Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovoliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovoliunnfl 36149
Description: ovoliun 24885 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
ovoliunnfl.0 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
ovoliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘š,๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem ovoliunnfl
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4881 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4901 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โˆ…))
5 ovol0 24873 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
64, 5eqtr2di 2794 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
76a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
8 ovolge0 24861 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
98ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
10 reldom 8896 . . . . . . . . . . . 12 Rel โ‰ผ
1110brrelex1i 5693 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
12 0sdomg 9055 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1413biimparc 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
15 fodomr 9079 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1614, 15sylancom 589 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
17 unissb 4905 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„)
1817anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
19 r19.26 3115 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2018, 19bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 brdom2 8929 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
22 nnenom 13892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โ‰ˆ ฯ‰
23 sdomen2 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„• โ‰ˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
25 isfinite 9595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†” ๐‘ฅ โ‰บ ฯ‰)
2624, 25bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โ‰บ โ„• โ†” ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
2726orbi1i 913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โ‰บ โ„• โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
2821, 27bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•))
29 ovolfi 24874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โŠ† โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3029expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
31 ovolctb 24870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
3231ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ˆ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3330, 32jaod 858 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆจ ๐‘ฅ โ‰ˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3428, 33biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3534imdistani 570 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3635ralimi 3087 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3720, 36sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
3837ancoms 460 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
39 foima 6766 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘“ โ€œ โ„•) = ๐ด)
4039raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
41 fofn 6763 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘“ Fn โ„•)
42 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 โ„• โŠ† โ„•
43 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„))
44 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0))
4543, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘“โ€˜๐‘™) โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4645ralima 7193 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โ„• โŠ† โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4741, 42, 46sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘“ โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
4840, 47bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)))
49 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘›))
5049sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„))
51 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
5251eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
5350, 52anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0)))
5453cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0))
55 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
56 eleq1a 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„ โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0 โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)
5857anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
5958ralimi 3087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
6054, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
61 ovoliunnfl.0 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ Fn โ„• โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
6241, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) โ‰ค sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ))
63 fofun 6762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘“)
64 funiunfv 7200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘“ โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•))
6639unieqd 4884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘“ โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
6765, 66eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š) = โˆช ๐ด)
6867fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘š)) = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
70 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘™) = (๐‘“โ€˜๐‘š))
7170sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘š) โŠ† โ„))
72 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))
7372eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7471, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ = ๐‘š โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†” ((๐‘“โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)))
7574rspccva 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0))
7675simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = 0)
7776mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
7877seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
7978rneqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))) = ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
8079supeq1d 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
81 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„‚
82 ser1const 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
8381, 82mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = (๐‘™ ยท 0))
84 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
8584mul01d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘™ ยท 0) = 0)
8683, 85eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™) = 0)
8786mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
88 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
89 seqeq3 13918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
91 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„ค
92 seqfn 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
94 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9594fneq2i 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
96 dffn5 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9795, 96bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™)))
9893, 97mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
9990, 98eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘™))
100 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„• ร— {0}) = (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
10187, 99, 1003eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
102101rneqi 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
103 1nn 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„•
104 ne0i 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
105 rnxp 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
106103, 104, 105mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
107102, 106eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
108107supeq1i 9390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
109 xrltso 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or โ„*
110 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„*
111 supsn 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
112109, 110, 111mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sup({0}, โ„*, < ) = 0
113108, 112eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
11480, 113eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
115114adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)))), โ„*, < ) = 0)
11662, 69, 1153brtr3d 5141 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
117116ex 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘™) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘™)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
11848, 117sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
119118exlimiv 1934 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0))
120119imp 408 . . . . . . . 8 ((โˆƒ๐‘“ ๐‘“:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
12116, 38, 120syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)
122 ovolcl 24858 . . . . . . . . 9 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*)
123 xrletri3 13080 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
124110, 122, 123sylancr 588 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
125124ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†” (0 โ‰ค (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โˆง (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ‰ค 0)))
1269, 121, 125mpbir2and 712 . . . . . 6 (((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
127126expl 459 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด)))
1287, 127pm2.61ine 3029 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
129 renepnf 11210 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
13055, 129mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
131 fveq2 6847 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = (vol*โ€˜โ„))
132 ovolre 24905 . . . . . . 7 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
133131, 132eqtrdi 2793 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (vol*โ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
134130, 133neeqtrrd 3019 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (vol*โ€˜โˆช ๐ด))
135134necon2i 2979 . . . 4 (0 = (vol*โ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
136128, 135syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
137136expr 458 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
138 eqimss 4005 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โŠ† โ„)
139138necon3bi 2971 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
140137, 139pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  Vcvv 3448   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  {csn 4591  โˆช cuni 4870  โˆช ciun 4959   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193   Or wor 5549   ร— cxp 5636  ran crn 5639   โ€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  โ€“ontoโ†’wfo 6499  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  ฯ‰com 7807   โ‰ˆ cen 8887   โ‰ผ cdom 8888   โ‰บ csdm 8889  Fincfn 8890  supcsup 9383  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  seqcseq 13913  vol*covol 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844
This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  36150
  Copyright terms: Public domain W3C validator