Theorem sst0 21510

Description: A topology finer than a T₀ topology is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sst0	⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Kol2)

Proof of Theorem sst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1sep.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		t0top 21466	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnt0 21483	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1→𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
4	1, 2, 3	sshauslem 21509	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Kol2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3773  ∪ cuni 4632   I cid 5223   ↾ cres 5318  ‘cfv 6105  TopOnctopon 21047  Kol2ct0 21443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-map 8101  df-top 21031  df-topon 21048  df-cn 21364  df-t0 21450

This theorem is referenced by: (None)