Theorem esum0 34792

Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esum0.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
esum0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = 0)

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum0.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2942	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0e0iccpnf 13630	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6		xrge0cmn 21804	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7		cmnmnd 20062	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
10		xrge00 33674	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11	10	gsumz 19082	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0)
12	8, 9, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0)
14	2, 1, 3, 5, 13	esumval 34789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15		fconstmpt 5720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
16	15	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17		0xr 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18	17	rgenw 3084	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
20	19	fnmpt 6709	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22		0elpw 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23		0fi 9108	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
24		elin 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
25	22, 23, 24	mpbir2an 724	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
26	25	ne0ii 4293	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27		fconst5 7243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
28	21, 26, 27	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
29	16, 28	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
31	30	supeq1d 9475	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32		xrltso 13310	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
33		supsn 9502	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
34	32, 17, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
35	31, 34	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
36	14, 35	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5192   Or wor 5565   × cxp 5656  ran crn 5659   Fn wfn 6561  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  supcsup 9469  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  [,]cicc 13519   ↾_s cress 17452   Σ_g cgsu 17661  ℝ^*_𝑠cxrs 17722  Mndcmnd 18973  CMndccmn 20045  Σ^*cesum 34770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-ntr 23393  df-nei 23471  df-cn 23600  df-haus 23688  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-tsms 24501  df-esum 34771

This theorem is used by:  esumpad  34798  esumrnmpt2  34811  measvunilem0  34957  ddemeas  34980