Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovoliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovoliunnfl 37192
Description: ovoliun 25452 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘š,๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4914 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4933 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โˆ…))
5 ovol0 25440 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
64, 5eqtr2di 2782 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
76a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
8 ovolge0 25428 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
98ad2antll 727 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
10 reldom 8968 . . . . . . . . . . . 12 Rel โ‰ผ
1110brrelex1i 5728 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
12 0sdomg 9127 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1413biimparc 478 . . . . . . . . 9 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
15 fodomr 9151 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1614, 15sylancom 586 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
17 unissb 4937 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„)
1817anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
19 r19.26 3101 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2018, 19bitr4i 277 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 brdom2 9001 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
22 nnenom 13977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โ‰ˆ ฯ‰
23 sdomen2 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„• โ‰ˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
25 isfinite 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
2624, 25bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
2726orbi1i 911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
2821, 27bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
29 ovolfi 25441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โІ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3029expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
31 ovolctb 25437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3231ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ˆ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3330, 32jaod 857 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3428, 33biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3534imdistani 567 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3635ralimi 3073 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3720, 36sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3837ancoms 457 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
39 foima 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘“ โ€œ โ„•) = ๐ด)
4039raleqdv 3315 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
41 fofn 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘“ Fn โ„•)
42 ssid 3995 . . . . . . . . . . . . 13 โ„• โІ โ„•
43 sseq1 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„))
44 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0))
4543, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4645ralima 7246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โ„• โІ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4741, 42, 46sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4840, 47bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘›))
5049sseq1d 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„))
51 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
5251eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
5350, 52anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0)))
5453cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
55 0re 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
56 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„ โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
5857anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5958ralimi 3073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
6054, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
61 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
6241, 60, 61syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
63 fofun 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘“)
64 funiunfv 7254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘“ โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6639unieqd 4916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
6765, 66eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช ๐ด)
6867fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
70 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘š))
7170sseq1d 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„))
72 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))
7372eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)))
7574rspccva 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7675simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)
7776mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
7877seqeq3d 14006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
7978rneqd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
8079supeq1d 9469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
81 0cn 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„‚
82 ser1const 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
8381, 82mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
84 nncn 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
8584mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘™ ยท 0) = 0)
8683, 85eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = 0)
8786mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
88 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
89 seqeq3 14003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
91 1z 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„ค
92 seqfn 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
94 nnuz 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9594fneq2i 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
96 dffn5 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9795, 96bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9893, 97mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
9990, 98eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
100 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„• ร— {0}) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
10187, 99, 1003eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
102101rneqi 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
103 1nn 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„•
104 ne0i 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
105 rnxp 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
106103, 104, 105mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
107102, 106eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
108107supeq1i 9470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
109 xrltso 13152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or โ„*
110 0xr 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„*
111 supsn 9495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
112109, 110, 111mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup({0}, โ„*, < ) = 0
113108, 112eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
11480, 113eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
115114adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
11662, 69, 1153brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
117116ex 411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
11848, 117sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
119118exlimiv 1925 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
120119imp 405 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
12116, 38, 120syl2an 594 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
122 ovolcl 25425 . . . . . . . . 9 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*)
123 xrletri3 13165 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
124110, 122, 123sylancr 585 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
125124ad2antll 727 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
1269, 121, 125mpbir2and 711 . . . . . 6 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
127126expl 456 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
1287, 127pm2.61ine 3015 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
129 renepnf 11292 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
13055, 129mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
131 fveq2 6892 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โ„))
132 ovolre 25472 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
133131, 132eqtrdi 2781 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
134130, 133neeqtrrd 3005 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
135134necon2i 2965 . . . 4 (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
136128, 135syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
137136expr 455 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
138 eqimss 4031 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โІ โ„)
139138necon3bi 2957 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
140137, 139pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  Vcvv 3463   โІ wss 3939  โˆ…c0 4318  {csn 4624  โˆช cuni 4903  โˆช ciun 4991   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   Or wor 5583   ร— cxp 5670  ran crn 5673   โ€œ cima 5675  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  ฯ‰com 7868   โ‰ˆ cen 8959   โ‰ผ cdom 8960   โ‰บ csdm 8961  Fincfn 8962  supcsup 9463  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  +โˆžcpnf 11275  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  โ„•cn 12242  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  seqcseq 13998  vol*covol 25409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  37193
  Copyright terms: Public domain W3C validator