MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sst1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sst1 22748
Description: A topology finer than a T1 topology is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
sst1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Fre)

Proof of Theorem sst1
StepHypRef Expression
1 t1sep.1 . 2 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 t1top 22704 . 2 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnt1 22724 . 2 ((𝐽 ∈ Fre ∧ ( I β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1→𝑋 ∧ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Fre)
41, 2, 3sshauslem 22746 1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 βŠ† 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   I cid 5534   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  TopOnctopon 22282  Frect1 22681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-cn 22601  df-t1 22688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator