Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge00 44703
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00 ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5265 . . . . 5 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
3 f0 6724 . . . . . 6 ∅:∅⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5 noel 4291 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ∅
65a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7 rn0 5882 . . . . . . . 8 ran ∅ = ∅
87eqcomi 2742 . . . . . . 7 ∅ = ran ∅
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ∅ = ran ∅)
106, 9neleqtrd 2856 . . . . 5 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
114, 10fge0iccico 44697 . . . 4 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
122, 11sge0reval 44699 . . 3 (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
1312mptru 1549 . 2 ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14 vex 3448 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1615elrnmpt 5912 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1817biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
19 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
20 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2120nfrn 5908 . . . . . . . . . . 11 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2219, 21nfel 2918 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
23 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 = 0
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
25 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26 pw0 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝒫 ∅ = {∅}
2726eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
2827biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
3231sumeq1d 15591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34 sum0 15611 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
3624, 33, 353eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
3736ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
3922, 23, 38rexlimd 3248 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41 velsn 4603 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
4241bicomi 223 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
4342biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
4440, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45 elsni 4604 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46 0elpw 5312 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 ∅
47 0fin 9118 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
4846, 47pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49 elin 3927 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
5134eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52 sumeq1 15579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
5352rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5450, 51, 53mp2an 691 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)
55 0re 11162 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5615elrnmpt 5912 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5854, 57mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6045, 59eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6144, 60impbii 208 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
6261ax-gen 1798 . . . . 5 𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63 dfcleq 2726 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
6462, 63mpbir 230 . . . 4 ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
6564supeq1i 9388 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66 xrltso 13066 . . . 4 < Or ℝ*
67 0xr 11207 . . . 4 0 ∈ ℝ*
68 supsn 9413 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
6966, 67, 68mp2an 691 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
7065, 69eqtri 2761 . 2 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
7113, 70eqtri 2761 1 ^‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3444  cin 3910  c0 4283  𝒫 cpw 4561  {csn 4587  cmpt 5189   Or wor 5545  ran crn 5635  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  [,]cicc 13273  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0cl  44708  sge0isum  44754  ismeannd  44794  psmeasure  44798  isomennd  44858
  Copyright terms: Public domain W3C validator