Theorem nmop0 32010

Description: The norm of the zero operator is zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmop0	⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Proof of Theorem nmop0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 31775	. . 3 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
2		nmopval 31880	. . 3 ⊢ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < )
4		ho0val 31774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑦) = 0ℎ)
5	4	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = (normℎ‘0ℎ))
6		norm0 31152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) = 0)
8	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
9	8	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
10	9	rexbiia 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
11		ax-hv0cl 31027	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
12		0le1 11658	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
13		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
14	13, 6	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = 0)
15	14	breq1d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
16	15	rspcev 3574	. . . . . . . 8 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
17	11, 12, 16	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1
18		r19.41v 3164	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
19	17, 18	mpbiran 709	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
20	10, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
21	20	abbii 2801	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
22		df-sn 4579	. . . 4 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
23	21, 22	eqtr4i 2760	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))} = {0}
24	23	supeq1i 9348	. 2 ⊢ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘( 0hop ‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
25		xrltso 13053	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
26		0xr 11177	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		supsn 9374	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
28	25, 26, 27	mp2an 692	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
29	3, 24, 28	3eqtri 2761	1 ⊢ (normop‘ 0hop ) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712  ∃wrex 3058  {csn 4578   class class class wbr 5096   Or wor 5529  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  supcsup 9341  0cc0 11024  1c1 11025  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165   ℋchba 30943  norm_ℎcno 30947  0_ℎc0v 30948   0_hop ch0o 30967  norm_opcnop 30969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109  ax-hcompl 31226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-lm 23171  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cfil 25209  df-cau 25210  df-cmet 25211  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-dip 30725  df-ssp 30746  df-ph 30837  df-cbn 30887  df-hnorm 30992  df-hba 30993  df-hvsub 30995  df-hlim 30996  df-hcau 30997  df-sh 31231  df-ch 31245  df-oc 31276  df-ch0 31277  df-shs 31332  df-pjh 31419  df-h0op 31772  df-nmop 31863

This theorem is referenced by:  nmop0h  32015  0bdop  32017  nmlnop0iALT  32019  pjbdlni  32173