Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge00 46332
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00 ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
3 f0 6790 . . . . . 6 ∅:∅⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5 noel 4344 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ∅
65a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7 rn0 5939 . . . . . . . 8 ran ∅ = ∅
87eqcomi 2744 . . . . . . 7 ∅ = ran ∅
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ∅ = ran ∅)
106, 9neleqtrd 2861 . . . . 5 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
114, 10fge0iccico 46326 . . . 4 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
122, 11sge0reval 46328 . . 3 (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
1312mptru 1544 . 2 ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1615elrnmpt 5972 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1817biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
19 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
20 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2120nfrn 5966 . . . . . . . . . . 11 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2219, 21nfel 2918 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
23 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 = 0
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
25 elinel1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26 pw0 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝒫 ∅ = {∅}
2726eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
2827biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
3231sumeq1d 15733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34 sum0 15754 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
3624, 33, 353eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
3736ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
3922, 23, 38rexlimd 3264 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41 velsn 4647 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
4241bicomi 224 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
4342biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
4440, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45 elsni 4648 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46 0elpw 5362 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 ∅
47 0fi 9081 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
4846, 47pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49 elin 3979 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
5048, 49mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
5134eqcomi 2744 . . . . . . . . . . 11 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52 sumeq1 15722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
5352rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5450, 51, 53mp2an 692 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)
55 0re 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5615elrnmpt 5972 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5854, 57mpbir 231 . . . . . . . . 9 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6045, 59eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6144, 60impbii 209 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
6261ax-gen 1792 . . . . 5 𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63 dfcleq 2728 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
6462, 63mpbir 231 . . . 4 ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
6564supeq1i 9485 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66 xrltso 13180 . . . 4 < Or ℝ*
67 0xr 11306 . . . 4 0 ∈ ℝ*
68 supsn 9510 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
6966, 67, 68mp2an 692 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
7065, 69eqtri 2763 . 2 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
7113, 70eqtri 2763 1 ^‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  cmpt 5231   Or wor 5596  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  [,]cicc 13387  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0cl  46337  sge0isum  46383  ismeannd  46423  psmeasure  46427  isomennd  46487
  Copyright terms: Public domain W3C validator