Theorem esum0 34731

Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esum0.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
esum0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = 0)

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum0.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2	1	nfel1 2938	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		0e0iccpnf 13597	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6		xrge0cmn 21759	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7		cmnmnd 20020	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
10		xrge00 33625	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11	10	gsumz 19041	. . . . 5 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0)
12	8, 9, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 0)) = 0)
14	2, 1, 3, 5, 13	esumval 34728	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15		fconstmpt 5713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
16	15	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17		0xr 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18	17	rgenw 3080	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
20	19	fnmpt 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22		0elpw 5317	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23		0fi 9078	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ Fin
24		elin 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
25	22, 23, 24	mpbir2an 724	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
26	25	ne0ii 4289	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27		fconst5 7216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
28	21, 26, 27	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
29	16, 28	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
31	30	supeq1d 9445	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32		xrltso 13277	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
33		supsn 9472	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
34	32, 17, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
35	31, 34	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
36	14, 35	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴0 = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   Or wor 5558   × cxp 5649  ran crn 5652   Fn wfn 6538  (class class class)co 7424  Fincfn 8981  supcsup 9439  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  [,]cicc 13486   ↾_s cress 17417   Σ_g cgsu 17620  ℝ^*_𝑠cxrs 17681  Mndcmnd 18932  CMndccmn 20003  Σ^*cesum 34709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-ntr 23347  df-nei 23425  df-cn 23554  df-haus 23642  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tsms 24455  df-esum 34710

This theorem is used by:  esumpad  34737  esumrnmpt2  34750  measvunilem0  34896  ddemeas  34919