Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sscntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzfval.p | โข + = (+gโ๐) |
cntzfval.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
sscntz | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cntzfval.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
2 | cntzfval.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐) | |
3 | cntzfval.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
4 | 1, 2, 3 | cntzval 19023 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)}) |
5 | 4 | sseq2d 3964 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)})) |
6 | ssrab 4018 | . . 3 โข (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) | |
7 | 5, 6 | bitrdi 286 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) |
8 | ibar 529 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) | |
9 | 8 | bicomd 222 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
10 | 7, 9 | sylan9bbr 511 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1540 โwral 3061 {crab 3403 โ wss 3898 โcfv 6479 (class class class)co 7337 Basecbs 17009 +gcplusg 17059 Cntzccntz 19017 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-rep 5229 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-ov 7340 df-cntz 19019 |
This theorem is referenced by: cntz2ss 19035 cntzrec 19036 submcmn2 19535 mplcoe5lem 21346 symgcntz 31641 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |