Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum0 33668
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esum0 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4 𝑘𝐴
21nfel1 2916 . . 3 𝑘 𝐴𝑉
3 id 22 . . 3 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0e0iccpnf 13469 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6 xrge0cmn 21341 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7 cmnmnd 19752 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9 vex 3475 . . . . 5 𝑥 ∈ V
10 xrge00 32755 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1110gsumz 18788 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
128, 9, 11mp2an 691 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
142, 1, 3, 5, 13esumval 33665 . 2 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15 fconstmpt 5740 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
1615eqcomi 2737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17 0xr 11292 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1817rgenw 3062 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
2019fnmpt 6695 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22 0elpw 5356 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23 0fin 9196 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
24 elin 3963 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
2522, 23, 24mpbir2an 710 . . . . . . . 8 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2625ne0ii 4338 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27 fconst5 7218 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
2821, 26, 27mp2an 691 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2916, 28mpbi 229 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
3029a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3130supeq1d 9470 . . 3 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32 xrltso 13153 . . . 4 < Or ℝ*
33 supsn 9496 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3432, 17, 33mp2an 691 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3531, 34eqtrdi 2784 . 2 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
3614, 35eqtrd 2768 1 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnfc 2879  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3471  cin 3946  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  cmpt 5231   Or wor 5589   × cxp 5676  ran crn 5679   Fn wfn 6543  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  supcsup 9464  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  *cxr 11278   < clt 11279  [,]cicc 13360  s cress 17209   Σg cgsu 17422  *𝑠cxrs 17482  Mndcmnd 18694  CMndccmn 19735  Σ*cesum 33646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-ordt 17483  df-xrs 17484  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-cn 23144  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044  df-esum 33647
This theorem is referenced by:  esumpad  33674  esumrnmpt2  33687  measvunilem0  33832  ddemeas  33855
  Copyright terms: Public domain W3C validator