MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsn 9466
Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
supsn ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem supsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4641 . . . 4 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
21supeq1i 9441 . . 3 sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3 suppr 9465 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
433anidm23 1421 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
52, 4eqtrid 2784 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6 ifid 4568 . 2 if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
75, 6eqtrdi 2788 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → sup({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   Or wor 5587  supcsup 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-po 5588  df-so 5589  df-iota 6495  df-riota 7364  df-sup 9436
This theorem is referenced by:  supxrmnf  13295  ramz  16957  xpsdsval  23886  ovolctb  25006  nmoo0  30039  nmop0  31234  nmfn0  31235  esumnul  33041  esum0  33042  ovoliunnfl  36525  voliunnfl  36527  volsupnfl  36528  liminf10ex  44480  fourierdlem79  44891  sge0z  45081  sge00  45082
  Copyright terms: Public domain W3C validator