![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sscntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzfval.p | โข + = (+gโ๐) |
cntzfval.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
sscntz | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cntzfval.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
2 | cntzfval.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐) | |
3 | cntzfval.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
4 | 1, 2, 3 | cntzval 19184 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)}) |
5 | 4 | sseq2d 4014 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)})) |
6 | ssrab 4070 | . . 3 โข (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) | |
7 | 5, 6 | bitrdi 286 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) |
8 | ibar 529 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) | |
9 | 8 | bicomd 222 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
10 | 7, 9 | sylan9bbr 511 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1541 โwral 3061 {crab 3432 โ wss 3948 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Basecbs 17143 +gcplusg 17196 Cntzccntz 19178 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-cntz 19180 |
This theorem is referenced by: cntz2ss 19198 cntzrec 19199 submcmn2 19706 mplcoe5lem 21593 symgcntz 32241 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |