MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramz 16954
Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0)
Proof of Theorem ramz
Dummy variables 𝑐 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12470 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
2 n0 4345 . . . . . 6 (𝑅 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ 𝑅)
3 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 0nn0 12483 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„•0
65fconst6 6778 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Γ— {0}):π‘…βŸΆβ„•0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑅 Γ— {0}):π‘…βŸΆβ„•0)
8 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
9 fvconst2g 7199 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑅 Γ— {0})β€˜π‘) = 0)
105, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑅 Γ— {0})β€˜π‘) = 0)
11 ramz2 16953 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Γ— {0}):π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 Γ— {0})β€˜π‘) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0)
123, 4, 7, 8, 10, 11syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0)
1312ex 413 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑐 ∈ 𝑅 β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
1413exlimdv 1936 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑐 ∈ 𝑅 β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
152, 14biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 β‰  βˆ… β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
1615expimpd 454 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
17 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
18 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
196a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 Γ— {0}):π‘…βŸΆβ„•0)
20 0z 12565 . . . . . . . 8 0 ∈ β„€
21 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {0} β†’ 𝑦 = 0)
22 0le0 12309 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 0
2321, 22eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {0} β†’ 𝑦 ≀ 0)
2423rgen 3063 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘¦ ∈ {0}𝑦 ≀ 0
25 rnxp 6166 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β‰  βˆ… β†’ ran (𝑅 Γ— {0}) = {0})
2625adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑅 Γ— {0}) = {0})
2726raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {0}𝑦 ≀ 0))
2824, 27mpbiri 257 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ 0)
29 brralrspcev 5207 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ π‘₯)
3020, 28, 29sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ π‘₯)
31 0ram 16949 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ (𝑅 Γ— {0}):π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑅 Γ— {0})𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = sup(ran (𝑅 Γ— {0}), ℝ, < ))
3217, 18, 19, 30, 31syl31anc 1373 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (0 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = sup(ran (𝑅 Γ— {0}), ℝ, < ))
3326supeq1d 9437 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ sup(ran (𝑅 Γ— {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34 ltso 11290 . . . . . . . 8 < Or ℝ
35 0re 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 supsn 9463 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3734, 35, 36mp2an 690 . . . . . . 7 sup({0}, ℝ, < ) = 0
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3932, 33, 383eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (0 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0)
40 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = (0 Ramsey (𝑅 Γ— {0})))
4140eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
4239, 41imbitrrid 245 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
4316, 42jaoi 855 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
441, 43sylbi 216 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0))
45443impib 1116 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 Ramsey (𝑅 Γ— {0})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554   Ramsey cram 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-ram 16930
This theorem is referenced by:  ramcl  16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator