MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sscntz 19270
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
sscntz ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sscntz
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzval 19265 . . . 4 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
54sseq2d 4010 . . 3 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘† โІ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
6 ssrab 4066 . . 3 (๐‘† โІ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
75, 6bitrdi 287 . 2 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
8 ibar 528 . . 3 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
98bicomd 222 . 2 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ ((๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
107, 9sylan9bbr 510 1 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534  โˆ€wral 3056  {crab 3427   โІ wss 3944  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Cntzccntz 19259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-cntz 19261
This theorem is referenced by:  cntz2ss  19279  cntzrec  19280  submcmn2  19787  mplcoe5lem  21970  symgcntz  32802
  Copyright terms: Public domain W3C validator