Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum0 34050
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esum0 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4 𝑘𝐴
21nfel1 2922 . . 3 𝑘 𝐴𝑉
3 id 22 . . 3 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0e0iccpnf 13499 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6 xrge0cmn 21426 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7 cmnmnd 19815 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
9 vex 3484 . . . . 5 𝑥 ∈ V
10 xrge00 33017 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1110gsumz 18849 . . . . 5 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ V) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
128, 9, 11mp2an 692 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥 ↦ 0)) = 0)
142, 1, 3, 5, 13esumval 34047 . 2 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
15 fconstmpt 5747 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
1615eqcomi 2746 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0})
17 0xr 11308 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1817rgenw 3065 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
2019fnmpt 6708 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
22 0elpw 5356 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
23 0fi 9082 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
24 elin 3967 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
2522, 23, 24mpbir2an 711 . . . . . . . 8 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2625ne0ii 4344 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
27 fconst5 7226 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
2821, 26, 27mp2an 692 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2916, 28mpbi 230 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
3029a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3130supeq1d 9486 . . 3 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
32 xrltso 13183 . . . 4 < Or ℝ*
33 supsn 9512 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3432, 17, 33mp2an 692 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3531, 34eqtrdi 2793 . 2 (𝐴𝑉 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = 0)
3614, 35eqtrd 2777 1 (𝐴𝑉 → Σ*𝑘𝐴0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cmpt 5225   Or wor 5591   × cxp 5683  ran crn 5686   Fn wfn 6556  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  [,]cicc 13390  s cress 17274   Σg cgsu 17485  *𝑠cxrs 17545  Mndcmnd 18747  CMndccmn 19798  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  esumpad  34056  esumrnmpt2  34069  measvunilem0  34214  ddemeas  34237
  Copyright terms: Public domain W3C validator