Theorem nmop0 31708

Description: The norm of the zero operator is zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmop0	⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Proof of Theorem nmop0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 31473	. . 3 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
2		nmopval 31578	. . 3 ⊢ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < )
4		ho0val 31472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑦) = 0ℎ)
5	4	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = (normℎ‘0ℎ))
6		norm0 30850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = 0)
8	7	eqeq2d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
9	8	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
10	9	rexbiia 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
11		ax-hv0cl 30725	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
12		0le1 11734	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
13		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
14	13, 6	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
15	14	breq1d 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
16	15	rspcev 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
17	11, 12, 16	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
18		r19.41v 3180	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
19	17, 18	mpbiran 706	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
20	10, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
21	20	abbii 2794	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
22		df-sn 4621	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
23	21, 22	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {0}
24	23	supeq1i 9438	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
25		xrltso 13117	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
26		0xr 11258	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		supsn 9463	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
28	25, 26, 27	mp2an 689	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
29	3, 24, 28	3eqtri 2756	1 ⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∃wrex 3062  {csn 4620   class class class wbr 5138   Or wor 5577  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  supcsup 9431  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   ℋchba 30641  norm_ℎcno 30645  0_ℎc0v 30646   0_hop ch0o 30665  norm_opcnop 30667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30721  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807  ax-hcompl 30924

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-lm 23055  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cfil 25105  df-cau 25106  df-cmet 25107  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-gdiv 30218  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-vs 30321  df-nmcv 30322  df-ims 30323  df-dip 30423  df-ssp 30444  df-ph 30535  df-cbn 30585  df-hnorm 30690  df-hba 30691  df-hvsub 30693  df-hlim 30694  df-hcau 30695  df-sh 30929  df-ch 30943  df-oc 30974  df-ch0 30975  df-shs 31030  df-pjh 31117  df-h0op 31470  df-nmop 31561

This theorem is referenced by:  nmop0h  31713  0bdop  31715  nmlnop0iALT  31717  pjbdlni  31871