Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliunnfl 36168
Description: voliun 24934 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
voliunnfl.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
voliunnfl.3 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
voliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4877 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4897 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
5 0mbl 24919 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ dom vol
6 mblvol 24910 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
8 ovol0 24873 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtri 2761 . . . . . . 7 (volโ€˜โˆ…) = 0
104, 9eqtr2di 2790 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
1110a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
12 reldom 8892 . . . . . . . . . . 11 Rel โ‰ผ
1312brrelex1i 5689 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
14 0sdomg 9051 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1615biimparc 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
17 fodomr 9075 . . . . . . . 8 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1816, 17sylancom 589 . . . . . . 7 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
19 unissb 4901 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„)
2019anbi1i 625 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2220, 21bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
23 ovolctb2 24872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
2423ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2524imdistani 570 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2625ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2722, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2827ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
29 foima 6762 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘” โ€œ โ„•) = ๐ด)
3029raleqdv 3312 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
31 fofn 6759 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘” Fn โ„•)
32 ssid 3967 . . . . . . . . . . . 12 โ„• โŠ† โ„•
33 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„))
34 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0))
3533, 34anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3635ralima 7189 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘” Fn โ„• โˆง โ„• โŠ† โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3731, 32, 36sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3830, 37bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
39 difss 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘š)
40 ovolssnul 24867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
4139, 40mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
42 ssdifss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
43 nulmbl 24915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
44 mblvol 24910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
4544eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†” (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
4645biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
47 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„
4846, 47eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)
4948expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5049ancld 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5243, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5342, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5441, 53syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5554ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
56 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘š) = (๐‘”โ€˜๐‘›))
57 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1..^๐‘š) = (1..^๐‘›))
5857iuneq1d 4982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
5956, 58difeq12d 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
60 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
61 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V
62 difexg 5285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V
6459, 60, 63fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
6664fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
6766eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
6865, 67anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
6968ralbiia 3091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
70 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘š))
71 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (1..^๐‘›) = (1..^๐‘š))
7271iuneq1d 4982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))
7370, 72difeq12d 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
7473eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
7573fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
7675eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7774, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
7877cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7969, 78bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
8055, 79sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
81 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘™))
8281iundisj2 24929 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
83 disjeq2 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
8483, 64mprg 3067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
8582, 84mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)
86 nnex 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โˆˆ V
8786mptex 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ V
88 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
8988eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol))
9088fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9190eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
9289, 91anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9392ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9488adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9594disjeq2dv 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9693, 95anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
9788iuneq2d 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9897fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
99 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
100 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
101 seqeq3 13917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) โ†’ seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
10399, 102eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘† = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
104103rneqi 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran ๐‘† = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
105104supeq1i 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )
10690mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
107106seqeq3d 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
108107rneqd 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
109108supeq1d 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
110105, 109eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11198, 110eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ†” (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )))
11296, 111imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < )) โ†” ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))))
113 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
11487, 112, 113vtocl 3517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11564iuneq2i 4976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
116115fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
11766mpteq2ia 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
118 seqeq3 13917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))))
119117, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
120119rneqi 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
121120supeq1i 9388 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < )
122114, 116, 1213eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12380, 85, 122sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12581iundisj 24928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
126 fofun 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘”)
127 funiunfv 7196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘” โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
129125, 128eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
13029unieqd 4880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘” โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
131129, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช ๐ด)
132131fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
13456sseq1d 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„))
13556fveqeq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
136134, 135anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0)))
137136rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
138 ssdifss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
140 difss 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘›)
141 ovolssnul 24867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
142140, 141mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
143139, 142jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
144 nulmbl 24915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
145 mblvol 24910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
147146, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
148137, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
149148mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
150149seqeq3d 13920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
151150rneqd 5894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
152151supeq1d 9387 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
153 0cn 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โˆˆ โ„‚
154 ser1const 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
155153, 154mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
156 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
157156mul01d 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š ยท 0) = 0)
158155, 157eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = 0)
159158mpteq2ia 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
160 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
161 seqeq3 13917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
163 1z 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„ค
164 seqfn 13924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
165163, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
166 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
167166fneq2i 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
168 dffn5 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
169167, 168bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
170165, 169mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
171162, 170eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
172 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
173159, 171, 1723eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
174173rneqi 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
175 1nn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•
176 ne0i 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
177 rnxp 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
178175, 176, 177mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
179174, 178eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
180179supeq1i 9388 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
181 xrltso 13066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 < Or โ„*
182 0xr 11207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„*
183 supsn 9413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
184181, 182, 183mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup({0}, โ„*, < ) = 0
185180, 184eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
186152, 185eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
187186adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
188124, 133, 1873eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
189188ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19038, 189sylbid 239 . . . . . . . . 9 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19128, 190syl5 34 . . . . . . . 8 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
192191exlimiv 1934 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19318, 192syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
194193expimpd 455 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19511, 194pm2.61ine 3025 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
196 renepnf 11208 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
19747, 196mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
198 fveq2 6843 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โ„))
199 rembl 24920 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ dom vol
200 mblvol 24910 . . . . . . . . 9 (โ„ โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„))
201199, 200ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„)
202 ovolre 24905 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
203201, 202eqtri 2761 . . . . . . 7 (volโ€˜โ„) = +โˆž
204198, 203eqtrdi 2789 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
205197, 204neeqtrrd 3015 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (volโ€˜โˆช ๐ด))
206205necon2i 2975 . . . 4 (0 = (volโ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
207195, 206syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
208207expr 458 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
209 eqimss 4001 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โŠ† โ„)
210209necon3bi 2967 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
211208, 210pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3444   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587  โˆช cuni 4866  โˆช ciun 4955  Disj wdisj 5071   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   Or wor 5545   ร— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   โ€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  โ€“ontoโ†’wfo 6495  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ‰ผ cdom 8884   โ‰บ csdm 8885  supcsup 9381  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  โ„*cxr 11193   < clt 11194  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912  vol*covol 24842  volcvol 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator