Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge00 45078
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00 ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
3 f0 6769 . . . . . 6 ∅:∅⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5 noel 4329 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ∅
65a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7 rn0 5923 . . . . . . . 8 ran ∅ = ∅
87eqcomi 2741 . . . . . . 7 ∅ = ran ∅
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ∅ = ran ∅)
106, 9neleqtrd 2855 . . . . 5 (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
114, 10fge0iccico 45072 . . . 4 (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
122, 11sge0reval 45074 . . 3 (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
1312mptru 1548 . 2 ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1615elrnmpt 5953 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
1817biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
19 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
20 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2120nfrn 5949 . . . . . . . . . . 11 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
2219, 21nfel 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
23 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑧 = 0
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
25 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26 pw0 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝒫 ∅ = {∅}
2726eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
2827biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
3231sumeq1d 15643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34 sum0 15663 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
3624, 33, 353eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
3736ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
3922, 23, 38rexlimd 3263 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41 velsn 4643 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
4241bicomi 223 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
4342biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
4440, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45 elsni 4644 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46 0elpw 5353 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 𝒫 ∅
47 0fin 9167 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
4846, 47pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49 elin 3963 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
5134eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52 sumeq1 15631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
5352rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5450, 51, 53mp2an 690 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)
55 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5615elrnmpt 5953 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5854, 57mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦))
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6045, 59eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)))
6144, 60impbii 208 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
6261ax-gen 1797 . . . . 5 𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63 dfcleq 2725 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
6462, 63mpbir 230 . . . 4 ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
6564supeq1i 9438 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66 xrltso 13116 . . . 4 < Or ℝ*
67 0xr 11257 . . . 4 0 ∈ ℝ*
68 supsn 9463 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
6966, 67, 68mp2an 690 . . 3 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
7065, 69eqtri 2760 . 2 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
7113, 70eqtri 2760 1 ^‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wrex 3070  Vcvv 3474  cin 3946  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  cmpt 5230   Or wor 5586  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  supcsup 9431  cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  [,]cicc 13323  Σcsu 15628  Σ^csumge0 45064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45065
This theorem is referenced by:  sge0cl  45083  sge0isum  45129  ismeannd  45169  psmeasure  45173  isomennd  45233
  Copyright terms: Public domain W3C validator