MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsn 8924
Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
supsn ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4541 . . . 4 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
21supeq1i 8899 . . 3 sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3 suppr 8923 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
433anidm23 1418 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
52, 4syl5eq 2848 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6 ifid 4467 . 2 if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
75, 6eqtrdi 2852 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  ifcif 4428  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5033   Or wor 5441  supcsup 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-po 5442  df-so 5443  df-iota 6287  df-riota 7097  df-sup 8894
This theorem is referenced by:  supxrmnf  12702  ramz  16354  xpsdsval  22991  ovolctb  24097  nmoo0  28577  nmop0  29772  nmfn0  29773  esumnul  31415  esum0  31416  ovoliunnfl  35092  voliunnfl  35094  volsupnfl  35095  liminf10ex  42403  fourierdlem79  42814  sge0z  43001  sge00  43002
  Copyright terms: Public domain W3C validator