Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumnul 33575
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1798 . . . 4 𝑥
2 nfcv 2897 . . . 4 𝑥
3 0ex 5300 . . . . 5 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
5 ral0 4507 . . . . . 6 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
76r19.21bi 3242 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8 pw0 4810 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ∅ = {∅}
98ineq1i 4203 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = ({∅} ∩ Fin)
10 0fin 9170 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
11 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ Fin → {∅} ⊆ Fin)
12 df-ss 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ({∅} ⊆ Fin ↔ ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∩ Fin) = {∅}
159, 14eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = {∅}
1615eleq2i 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ 𝑦 ∈ {∅})
17 velsn 4639 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {∅} ↔ 𝑦 = ∅)
1816, 17sylbb 218 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑦 = ∅)
1918mpteq1d 5236 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
20 mpt0 6685 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
2119, 20eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = ∅)
2221oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
23 xrge00 32687 . . . . . . 7 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2423gsum0 18614 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
2522, 24eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
2625adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
271, 2, 4, 7, 26esumval 33573 . . 3 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
2827mptru 1540 . 2 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < )
29 fconstmpt 5731 . . . . 5 ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3029eqcomi 2735 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0})
31 0xr 11262 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3231rgenw 3059 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3433fnmpt 6683 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin))
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin)
363snnz 4775 . . . . . 6 {∅} ≠ ∅
3715, 36eqnetri 3005 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅
38 fconst5 7202 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
3935, 37, 38mp2an 689 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
4030, 39mpbi 229 . . 3 ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
4140supeq1i 9441 . 2 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
42 xrltso 13123 . . 3 < Or ℝ*
43 supsn 9466 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4442, 31, 43mp2an 689 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4528, 41, 443eqtri 2758 1 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  Vcvv 3468  cin 3942  wss 3943  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  cmpt 5224   Or wor 5580   × cxp 5667  ran crn 5670   Fn wfn 6531  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  supcsup 9434  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  *cxr 11248   < clt 11249  [,]cicc 13330  s cress 17179   Σg cgsu 17392  *𝑠cxrs 17452  Σ*cesum 33554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-ntr 22874  df-nei 22952  df-cn 23081  df-haus 23169  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-tsms 23981  df-esum 33555
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  33595  esum2dlem  33619  ddemeas  33763  carsgclctunlem1  33845
  Copyright terms: Public domain W3C validator