Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumnul 30560
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1899 . . . 4 𝑥
2 nfcv 2907 . . . 4 𝑥
3 0ex 4952 . . . . 5 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
5 ral0 4237 . . . . . 6 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
76r19.21bi 3079 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8 pw0 4499 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ∅ = {∅}
98ineq1i 3974 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = ({∅} ∩ Fin)
10 0fin 8397 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
11 snssi 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ Fin → {∅} ⊆ Fin)
12 df-ss 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 ({∅} ⊆ Fin ↔ ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1311, 12sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ Fin → ({∅} ∩ Fin) = {∅})
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∩ Fin) = {∅}
159, 14eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ∅ ∩ Fin) = {∅}
1615eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↔ 𝑦 ∈ {∅})
17 velsn 4352 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {∅} ↔ 𝑦 = ∅)
1816, 17sylbb 210 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → 𝑦 = ∅)
1918mpteq1d 4899 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴))
20 mpt0 6201 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
2119, 20syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → (𝑥𝑦𝐴) = ∅)
2221oveq2d 6860 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
23 xrge00 30136 . . . . . . 7 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2423gsum0 17547 . . . . . 6 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
2522, 24syl6eq 2815 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
2625adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑥𝑦𝐴)) = 0)
271, 2, 4, 7, 26esumval 30558 . . 3 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ))
2827mptru 1660 . 2 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < )
29 fconstmpt 5335 . . . . 5 ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3029eqcomi 2774 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0})
31 0xr 10342 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3231rgenw 3071 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ*
33 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0)
3433fnmpt 6200 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin)0 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin))
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin)
363snnz 4465 . . . . . 6 {∅} ≠ ∅
3715, 36eqnetri 3007 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅
38 fconst5 6666 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) Fn (𝒫 ∅ ∩ Fin) ∧ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}))
3935, 37, 38mp2an 683 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = ((𝒫 ∅ ∩ Fin) × {0}) ↔ ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
4030, 39mpbi 221 . . 3 ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0) = {0}
4140supeq1i 8562 . 2 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 ∅ ∩ Fin) ↦ 0), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
42 xrltso 12177 . . 3 < Or ℝ*
43 supsn 8587 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4442, 31, 43mp2an 683 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
4528, 41, 443eqtri 2791 1 Σ*𝑥 ∈ ∅𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cin 3733  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317  {csn 4336  cmpt 4890   Or wor 5199   × cxp 5277  ran crn 5280   Fn wfn 6065  (class class class)co 6844  Fincfn 8162  supcsup 8555  0cc0 10191  +∞cpnf 10327  *cxr 10329   < clt 10330  [,]cicc 12383  s cress 16134   Σg cgsu 16370  *𝑠cxrs 16429  Σ*cesum 30539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-xadd 12150  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-hash 13325  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-ordt 16430  df-xrs 16431  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-ps 17469  df-tsr 17470  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-ntr 21107  df-nei 21185  df-cn 21314  df-haus 21402  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-tsms 22212  df-esum 30540
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  30580  esum2dlem  30604  ddemeas  30749  carsgclctunlem1  30829
  Copyright terms: Public domain W3C validator