![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sscntz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A centralizer expression for two sets elementwise commuting. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzfval.p | โข + = (+gโ๐) |
cntzfval.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
sscntz | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cntzfval.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
2 | cntzfval.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐) | |
3 | cntzfval.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
4 | 1, 2, 3 | cntzval 19265 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)}) |
5 | 4 | sseq2d 4010 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)})) |
6 | ssrab 4066 | . . 3 โข (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) | |
7 | 5, 6 | bitrdi 287 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ (๐โ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) |
8 | ibar 528 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)))) | |
9 | 8 | bicomd 222 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ โ ๐ต โง โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ)) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
10 | 7, 9 | sylan9bbr 510 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ + ๐ฆ) = (๐ฆ + ๐ฅ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โwral 3056 {crab 3427 โ wss 3944 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Basecbs 17173 +gcplusg 17226 Cntzccntz 19259 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-cntz 19261 |
This theorem is referenced by: cntz2ss 19279 cntzrec 19280 submcmn2 19787 mplcoe5lem 21970 symgcntz 32802 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |