Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum0 33567
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esum0 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4 𝑘𝐴
21nfel1 2911 . . 3 𝑘 𝐴𝑉
3 id 22 . . 3 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0e0iccpnf 13437 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6 xrge0cmn 21292 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7 cmnmnd 19713 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9 vex 3470 . . . . 5 𝑥 ∈ V
10 xrge00 32678 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1110gsumz 18757 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
128, 9, 11mp2an 689 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
142, 1, 3, 5, 13esumval 33564 . 2 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15 fconstmpt 5729 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
1615eqcomi 2733 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17 0xr 11260 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1817rgenw 3057 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
2019fnmpt 6681 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22 0elpw 5345 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23 0fin 9168 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
24 elin 3957 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
2522, 23, 24mpbir2an 708 . . . . . . . 8 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2625ne0ii 4330 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27 fconst5 7200 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
2821, 26, 27mp2an 689 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2916, 28mpbi 229 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
3029a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3130supeq1d 9438 . . 3 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32 xrltso 13121 . . . 4 < Or ℝ*
33 supsn 9464 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3432, 17, 33mp2an 689 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3531, 34eqtrdi 2780 . 2 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
3614, 35eqtrd 2764 1 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2875  wne 2932  wral 3053  Vcvv 3466  cin 3940  c0 4315  𝒫 cpw 4595  {csn 4621  cmpt 5222   Or wor 5578   × cxp 5665  ran crn 5668   Fn wfn 6529  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  supcsup 9432  0cc0 11107  +∞cpnf 11244  *cxr 11246   < clt 11247  [,]cicc 13328  s cress 17178   Σg cgsu 17391  *𝑠cxrs 17451  Mndcmnd 18663  CMndccmn 19696  Σ*cesum 33545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-xadd 13094  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-ntr 22868  df-nei 22946  df-cn 23075  df-haus 23163  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-tsms 23975  df-esum 33546
This theorem is referenced by:  esumpad  33573  esumrnmpt2  33586  measvunilem0  33731  ddemeas  33754
  Copyright terms: Public domain W3C validator