Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumnul 33798
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1798 . . . 4 𝑥
2 nfcv 2891 . . . 4 𝑥
3 0ex 5308 . . . . 5 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
5 ral0 4514 . . . . . 6 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
76r19.21bi 3238 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8 pw0 4817 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ∅ = {∅}
98ineq1i 4206 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = ({∅} ∩ Fin)
10 0fin 9196 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
11 snssi 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ Fin → {∅} ⊆ Fin)
12 dfss2 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ({∅} ⊆ Fin ↔ ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∩ Fin) = {∅}
159, 14eqtri 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = {∅}
1615eleq2i 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ 𝑦 ∈ {∅})
17 velsn 4646 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {∅} ↔ 𝑦 = ∅)
1816, 17sylbb 218 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑦 = ∅)
1918mpteq1d 5244 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
20 mpt0 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
2119, 20eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = ∅)
2221oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
23 xrge00 32831 . . . . . . 7 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2423gsum0 18647 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
2522, 24eqtrdi 2781 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
2625adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
271, 2, 4, 7, 26esumval 33796 . . 3 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
2827mptru 1540 . 2 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < )
29 fconstmpt 5740 . . . . 5 ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3029eqcomi 2734 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0})
31 0xr 11293 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3231rgenw 3054 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
33 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3433fnmpt 6696 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin))
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin)
363snnz 4782 . . . . . 6 {∅} ≠ ∅
3715, 36eqnetri 3000 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅
38 fconst5 7218 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
3935, 37, 38mp2an 690 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
4030, 39mpbi 229 . . 3 ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
4140supeq1i 9472 . 2 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
42 xrltso 13155 . . 3 < Or ℝ*
43 supsn 9497 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4442, 31, 43mp2an 690 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4528, 41, 443eqtri 2757 1 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  cmpt 5232   Or wor 5589   × cxp 5676  ran crn 5679   Fn wfn 6544  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  [,]cicc 13362  s cress 17212   Σg cgsu 17425  *𝑠cxrs 17485  Σ*cesum 33777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-xadd 13128  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-xrs 17487  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-cn 23175  df-haus 23263  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075  df-esum 33778
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  33818  esum2dlem  33842  ddemeas  33986  carsgclctunlem1  34068
  Copyright terms: Public domain W3C validator