MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsdsval 23887
Description: Value of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsds.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsds.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsds.p 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
xpsds.m 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
xpsds.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xpsds.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
xpsds.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsds.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
xpsds.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
xpsds.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
xpsdsval (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xpsdsval
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 xpsds.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
3 xpsds.y . . . . 5 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
4 xpsds.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 xpsds.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17516 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17517 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
116xpsff1o2 17515 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
12 f1ocnv 6846 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
1311, 12mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
14 ovexd 7444 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
15 eqid 2733 . . . 4 ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) = ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
16 xpsds.p . . . 4 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
17 xpsds.m . . . . . 6 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
18 xpsds.n . . . . . 6 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 xpsds.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 xpsds.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
211, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20xpsxmetlem 23885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (∞Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
22 ssid 4005 . . . . 5 ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
23 xmetres2 23867 . . . . 5 (((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (∞Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (∞Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
2421, 22, 23sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (∞Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
25 df-ov 7412 . . . . . 6 (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
26 xpsds.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 xpsds.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
286xpsfval 17512 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
3025, 29eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
3126, 27opelxpd 5716 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
32 f1of 6834 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
3311, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
3433ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
3630, 35eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
37 df-ov 7412 . . . . . 6 (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)
38 xpsds.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
39 xpsds.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
406xpsfval 17512 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
4138, 39, 40syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
4237, 41eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
4338, 39opelxpd 5716 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
4433ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
4543, 44syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
4642, 45eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
479, 10, 13, 14, 15, 16, 24, 36, 46imasdsf1o 23880 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})𝑃(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
4836, 46ovresd 7574 . . 3 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
4947, 48eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})𝑃(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
50 f1ocnvfv 7276 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
5111, 31, 50sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
5230, 51mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
53 f1ocnvfv 7276 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
5411, 43, 53sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
5542, 54mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
5652, 55oveq12d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})𝑃(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
57 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
58 fvexd 6907 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
59 2on 8480 . . . . 5 2o ∈ On
6059a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2o ∈ On)
61 fnpr2o 17503 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
624, 5, 61syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
6336, 10eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
6446, 10eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
65 eqid 2733 . . . 4 (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
668, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65prdsdsval 17424 . . 3 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = sup((ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
67 df2o3 8474 . . . . . . . . . . 11 2o = {βˆ…, 1o}
6867rexeqi 3325 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ 2o π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ {βˆ…, 1o}π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)))
69 0ex 5308 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ V
70 1oex 8476 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
71 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = βˆ… β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…))
73 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…))
7471, 72, 73oveq123d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = βˆ… β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)))
7574eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = βˆ… β†’ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…))))
76 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1o β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
77 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o))
78 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))
7976, 77, 78oveq123d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1o β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)))
8079eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1o β†’ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))))
8169, 70, 75, 80rexpr 4706 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ {βˆ…, 1o}π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) ∨ π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))))
8268, 81bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ 2o π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) ∨ π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))))
83 fvpr0o 17505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
844, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
8584fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = (distβ€˜π‘…))
86 fvpr0o 17505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…) = 𝐴)
8726, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…) = 𝐴)
88 fvpr0o 17505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) = 𝐢)
8938, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) = 𝐢)
9085, 87, 89oveq123d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) = (𝐴(distβ€˜π‘…)𝐢))
9117oveqi 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐢)
9226, 38ovresd 7574 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐢) = (𝐴(distβ€˜π‘…)𝐢))
9391, 92eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴(distβ€˜π‘…)𝐢))
9490, 93eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) = (𝐴𝑀𝐢))
9594eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) ↔ π‘₯ = (𝐴𝑀𝐢)))
96 fvpr1o 17506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
975, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
9897fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = (distβ€˜π‘†))
99 fvpr1o 17506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o) = 𝐡)
10027, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o) = 𝐡)
101 fvpr1o 17506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ π‘Œ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o) = 𝐷)
10239, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o) = 𝐷)
10398, 100, 102oveq123d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)) = (𝐡(distβ€˜π‘†)𝐷))
10418oveqi 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡𝑁𝐷) = (𝐡((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝐷)
10527, 39ovresd 7574 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝐷) = (𝐡(distβ€˜π‘†)𝐷))
106104, 105eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑁𝐷) = (𝐡(distβ€˜π‘†)𝐷))
107103, 106eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)) = (𝐡𝑁𝐷))
108107eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)) ↔ π‘₯ = (𝐡𝑁𝐷)))
10995, 108orbi12d 918 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)) ∨ π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))) ↔ (π‘₯ = (𝐴𝑀𝐢) ∨ π‘₯ = (𝐡𝑁𝐷))))
11082, 109bitrid 283 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 2o π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ = (𝐴𝑀𝐢) ∨ π‘₯ = (𝐡𝑁𝐷))))
111 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)))
112111elrnmpt 5956 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 2o π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))))
113112elv 3481 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 2o π‘₯ = (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)))
114 vex 3479 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
115114elpr 4652 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} ↔ (π‘₯ = (𝐴𝑀𝐢) ∨ π‘₯ = (𝐡𝑁𝐷)))
116110, 113, 1153bitr4g 314 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) ↔ π‘₯ ∈ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}))
117116eqrdv 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) = {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)})
118117uneq1d 4163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) = ({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βˆͺ {0}))
119 uncom 4154 . . . . 5 ({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βˆͺ {0}) = ({0} βˆͺ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)})
120118, 119eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) = ({0} βˆͺ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}))
121120supeq1d 9441 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((ran (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup(({0} βˆͺ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}), ℝ*, < ))
122 0xr 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
123122a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
124123snssd 4813 . . . 4 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† ℝ*)
125 xmetcl 23837 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ*)
12619, 26, 38, 125syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐢) ∈ ℝ*)
127 xmetcl 23837 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
12820, 27, 39, 127syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
129126, 128prssd 4826 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βŠ† ℝ*)
130 xrltso 13120 . . . . . 6 < Or ℝ*
131 supsn 9467 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
132130, 122, 131mp2an 691 . . . . 5 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
133 supxrcl 13294 . . . . . . 7 ({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βŠ† ℝ* β†’ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
134129, 133syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
135 xmetge0 23850 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝑀𝐢))
13619, 26, 38, 135syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝑀𝐢))
137 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝐴𝑀𝐢) ∈ V
138137prid1 4767 . . . . . . 7 (𝐴𝑀𝐢) ∈ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}
139 supxrub 13303 . . . . . . 7 (({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βŠ† ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐢) ∈ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}) β†’ (𝐴𝑀𝐢) ≀ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
140129, 138, 139sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐢) ≀ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
141123, 126, 134, 136, 140xrletrd 13141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
142132, 141eqbrtrid 5184 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({0}, ℝ*, < ) ≀ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
143 supxrun 13295 . . . 4 (({0} βŠ† ℝ* ∧ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)} βŠ† ℝ* ∧ sup({0}, ℝ*, < ) ≀ sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < )) β†’ sup(({0} βˆͺ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}), ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
144124, 129, 142, 143syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(({0} βˆͺ {(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}), ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
14566, 121, 1443eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
14649, 56, 1453eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, π΅βŸ©π‘ƒβŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐢), (𝐡𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460  supcsup 9435  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  distcds 17206  Xscprds 17391   Γ—s cxps 17452  βˆžMetcxmet 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-xmet 20937
This theorem is referenced by:  tmsxpsval  24047
  Copyright terms: Public domain W3C validator