MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sscntz 19232
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
sscntz ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sscntz
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzval 19227 . . . 4 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
54sseq2d 4006 . . 3 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘† โІ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
6 ssrab 4062 . . 3 (๐‘† โІ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
75, 6bitrdi 287 . 2 (๐‘‡ โІ ๐ต โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
8 ibar 528 . . 3 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
98bicomd 222 . 2 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ ((๐‘† โІ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
107, 9sylan9bbr 510 1 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆ€wral 3053  {crab 3424   โІ wss 3940  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Cntzccntz 19221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-cntz 19223
This theorem is referenced by:  cntz2ss  19241  cntzrec  19242  submcmn2  19749  mplcoe5lem  21904  symgcntz  32714
  Copyright terms: Public domain W3C validator