Theorem sge00 46562

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	⊢ (Σ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5250	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
3		f0 6713	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5		noel 4288	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7		rn0 5873	. . . . . . . 8 ⊢ ran ∅ = ∅
8	7	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ran ∅
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ∅ = ran ∅)
10	6, 9	neleqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
11	4, 10	fge0iccico 46556	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
12	2, 11	sge0reval 46558	. . 3 ⊢ (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
13	12	mptru 1548	. 2 ⊢ (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14		vex 3442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
16	15	elrnmpt 5905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
19		nfcv 2896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
20		nfmpt1 5195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
21	20	nfrn 5899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
22	19, 21	nfel 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
23		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 0
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
25		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26		pw0 4766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
27	26	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
28	27	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30		elsni 4595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
32	31	sumeq1d 15621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34		sum0 15642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
39	22, 23, 38	rexlimd 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41		velsn 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
42	41	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
43	42	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
44	40, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45		elsni 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46		0elpw 5299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∅
47		0fi 8977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
48	46, 47	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49		elin 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
50	48, 49	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
51	34	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52		sumeq1 15610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
53	52	rspceeqv 3597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
54	50, 51, 53	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)
55		0re 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
56	15	elrnmpt 5905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
58	54, 57	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
60	45, 59	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
61	44, 60	impbii 209	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
62	61	ax-gen 1796	. . . . 5 ⊢ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63		dfcleq 2727	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
64	62, 63	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
65	64	supeq1i 9348	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66		xrltso 13053	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
67		0xr 11177	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		supsn 9374	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
69	66, 67, 68	mp2an 692	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
70	65, 69	eqtri 2757	. 2 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
71	13, 70	eqtri 2757	1 ⊢ (Σ^‘∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   Or wor 5529  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  supcsup 9341  ℝcr 11023  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164  [,]cicc 13262  Σcsu 15607  Σ^{^}csumge0 46548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-sumge0 46549

This theorem is referenced by:  sge0cl  46567  sge0isum  46613  ismeannd  46653  psmeasure  46657  isomennd  46717