Theorem sst1 23639

Description: A topology finer than a T₁ topology is T₁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sst1	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Fre)

Proof of Theorem sst1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1sep.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		t1top 23595	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
3		cnt1 23615	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1→𝑋 ∧ ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Fre)
4	1, 2, 3	sshauslem 23637	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ⊆ 𝐾) → 𝐾 ∈ Fre)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   I cid 5542   ↾ cres 5650  ‘cfv 6528  TopOnctopon 23175  Frect1 23572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-top 23159  df-topon 23176  df-cld 23284  df-cn 23492  df-t1 23579

This theorem is used by: (None)