Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovoliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovoliunnfl 37043
Description: ovoliun 25389 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘š,๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4913 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4932 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โˆ…))
5 ovol0 25377 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
64, 5eqtr2di 2783 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
76a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
8 ovolge0 25365 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
98ad2antll 726 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
10 reldom 8947 . . . . . . . . . . . 12 Rel โ‰ผ
1110brrelex1i 5725 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
12 0sdomg 9106 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1413biimparc 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
15 fodomr 9130 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1614, 15sylancom 587 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
17 unissb 4936 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„)
1817anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
19 r19.26 3105 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2018, 19bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 brdom2 8980 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
22 nnenom 13951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โ‰ˆ ฯ‰
23 sdomen2 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„• โ‰ˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
25 isfinite 9649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
2624, 25bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
2726orbi1i 910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
2821, 27bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
29 ovolfi 25378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โІ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3029expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
31 ovolctb 25374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ˆ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3330, 32jaod 856 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3428, 33biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3534imdistani 568 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3635ralimi 3077 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3720, 36sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3837ancoms 458 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
39 foima 6804 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘“ โ€œ โ„•) = ๐ด)
4039raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
41 fofn 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘“ Fn โ„•)
42 ssid 3999 . . . . . . . . . . . . 13 โ„• โІ โ„•
43 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„))
44 fveqeq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0))
4543, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4645ralima 7235 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โ„• โІ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4741, 42, 46sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4840, 47bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
49 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘›))
5049sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„))
51 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
5251eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
5350, 52anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0)))
5453cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
55 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
56 eleq1a 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„ โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
5857anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5958ralimi 3077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
6054, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
61 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
6241, 60, 61syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
63 fofun 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘“)
64 funiunfv 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘“ โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6639unieqd 4915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
6765, 66eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช ๐ด)
6867fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
70 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘š))
7170sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„))
72 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))
7372eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)))
7574rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7675simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)
7776mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
7877seqeq3d 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
7978rneqd 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
8079supeq1d 9443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
81 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„‚
82 ser1const 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
8381, 82mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
84 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
8584mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘™ ยท 0) = 0)
8683, 85eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = 0)
8786mpteq2ia 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
88 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
89 seqeq3 13977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
91 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„ค
92 seqfn 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
94 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9594fneq2i 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
96 dffn5 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9795, 96bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9893, 97mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
9990, 98eqtr3i 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
100 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„• ร— {0}) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
10187, 99, 1003eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
102101rneqi 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
103 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„•
104 ne0i 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
105 rnxp 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
106103, 104, 105mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
107102, 106eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
108107supeq1i 9444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
109 xrltso 13126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or โ„*
110 0xr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„*
111 supsn 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
112109, 110, 111mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup({0}, โ„*, < ) = 0
113108, 112eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
11480, 113eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
11662, 69, 1153brtr3d 5172 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
117116ex 412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
11848, 117sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
119118exlimiv 1925 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
120119imp 406 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
12116, 38, 120syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
122 ovolcl 25362 . . . . . . . . 9 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*)
123 xrletri3 13139 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
124110, 122, 123sylancr 586 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
125124ad2antll 726 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
1269, 121, 125mpbir2and 710 . . . . . 6 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
127126expl 457 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
1287, 127pm2.61ine 3019 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
129 renepnf 11266 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
13055, 129mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
131 fveq2 6885 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โ„))
132 ovolre 25409 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
133131, 132eqtrdi 2782 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
134130, 133neeqtrrd 3009 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
135134necon2i 2969 . . . 4 (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
136128, 135syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
137136expr 456 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
138 eqimss 4035 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โІ โ„)
139138necon3bi 2961 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
140137, 139pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  {csn 4623  โˆช cuni 4902  โˆช ciun 4990   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   Or wor 5580   ร— cxp 5667  ran crn 5670   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  โ€“ontoโ†’wfo 6535  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  ฯ‰com 7852   โ‰ˆ cen 8938   โ‰ผ cdom 8939   โ‰บ csdm 8940  Fincfn 8941  supcsup 9437  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13972  vol*covol 25346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  37044
  Copyright terms: Public domain W3C validator