Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliunnfl 36532
Description: voliun 25071 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
voliunnfl.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
voliunnfl.3 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
Assertion
Ref Expression
voliunnfl ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Distinct variable group:   ๐‘“,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘›)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4920 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆช โˆ…)
2 uni0 4940 . . . . . . . . 9 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆช ๐ด = โˆ…)
43fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โˆ…))
5 0mbl 25056 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ dom vol
6 mblvol 25047 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โˆ…) = (vol*โ€˜โˆ…)
8 ovol0 25010 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtri 2761 . . . . . . 7 (volโ€˜โˆ…) = 0
104, 9eqtr2di 2790 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
1110a1d 25 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
12 reldom 8945 . . . . . . . . . . 11 Rel โ‰ผ
1312brrelex1i 5733 . . . . . . . . . 10 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ V)
14 0sdomg 9104 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ V โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰ผ โ„• โ†’ (โˆ… โ‰บ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
1615biimparc 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ… โ‰บ ๐ด)
17 fodomr 9128 . . . . . . . 8 ((โˆ… โ‰บ ๐ด โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
1816, 17sylancom 589 . . . . . . 7 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด)
19 unissb 4944 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„)
2019anbi1i 625 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
21 r19.26 3112 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
2220, 21bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•))
23 ovolctb2 25009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)
2423ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โ†’ (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2524imdistani 570 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2625ralimi 3084 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2722, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐ด โŠ† โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
2827ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0))
29 foima 6811 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘” โ€œ โ„•) = ๐ด)
3029raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0)))
31 fofn 6808 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘” Fn โ„•)
32 ssid 4005 . . . . . . . . . . . 12 โ„• โŠ† โ„•
33 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„))
34 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0))
3533, 34anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘”โ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3635ralima 7240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘” Fn โ„• โˆง โ„• โŠ† โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3731, 32, 36sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘” โ€œ โ„•)(๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
3830, 37bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)))
39 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘š)
40 ovolssnul 25004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
4139, 40mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
42 ssdifss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
43 nulmbl 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
44 mblvol 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
4544eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†” (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
4645biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
47 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 โˆˆ โ„
4846, 47eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)
4948expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5049ancld 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0 โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
5243, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5342, 52sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5441, 53syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
5554ralimi 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
56 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘š) = (๐‘”โ€˜๐‘›))
57 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1..^๐‘š) = (1..^๐‘›))
5857iuneq1d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
5956, 58difeq12d 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
60 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
61 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V
62 difexg 5328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆˆ V โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ V
6459, 60, 63fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
6664fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
6766eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
6865, 67anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
6968ralbiia 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
70 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘š))
71 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (1..^๐‘›) = (1..^๐‘š))
7271iuneq1d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = ๐‘š โ†’ โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™) = โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))
7370, 72difeq12d 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
7473eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol))
7573fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
7675eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7774, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„)))
7877cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
7969, 78bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ โ„))
8055, 79sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
81 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = ๐‘™ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘™))
8281iundisj2 25066 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
83 disjeq2 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
8483, 64mprg 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
8582, 84mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)
86 nnex 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• โˆˆ V
8786mptex 7225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆˆ V
88 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
8988eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โ†” ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol))
9088fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9190eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†” (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„))
9289, 91anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9392ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„)))
9488adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9594disjeq2dv 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) โ†” Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
9693, 95anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
9788iuneq2d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))
9897fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))
99 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘† = seq1( + , ๐บ)
100 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
101 seqeq3 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) โ†’ seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 seq1( + , ๐บ) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
10399, 102eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘† = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
104103rneqi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran ๐‘† = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))
105104supeq1i 9442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )
10690mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))))
107106seqeq3d 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
108107rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))))
109108supeq1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
110105, 109eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11198, 110eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ ((volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ) โ†” (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < )))
11296, 111imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™))) โ†’ (((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < )) โ†” ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))))
113 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘“โ€˜๐‘›)) = sup(ran ๐‘†, โ„*, < ))
11487, 112, 113vtocl 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ))
