Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliunnfl 36835
Description: voliun 25303 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
voliunnfl.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
voliunnfl.3 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
voliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4918 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4938 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
5 0mbl 25288 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ dom vol
6 mblvol 25279 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
8 ovol0 25242 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtri 2758 . . . . . . 7 (volโ€˜โˆ…) = 0
104, 9eqtr2di 2787 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
1110a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
12 reldom 8947 . . . . . . . . . . 11 Rel โ‰ผ
1312brrelex1i 5731 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
14 0sdomg 9106 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1615biimparc 478 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
17 fodomr 9130 . . . . . . . 8 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1816, 17sylancom 586 . . . . . . 7 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
19 unissb 4942 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„)
2019anbi1i 622 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 r19.26 3109 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2220, 21bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
23 ovolctb2 25241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
2423ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โІ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2524imdistani 567 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2625ralimi 3081 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2722, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โІ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2827ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
29 foima 6809 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘” โ€œ โ„•) = ๐ด)
3029raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
31 fofn 6806 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘” Fn โ„•)
32 ssid 4003 . . . . . . . . . . . 12 โ„• โІ โ„•
33 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ โІ โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„))
34 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0))
3533, 34anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3635ralima 7241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘” Fn โ„• โˆง โ„• โІ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3731, 32, 36sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3830, 37bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
39 difss 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ (๐‘”โ€˜๐‘š)
40 ovolssnul 25236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ (๐‘”โ€˜๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
4139, 40mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
42 ssdifss 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„)
43 nulmbl 25284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
44 mblvol 25279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
4544eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†” (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
4645biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
47 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„
4846, 47eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)
4948expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5049ancld 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5243, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5342, 52sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5441, 53syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5554ralimi 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
56 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘š) = (๐‘”โ€˜๐‘›))
57 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1..^๐‘š) = (1..^๐‘›))
5857iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
5956, 58difeq12d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
60 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
61 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V
62 difexg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V
6459, 60, 63fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
6564eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
6664fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
6766eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
6865, 67anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
6968ralbiia 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
70 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘š))
71 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (1..^๐‘›) = (1..^๐‘š))
7271iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))
7370, 72difeq12d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
7473eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
7573fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
7675eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7774, 76anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
7877cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7969, 78bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
8055, 79sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
81 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘™))
8281iundisj2 25298 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
83 disjeq2 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
8483, 64mprg 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
8582, 84mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)
86 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โˆˆ V
8786mptex 7226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ V
88 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
8988eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol))
9088fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9190eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
9289, 91anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9392ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9488adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9594disjeq2dv 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9693, 95anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
9788iuneq2d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9897fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
99 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
100 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
101 seqeq3 13975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) โ†’ seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
10399, 102eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘† = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
104103rneqi 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran ๐‘† = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
105104supeq1i 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )
10690mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
107106seqeq3d 13978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
108107rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
109108supeq1d 9443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
110105, 109eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11198, 110eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ†” (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )))
11296, 111imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < )) โ†” ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))))
113 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
11487, 112, 113vtocl 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11564iuneq2i 5017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
116115fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
11766mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
118 seqeq3 13975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))))
119117, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
120119rneqi 5935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
121120supeq1i 9444 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < )
122114, 116, 1213eqtr3g 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12380, 85, 122sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
124123adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12581iundisj 25297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
126 fofun 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘”)
127 funiunfv 7249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘” โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
129125, 128eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
13029unieqd 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘” โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
131129, 130eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช ๐ด)
132131fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
133132adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
13456sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„))
13556fveqeq2d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
136134, 135anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0)))
137136rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
138 ssdifss 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„)
139138adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„)
140 difss 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ (๐‘”โ€˜๐‘›)
141 ovolssnul 25236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
142140, 141mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
143139, 142jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
144 nulmbl 25284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
145 mblvol 25279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
147146, 142eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
148137, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
149148mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
150149seqeq3d 13978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
151150rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
152151supeq1d 9443 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
153 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โˆˆ โ„‚
154 ser1const 14028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
155153, 154mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
156 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
157156mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š ยท 0) = 0)
158155, 157eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = 0)
159158mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
160 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
161 seqeq3 13975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
163 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„ค
164 seqfn 13982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
165163, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
166 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
167166fneq2i 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
168 dffn5 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
169167, 168bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
170165, 169mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
171162, 170eqtr3i 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
172 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
173159, 171, 1723eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
174173rneqi 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
175 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•
176 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
177 rnxp 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
178175, 176, 177mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
179174, 178eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
180179supeq1i 9444 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
181 xrltso 13124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 < Or โ„*
182 0xr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„*
183 supsn 9469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
184181, 182, 183mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup({0}, โ„*, < ) = 0
185180, 184eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
186152, 185eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
187186adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
188124, 133, 1873eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
189188ex 411 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19038, 189sylbid 239 . . . . . . . . 9 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19128, 190syl5 34 . . . . . . . 8 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
192191exlimiv 1931 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19318, 192syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
194193expimpd 452 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19511, 194pm2.61ine 3023 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
196 renepnf 11266 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
19747, 196mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
198 fveq2 6890 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โ„))
199 rembl 25289 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ dom vol
200 mblvol 25279 . . . . . . . . 9 (โ„ โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„))
201199, 200ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„)
202 ovolre 25274 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
203201, 202eqtri 2758 . . . . . . 7 (volโ€˜โ„) = +โˆž
204198, 203eqtrdi 2786 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
205197, 204neeqtrrd 3013 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (volโ€˜โˆช ๐ด))
206205necon2i 2973 . . . 4 (0 = (volโ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
207195, 206syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โІ โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
208207expr 455 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
209 eqimss 4039 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โІ โ„)
210209necon3bi 2965 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โІ โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
211208, 210pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627  โˆช cuni 4907  โˆช ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   Or wor 5586   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   โ€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  โ€“ontoโ†’wfo 6540  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ‰ผ cdom 8939   โ‰บ csdm 8940  supcsup 9437  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970  vol*covol 25211  volcvol 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator