Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge00 44607
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00 ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5264 . . . . 5 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
3 f0 6723 . . . . . 6 ∅:∅⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5 noel 4290 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ∅
65a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7 rn0 5881 . . . . . . . 8 ran ∅ = ∅
87eqcomi 2745 . . . . . . 7 ∅ = ran ∅
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ∅ = ran ∅)
106, 9neleqtrd 2859 . . . . 5 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
114, 10fge0iccico 44601 . . . 4 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
122, 11sge0reval 44603 . . 3 (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
1312mptru 1548 . 2 ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1615elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1817biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
19 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
20 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2120nfrn 5907 . . . . . . . . . . 11 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2219, 21nfel 2921 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
23 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 = 0
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
25 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26 pw0 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝒫 ∅ = {∅}
2726eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
2827biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
3231sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34 sum0 15606 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
3624, 33, 353eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
3736ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
3922, 23, 38rexlimd 3249 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41 velsn 4602 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
4241bicomi 223 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
4342biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
4440, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45 elsni 4603 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46 0elpw 5311 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 ∅
47 0fin 9115 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
4846, 47pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49 elin 3926 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
5134eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52 sumeq1 15573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
5352rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5450, 51, 53mp2an 690 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)
55 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5615elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5854, 57mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6045, 59eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6144, 60impbii 208 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
6261ax-gen 1797 . . . . 5 𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63 dfcleq 2729 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
6462, 63mpbir 230 . . . 4 ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
6564supeq1i 9383 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66 xrltso 13060 . . . 4 < Or ℝ*
67 0xr 11202 . . . 4 0 ∈ ℝ*
68 supsn 9408 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
6966, 67, 68mp2an 690 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
7065, 69eqtri 2764 . 2 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
7113, 70eqtri 2764 1 ^‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188   Or wor 5544  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0cl  44612  sge0isum  44658  ismeannd  44698  psmeasure  44702  isomennd  44762
  Copyright terms: Public domain W3C validator