Theorem sge00 46381

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	⊢ (Σ^‘∅) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
3		f0 6744	. . . . . 6 ⊢ ∅:∅⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,]+∞))
5		noel 4304	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ∅)
7		rn0 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ran ∅ = ∅
8	7	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ran ∅
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ∅ = ran ∅)
10	6, 9	neleqtrd 2851	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ¬ +∞ ∈ ran ∅)
11	4, 10	fge0iccico 46375	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅:∅⟶(0[,)+∞))
12	2, 11	sge0reval 46377	. . 3 ⊢ (⊤ → (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ))
13	12	mptru 1547	. 2 ⊢ (Σ^‘∅) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < )
14		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
16	15	elrnmpt 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
19		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
20		nfmpt1 5209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
21	20	nfrn 5919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
22	19, 21	nfel 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
23		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 0
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
25		elinel1 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∅)
26		pw0 4779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
27	26	eleq2i 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
28	27	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ∅ → 𝑥 ∈ {∅})
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 ∈ {∅})
30		elsni 4609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑥 = ∅)
32	31	sumeq1d 15673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
34		sum0 15694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦) = 0)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0)))
39	22, 23, 38	rexlimd 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)𝑧 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) → 𝑧 = 0))
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 = 0)
41		velsn 4608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {0} ↔ 𝑧 = 0)
42	41	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 ↔ 𝑧 ∈ {0})
43	42	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → 𝑧 ∈ {0})
44	40, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) → 𝑧 ∈ {0})
45		elsni 4609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
46		0elpw 5314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ∅
47		0fi 9016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
48	46, 47	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin)
49		elin 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ (∅ ∈ 𝒫 ∅ ∧ ∅ ∈ Fin))
50	48, 49	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)
51	34	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)
52		sumeq1 15662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦))
53	52	rspceeqv 3614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (∅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
54	50, 51, 53	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)
55		0re 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
56	15	elrnmpt 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
58	54, 57	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦))
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
60	45, 59	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)))
61	44, 60	impbii 209	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
62	61	ax-gen 1795	. . . . 5 ⊢ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0})
63		dfcleq 2723	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ {0}))
64	62, 63	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)) = {0}
65	64	supeq1i 9405	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
66		xrltso 13108	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
67		0xr 11228	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
68		supsn 9431	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
69	66, 67, 68	mp2an 692	. . 3 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
70	65, 69	eqtri 2753	. 2 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (∅‘𝑦)), ℝ*, < ) = 0
71	13, 70	eqtri 2753	1 ⊢ (Σ^‘∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   Or wor 5548  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  [,]cicc 13316  Σcsu 15659  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  sge0cl  46386  sge0isum  46432  ismeannd  46472  psmeasure  46476  isomennd  46536