	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 34170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
27		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ 𝐸)
28	26, 27	sseldd 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
29		ineq2 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑏 ∩ 𝑐) = (𝑏 ∩ 𝑎))
30	29	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
31	30	elrab 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
32	28, 31	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
33	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸)
34	22, 33	eqeltrrid 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
35	21, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
36		ineq2 4159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏))
37	36	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
38	37	elrab 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
39	35, 38	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → (𝑏 ∈ 𝑇 → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸}))
41	40	ssrdv 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 34169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
43	16, 42	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
44		ssrab 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
45	43, 44	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
46	45	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸)
47	37	rspcv 3568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
50		inficl 9304	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐿 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
52	49, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53		eqimss 3988	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
55	14, 54	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
56	7	ispisys 34157	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
57	55, 56	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  ∪ cuni 4854  ∩ cint 4892  Disj wdisj 5053   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  ωcom 7791   ≼ cdom 8862  ficfi 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-ac2 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-ac 10002  df-siga 34114

This theorem is referenced by:  dynkin  34172