Theorem sge00 45092

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	⊢ (Σ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5308	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
3		f0 6773	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5		noel 4331	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7		rn0 5926	. . . . . . . 8 ⊢ ran ∅ = ∅
8	7	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ran ∅
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ∅ = ran ∅)
10	6, 9	neleqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
11	4, 10	fge0iccico 45086	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
12	2, 11	sge0reval 45088	. . 3 ⊢ (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
13	12	mptru 1549	. 2 ⊢ (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14		vex 3479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
16	15	elrnmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
18	17	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
19		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
20		nfmpt1 5257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
21	20	nfrn 5952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
22	19, 21	nfel 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
23		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 0
24		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
25		elinel1 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26		pw0 4816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
27	26	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
28	27	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30		elsni 4646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
32	31	sumeq1d 15647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
33	32	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34		sum0 15667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
37	36	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
39	22, 23, 38	rexlimd 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41		velsn 4645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
42	41	bicomi 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
43	42	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
44	40, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45		elsni 4646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46		0elpw 5355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∅
47		0fin 9171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
48	46, 47	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49		elin 3965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
50	48, 49	mpbir 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
51	34	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52		sumeq1 15635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
53	52	rspceeqv 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
54	50, 51, 53	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)
55		0re 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
56	15	elrnmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
58	54, 57	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
60	45, 59	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
61	44, 60	impbii 208	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
62	61	ax-gen 1798	. . . . 5 ⊢ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63		dfcleq 2726	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
64	62, 63	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
65	64	supeq1i 9442	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66		xrltso 13120	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
67		0xr 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		supsn 9467	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
69	66, 67, 68	mp2an 691	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
70	65, 69	eqtri 2761	. 2 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
71	13, 70	eqtri 2761	1 ⊢ (Σ^‘∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  ran crn 5678  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  [,]cicc 13327  Σcsu 15632  Σ^{^}csumge0 45078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079

This theorem is referenced by:  sge0cl  45097  sge0isum  45143  ismeannd  45183  psmeasure  45187  isomennd  45247