Theorem supsn 9490

Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
supsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4619	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	supeq1i 9464	. . 3 ⊢ sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		suppr 9489	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4546	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2787	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505  {csn 4606  {cpr 4608   class class class wbr 5124   Or wor 5565  supcsup 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-po 5566  df-so 5567  df-iota 6489  df-riota 7367  df-sup 9459

This theorem is referenced by:  supxrmnf  13338  ramz  17050  xpsdsval  24325  ovolctb  25448  nmoo0  30777  nmop0  31972  nmfn0  31973  esumnul  34084  esum0  34085  ovoliunnfl  37691  voliunnfl  37693  volsupnfl  37694  liminf10ex  45770  fourierdlem79  46181  sge0z  46371  sge00  46372