MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsdsval 22594
Description: Value of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
xpsds.a (𝜑𝐴𝑋)
xpsds.b (𝜑𝐵𝑌)
xpsds.c (𝜑𝐶𝑋)
xpsds.d (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpsdsval (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xpsdsval
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . . . 5 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2777 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2777 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2777 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16618 . . . 4 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16619 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
116xpsff1o2 16617 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12 f1ocnv 6403 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 6956 . . . 4 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
15 eqid 2777 . . . 4 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
16 xpsds.p . . . 4 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 xpsds.m . . . . . 6 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
18 xpsds.n . . . . . 6 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
19 xpsds.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 xpsds.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
211, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20xpsxmetlem 22592 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
22 ssid 3841 . . . . 5 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
23 xmetres2 22574 . . . . 5 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
2421, 22, 23sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
25 df-ov 6925 . . . . . 6 (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
26 xpsds.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
27 xpsds.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑌)
286xpsfval 16613 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
2926, 27, 28syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
3025, 29syl5eqr 2827 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
31 opelxpi 5392 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
3226, 27, 31syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
33 f1of 6391 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
3411, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
3534ffvelrni 6622 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
3632, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
3730, 36eqeltrrd 2859 . . . 4 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
38 df-ov 6925 . . . . . 6 (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
39 xpsds.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑋)
40 xpsds.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑌)
416xpsfval 16613 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
4239, 40, 41syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
4338, 42syl5eqr 2827 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
44 opelxpi 5392 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
4539, 40, 44syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
4634ffvelrni 6622 . . . . . 6 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
4843, 47eqeltrrd 2859 . . . 4 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
499, 10, 13, 14, 15, 16, 24, 37, 48imasdsf1o 22587 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵}))𝑃((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
5037, 48ovresd 7078 . . 3 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
5149, 50eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵}))𝑃((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
52 f1ocnvfv 6806 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
5311, 32, 52sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
5430, 53mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
55 f1ocnvfv 6806 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5611, 45, 55sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5743, 56mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
5854, 57oveq12d 6940 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵}))𝑃((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩))
59 eqid 2777 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
60 fvexd 6461 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
61 2on 7852 . . . . 5 2o ∈ On
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2o ∈ On)
63 xpscfn 16605 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
644, 5, 63syl2anc 579 . . . 4 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
6537, 10eleqtrd 2860 . . . 4 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6648, 10eleqtrd 2860 . . . 4 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
67 eqid 2777 . . . 4 (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
688, 59, 60, 62, 64, 65, 66, 67prdsdsval 16524 . . 3 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = sup((ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
69 df2o3 7857 . . . . . . . . . . 11 2o = {∅, 1o}
7069rexeqi 3338 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ 2o 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ {∅, 1o}𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
71 0ex 5026 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
72 1oex 7851 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
73 2fveq3 6451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ∅ → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
74 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
75 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ∅ → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))
7673, 74, 75oveq123d 6943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)))
7776eqeq2d 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ∅ → (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))))
78 2fveq3 6451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1o → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o)))
79 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1o → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o))
80 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1o → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o))
8178, 79, 80oveq123d 6943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1o → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o)))
8281eqeq2d 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1o → (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o))))
8371, 72, 77, 82rexpr 4467 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ {∅, 1o}𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) ∨ 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o))))
8470, 83bitri 267 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ 2o 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) ∨ 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o))))
85 xpsc0 16606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
864, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8786fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (dist‘𝑅))
88 xpsc0 16606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑋 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
8926, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
90 xpsc0 16606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑋 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
9139, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
9287, 89, 91oveq123d 6943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) = (𝐴(dist‘𝑅)𝐶))
9317oveqi 6935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶)
9426, 39ovresd 7078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) = (𝐴(dist‘𝑅)𝐶))
9593, 94syl5eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴(dist‘𝑅)𝐶))
9692, 95eqtr4d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) = (𝐴𝑀𝐶))
9796eqeq2d 2787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) ↔ 𝑥 = (𝐴𝑀𝐶)))
98 xpsc1 16607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
995, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
10099fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o)) = (dist‘𝑆))
101 xpsc1 16607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑌 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)
10227, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o) = 𝐵)
103 xpsc1 16607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷𝑌 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o) = 𝐷)
10440, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o) = 𝐷)
105100, 102, 104oveq123d 6943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o)) = (𝐵(dist‘𝑆)𝐷))
10618oveqi 6935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝐷)
10727, 40ovresd 7078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝐷) = (𝐵(dist‘𝑆)𝐷))
108106, 107syl5eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵(dist‘𝑆)𝐷))
109105, 108eqtr4d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o)) = (𝐵𝑁𝐷))
110109eqeq2d 2787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o)) ↔ 𝑥 = (𝐵𝑁𝐷)))
11197, 110orbi12d 905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)) ∨ 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1o)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1o))) ↔ (𝑥 = (𝐴𝑀𝐶) ∨ 𝑥 = (𝐵𝑁𝐷))))
11284, 111syl5bb 275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 2o 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝐴𝑀𝐶) ∨ 𝑥 = (𝐵𝑁𝐷))))
113 vex 3400 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
114 eqid 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
115114elrnmpt 5618 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 2o 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))))
116113, 115ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 2o 𝑥 = ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
117113elpr 4420 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ↔ (𝑥 = (𝐴𝑀𝐶) ∨ 𝑥 = (𝐵𝑁𝐷)))
118112, 116, 1173bitr4g 306 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ↔ 𝑥 ∈ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}))
119118eqrdv 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) = {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
120119uneq1d 3988 . . . . 5 (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ∪ {0}) = ({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ∪ {0}))
121 uncom 3979 . . . . 5 ({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ∪ {0}) = ({0} ∪ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
122120, 121syl6eq 2829 . . . 4 (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ∪ {0}) = ({0} ∪ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}))
123122supeq1d 8640 . . 3 (𝜑 → sup((ran (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup(({0} ∪ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}), ℝ*, < ))
124 0xr 10423 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
126125snssd 4571 . . . 4 (𝜑 → {0} ⊆ ℝ*)
127 xmetcl 22544 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
12819, 26, 39, 127syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ*)
129 xmetcl 22544 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌𝐷𝑌) → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
13020, 27, 40, 129syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*)
131 prssi 4583 . . . . 5 (((𝐴𝑀𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑁𝐷) ∈ ℝ*) → {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ⊆ ℝ*)
132128, 130, 131syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ⊆ ℝ*)
133 xrltso 12284 . . . . . 6 < Or ℝ*
134 supsn 8666 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
135133, 124, 134mp2an 682 . . . . 5 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
136 supxrcl 12457 . . . . . . 7 ({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ⊆ ℝ* → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
137132, 136syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
138 xmetge0 22557 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝑀𝐶))
13919, 26, 39, 138syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑀𝐶))
140 ovex 6954 . . . . . . . 8 (𝐴𝑀𝐶) ∈ V
141140prid1 4528 . . . . . . 7 (𝐴𝑀𝐶) ∈ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}
142 supxrub 12466 . . . . . . 7 (({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ⊆ ℝ* ∧ (𝐴𝑀𝐶) ∈ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}) → (𝐴𝑀𝐶) ≤ sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
143132, 141, 142sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) ≤ sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
144125, 128, 137, 139, 143xrletrd 12305 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
145135, 144syl5eqbr 4921 . . . 4 (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) ≤ sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
146 supxrun 12458 . . . 4 (({0} ⊆ ℝ* ∧ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)} ⊆ ℝ* ∧ sup({0}, ℝ*, < ) ≤ sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < )) → sup(({0} ∪ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}), ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
147126, 132, 145, 146syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → sup(({0} ∪ {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}), ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
14868, 123, 1473eqtrd 2817 . 2 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
14951, 58, 1483eqtr3d 2821 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  Vcvv 3397  cun 3789  wss 3791  c0 4140  {csn 4397  {cpr 4399  cop 4403   class class class wbr 4886  cmpt 4965   Or wor 5273   × cxp 5353  ccnv 5354  ran crn 5356  cres 5357  Oncon0 5976   Fn wfn 6130  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  1oc1o 7836  2oc2o 7837  supcsup 8634   +𝑐 ccda 9324  0cc0 10272  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  distcds 16347  Xscprds 16492   ×s cxps 16552  ∞Metcxmet 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-xmet 20135
This theorem is referenced by:  tmsxpsval  22751
  Copyright terms: Public domain W3C validator