MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sscntz 19028
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
sscntz ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sscntz
StepHypRef Expression
1 cntzfval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzfval.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
3 cntzfval.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
41, 2, 3cntzval 19023 . . . 4 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‡) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
54sseq2d 3964 . . 3 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘† โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
6 ssrab 4018 . . 3 (๐‘† โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)} โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
75, 6bitrdi 286 . 2 (๐‘‡ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
8 ibar 529 . . 3 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โ†” (๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))))
98bicomd 222 . 2 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
107, 9sylan9bbr 511 1 ((๐‘† โŠ† ๐ต โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1540  โˆ€wral 3061  {crab 3403   โŠ† wss 3898  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  Cntzccntz 19017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-cntz 19019
This theorem is referenced by:  cntz2ss  19035  cntzrec  19036  submcmn2  19535  mplcoe5lem  21346  symgcntz  31641
  Copyright terms: Public domain W3C validator