Theorem sge00 43382

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	⊢ (Σ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5178	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
3		f0 6546	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5		noel 4231	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7		rn0 5768	. . . . . . . 8 ⊢ ran ∅ = ∅
8	7	eqcomi 2768	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ran ∅
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ∅ = ran ∅)
10	6, 9	neleqtrd 2874	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
11	4, 10	fge0iccico 43376	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
12	2, 11	sge0reval 43378	. . 3 ⊢ (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
13	12	mptru 1546	. 2 ⊢ (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14		vex 3414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		eqid 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
16	15	elrnmpt 5798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
18	17	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
19		nfcv 2920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
20		nfmpt1 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
21	20	nfrn 5794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
22	19, 21	nfel 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
23		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 0
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
25		elinel1 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26		pw0 4703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
27	26	eleq2i 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
28	27	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30		elsni 4540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
32	31	sumeq1d 15107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34		sum0 15127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
37	36	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
39	22, 23, 38	rexlimd 3242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41		velsn 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
42	41	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
43	42	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
44	40, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45		elsni 4540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46		0elpw 5225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∅
47		0fin 8741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
48	46, 47	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49		elin 3875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
50	48, 49	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
51	34	eqcomi 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52		sumeq1 15094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
53	52	rspceeqv 3557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
54	50, 51, 53	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)
55		0re 10682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
56	15	elrnmpt 5798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
58	54, 57	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
60	45, 59	eqeltrd 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
61	44, 60	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
62	61	ax-gen 1798	. . . . 5 ⊢ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63		dfcleq 2752	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
64	62, 63	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
65	64	supeq1i 8945	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66		xrltso 12576	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
67		0xr 10727	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		supsn 8970	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
69	66, 67, 68	mp2an 692	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
70	65, 69	eqtri 2782	. 2 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
71	13, 70	eqtri 2782	1 ⊢ (Σ^‘∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1537   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ∩ cin 3858  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4495  {csn 4523   ↦ cmpt 5113   Or wor 5443  ran crn 5526  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  supcsup 8938  ℝcr 10575  0cc0 10576  +∞cpnf 10711  ℝ^*cxr 10713   < clt 10714  [,]cicc 12783  Σcsu 15091  Σ^{^}csumge0 43368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-clim 14894  df-sum 15092  df-sumge0 43369

This theorem is referenced by:  sge0cl  43387  sge0isum  43433  ismeannd  43473  psmeasure  43477  isomennd  43537