Theorem ramz 17072

Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12555	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		n0 4376	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅)
3		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		0nn0 12568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	fconst6 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑐 ∈ 𝑅)
9		fvconst2g 7239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
10	5, 8, 9	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11		ramz2 17071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
12	3, 4, 7, 8, 10, 11	syl32anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
14	13	exlimdv 1932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
15	2, 14	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
16	15	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
19	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20		0z 12650	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		elsni 4665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22		0le0 12394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
23	21, 22	eqbrtrdi 5205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
24	23	rgen 3069	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25		rnxp 6201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
27	26	raleqdv 3334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
28	24, 27	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29		brralrspcev 5226	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
30	20, 28, 29	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
31		0ram 17067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
32	17, 18, 19, 30, 31	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
33	26	supeq1d 9515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34		ltso 11370	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
35		0re 11292	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		supsn 9541	. . . . . . . 8 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
37	34, 35, 36	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	32, 33, 38	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
41	40	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
42	39, 41	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
43	16, 42	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
44	1, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45	44	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   Or wor 5606   × cxp 5698  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   Ramsey cram 17046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-ram 17048

This theorem is referenced by:  ramcl  17076