Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum0 30493
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esum0 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4 𝑘𝐴
21nfel1 2922 . . 3 𝑘 𝐴𝑉
3 id 22 . . 3 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0e0iccpnf 12487 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6 xrge0cmn 20061 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7 cmnmnd 18474 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9 vex 3353 . . . . 5 𝑥 ∈ V
10 xrge00 30068 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1110gsumz 17642 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
128, 9, 11mp2an 683 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
142, 1, 3, 5, 13esumval 30490 . 2 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15 fconstmpt 5333 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
1615eqcomi 2774 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17 0xr 10340 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1817rgenw 3071 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
2019fnmpt 6198 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22 0elpw 4992 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23 0fin 8395 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
24 elin 3958 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
2522, 23, 24mpbir2an 702 . . . . . . . 8 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2625ne0ii 4088 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27 fconst5 6664 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
2821, 26, 27mp2an 683 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2916, 28mpbi 221 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
3029a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3130supeq1d 8559 . . 3 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32 xrltso 12174 . . . 4 < Or ℝ*
33 supsn 8585 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3432, 17, 33mp2an 683 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3531, 34syl6eq 2815 . 2 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
3614, 35eqtrd 2799 1 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cin 3731  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  cmpt 4888   Or wor 5197   × cxp 5275  ran crn 5278   Fn wfn 6063  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  supcsup 8553  0cc0 10189  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  [,]cicc 12380  s cress 16133   Σg cgsu 16369  *𝑠cxrs 16428  Mndcmnd 17562  CMndccmn 18459  Σ*cesum 30471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-ordt 16429  df-xrs 16430  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-ps 17468  df-tsr 17469  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-ntr 21104  df-nei 21182  df-cn 21311  df-haus 21399  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-tsms 22209  df-esum 30472
This theorem is referenced by:  esumpad  30499  esumrnmpt2  30512  measvunilem0  30658  ddemeas  30681
  Copyright terms: Public domain W3C validator