Theorem nmop0 31899

Description: The norm of the zero operator is zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmop0	⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Proof of Theorem nmop0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 31664	. . 3 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
2		nmopval 31769	. . 3 ⊢ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < )
4		ho0val 31663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑦) = 0ℎ)
5	4	fveq2d 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = (normℎ‘0ℎ))
6		norm0 31041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = 0)
8	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
9	8	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
10	9	rexbiia 3080	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
11		ax-hv0cl 30916	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
12		0le1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
13		fveq2 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
14	13, 6	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
15	14	breq1d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
16	15	rspcev 3599	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
17	11, 12, 16	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
18		r19.41v 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
19	17, 18	mpbiran 709	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
20	10, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
21	20	abbii 2801	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
22		df-sn 4600	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
23	21, 22	eqtr4i 2760	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {0}
24	23	supeq1i 9453	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
25		xrltso 13149	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
26		0xr 11274	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		supsn 9478	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
28	25, 26, 27	mp2an 692	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
29	3, 24, 28	3eqtri 2761	1 ⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  ∃wrex 3059  {csn 4599   class class class wbr 5116   Or wor 5557  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  supcsup 9446  0cc0 11121  1c1 11122  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262   ℋchba 30832  norm_ℎcno 30836  0_ℎc0v 30837   0_hop ch0o 30856  norm_opcnop 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647  ax-cc 10441  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200  ax-mulf 11201  ax-hilex 30912  ax-hfvadd 30913  ax-hvcom 30914  ax-hvass 30915  ax-hv0cl 30916  ax-hvaddid 30917  ax-hfvmul 30918  ax-hvmulid 30919  ax-hvmulass 30920  ax-hvdistr1 30921  ax-hvdistr2 30922  ax-hvmul0 30923  ax-hfi 30992  ax-his1 30995  ax-his2 30996  ax-his3 30997  ax-his4 30998  ax-hcompl 31115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-oadd 8478  df-omul 8479  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-acn 9948  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-ioo 13357  df-ico 13359  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14337  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-hom 17280  df-cco 17281  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-pt 17443  df-prds 17446  df-xrs 17501  df-qtop 17506  df-imas 17507  df-xps 17509  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19036  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-cn 23150  df-cnp 23151  df-lm 23152  df-haus 23238  df-tx 23485  df-hmeo 23678  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cfil 25192  df-cau 25193  df-cmet 25194  df-grpo 30406  df-gid 30407  df-ginv 30408  df-gdiv 30409  df-ablo 30458  df-vc 30472  df-nv 30505  df-va 30508  df-ba 30509  df-sm 30510  df-0v 30511  df-vs 30512  df-nmcv 30513  df-ims 30514  df-dip 30614  df-ssp 30635  df-ph 30726  df-cbn 30776  df-hnorm 30881  df-hba 30882  df-hvsub 30884  df-hlim 30885  df-hcau 30886  df-sh 31120  df-ch 31134  df-oc 31165  df-ch0 31166  df-shs 31221  df-pjh 31308  df-h0op 31661  df-nmop 31752

This theorem is referenced by:  nmop0h  31904  0bdop  31906  nmlnop0iALT  31908  pjbdlni  32062