11564iuneq2i 5019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
116115fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) = (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))
11766mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
118 seqeq3 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))))
119117, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
120119rneqi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))))
121120supeq1i 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < )
122114, 116, 1213eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›) โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„) โˆง Disj ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘š)(๐‘”โ€˜๐‘™)))โ€˜๐‘›)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12380, 85, 122sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ))
12581iundisj 25065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))
126 fofun 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ Fun ๐‘”)
127 funiunfv 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun ๐‘” โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
129125, 128eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช (๐‘” โ€œ โ„•))
13029unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช (๐‘” โ€œ โ„•) = โˆช ๐ด)
131129, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) = โˆช ๐ด)
132131fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ (volโ€˜โˆช ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (volโ€˜โˆช ๐ด))
13456sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โ†” (๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„))
13556fveqeq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0 โ†” (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
136134, 135anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†” ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0)))
137136rspccva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0))
138 ssdifss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„)
140 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘›)
141 ovolssnul 25004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† (๐‘”โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
142140, 141mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
143139, 142jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0))
144 nulmbl 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol)
145 mblvol 25047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)) โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = (vol*โ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))
147146, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘”โ€˜๐‘›) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)) = 0) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
148137, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))) = 0)
149148mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
150149seqeq3d 13974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
151150rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))) = ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
152151supeq1d 9441 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ))
153 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โˆˆ โ„‚
154 ser1const 14024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
155153, 154mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = (๐‘š ยท 0))
156 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
157156mul01d 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š ยท 0) = 0)
158155, 157eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š) = 0)
159158mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
160 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
161 seqeq3 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((โ„• ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0))
163 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„ค
164 seqfn 13978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
165163, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
166 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
167166fneq2i 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
168 dffn5 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn โ„• โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
169167, 168bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (seq1( + , (โ„• ร— {0})) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š)))
170165, 169mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq1( + , (โ„• ร— {0})) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
171162, 170eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( + , (โ„• ร— {0}))โ€˜๐‘š))
172 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
173159, 171, 1723eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = (โ„• ร— {0})
174173rneqi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = ran (โ„• ร— {0})
175 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„•
176 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰  โˆ…)
177 rnxp 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„• โ‰  โˆ… โ†’ ran (โ„• ร— {0}) = {0})
178175, 176, 177mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (โ„• ร— {0}) = {0}
179174, 178eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)) = {0}
180179supeq1i 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = sup({0}, โ„*, < )
181 xrltso 13120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 < Or โ„*
182 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„*
183 supsn 9467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( < Or โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ sup({0}, โ„*, < ) = 0)
184181, 182, 183mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup({0}, โ„*, < ) = 0
185180, 184eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)), โ„*, < ) = 0
186152, 185eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
187186adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ sup(ran seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (volโ€˜((๐‘”โ€˜๐‘›) โˆ– โˆช ๐‘™ โˆˆ (1..^๐‘›)(๐‘”โ€˜๐‘™))))), โ„*, < ) = 0)
188124, 133, 1873eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
189188ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘”โ€˜๐‘š) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘š)) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19038, 189sylbid 239 . . . . . . . . 9 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐‘ฅ) = 0) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19128, 190syl5 34 . . . . . . . 8 (๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
192191exlimiv 1934 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘” ๐‘”:โ„•โ€“ontoโ†’๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19318, 192syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ด โ‰ผ โ„•) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
194193expimpd 455 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด)))
19511, 194pm2.61ine 3026 . . . 4 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ 0 = (volโ€˜โˆช ๐ด))
196 renepnf 11262 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
19747, 196mp1i 13 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
198 fveq2 6892 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = (volโ€˜โ„))
199 rembl 25057 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ dom vol
200 mblvol 25047 . . . . . . . . 9 (โ„ โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„))
201199, 200ax-mp 5 . . . . . . . 8 (volโ€˜โ„) = (vol*โ€˜โ„)
202 ovolre 25042 . . . . . . . 8 (vol*โ€˜โ„) = +โˆž
203201, 202eqtri 2761 . . . . . . 7 (volโ€˜โ„) = +โˆž
204198, 203eqtrdi 2789 . . . . . 6 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ (volโ€˜โˆช ๐ด) = +โˆž)
205197, 204neeqtrrd 3016 . . . . 5 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ 0 โ‰  (volโ€˜โˆช ๐ด))
206205necon2i 2976 . . . 4 (0 = (volโ€˜โˆช ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
207195, 206syl 17 . . 3 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„• โˆง โˆช ๐ด โŠ† โ„)) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
208207expr 458 . 2 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ (โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„))
209 eqimss 4041 . . 3 (โˆช ๐ด = โ„ โ†’ โˆช ๐ด โŠ† โ„)
210209necon3bi 2968 . 2 (ยฌ โˆช ๐ด โŠ† โ„ โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
211208, 210pm2.61d1 180 1 ((๐ด โ‰ผ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ผ โ„•) โ†’ โˆช ๐ด โ‰  โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629  โˆช cuni 4909  โˆช ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   Or wor 5588   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   โ€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  โ€“ontoโ†’wfo 6542  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ‰ผ cdom 8937   โ‰บ csdm 8938  supcsup 9435  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ..^cfzo 13627  seqcseq 13966  vol*covol 24979  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator