Theorem sge00 47019

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	⊢ (Σ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5274	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
3		f0 6762	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5		noel 4299	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7		rn0 5919	. . . . . . . 8 ⊢ ran ∅ = ∅
8	7	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ran ∅
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ∅ = ran ∅)
10	6, 9	neleqtrd 2891	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
11	4, 10	fge0iccico 47013	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
12	2, 11	sge0reval 47015	. . 3 ⊢ (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
13	12	mptru 1574	. 2 ⊢ (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14		vex 3467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
16	15	elrnmpt 5951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
18	17	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
19		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
20		nfmpt1 5214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
21	20	nfrn 5945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
22	19, 21	nfel 2945	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
23		nfv 1941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 0
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
25		elinel1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26		pw0 4782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
27	26	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
28	27	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
29	25, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30		elsni 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
32	31	sumeq1d 15753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34		sum0 15774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
37	36	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
39	22, 23, 38	rexlimd 3278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
40	18, 39	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41		velsn 4610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
42	41	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
43	42	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
44	40, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45		elsni 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46		0elpw 5329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∅
47		0fi 9041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
48	46, 47	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49		elin 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
50	48, 49	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
51	34	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52		sumeq1 15742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
53	52	rspceeqv 3613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
54	50, 51, 53	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)
55		0re 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
56	15	elrnmpt 5951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
58	54, 57	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
60	45, 59	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
61	44, 60	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
62	61	ax-gen 1822	. . . . 5 ⊢ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63		dfcleq 2762	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
64	62, 63	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
65	64	supeq1i 9409	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66		xrltso 13168	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
67		0xr 11258	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		supsn 9435	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
69	66, 67, 68	mp2an 704	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
70	65, 69	eqtri 2792	. 2 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
71	13, 70	eqtri 2792	1 ⊢ (Σ^‘∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   ↦ cmpt 5196   Or wor 5571  ran crn 5665  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Fincfn 8945  supcsup 9402  ℝcr 11101  0cc0 11102  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  [,]cicc 13377  Σcsu 15739  Σ^{^}csumge0 47005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-sumge0 47006

This theorem is referenced by:  sge0cl  47024  sge0isum  47070  ismeannd  47110  psmeasure  47114  isomennd  47174