Theorem supsn 9436

Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
supsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4604	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	supeq1i 9410	. . 3 ⊢ sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		suppr 9435	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1448	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	eqtrid 2812	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4530	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2816	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5111   Or wor 5570  supcsup 9403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-po 5571  df-so 5572  df-iota 6496  df-riota 7373  df-sup 9405

This theorem is used by:  supxrmnf  13354  ramz  17102  xpsdsval  24567  ovolctb  25678  nmoo0  31172  nmop0  32367  nmfn0  32368  esumnul  34461  esum0  34462  ovoliunnfl  38346  voliunnfl  38348  volsupnfl  38349  liminf10ex  46521  fourierdlem79  46932  sge0z  47122  sge00  47123