Theorem supsn 9066

Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
supsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4540	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	supeq1i 9041	. . 3 ⊢ sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		suppr 9065	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	syl5eq 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4465	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2787	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ifcif 4425  {csn 4527  {cpr 4529   class class class wbr 5039   Or wor 5452  supcsup 9034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-po 5453  df-so 5454  df-iota 6316  df-riota 7148  df-sup 9036

This theorem is referenced by:  supxrmnf  12872  ramz  16541  xpsdsval  23233  ovolctb  24341  nmoo0  28826  nmop0  30021  nmfn0  30022  esumnul  31682  esum0  31683  ovoliunnfl  35505  voliunnfl  35507  volsupnfl  35508  liminf10ex  42933  fourierdlem79  43344  sge0z  43531  sge00  43532