MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sscntz 19189
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
sscntz ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sscntz
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzval 19184 . . . 4 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
54sseq2d 4014 . . 3 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘† โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
6 ssrab 4070 . . 3 (๐‘† โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
75, 6bitrdi 286 . 2 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
8 ibar 529 . . 3 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
98bicomd 222 . 2 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
107, 9sylan9bbr 511 1 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Cntzccntz 19178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-cntz 19180
This theorem is referenced by:  cntz2ss  19198  cntzrec  19199  submcmn2  19706  mplcoe5lem  21593  symgcntz  32241
  Copyright terms: Public domain W3C validator