Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz 16429
 Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11949 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 n0 4247 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑅)
3 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑅𝑉)
5 0nn0 11962 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
65fconst6 6559 . . . . . . . . . 10 (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑐𝑅)
9 fvconst2g 6961 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
105, 8, 9sylancr 590 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11 ramz2 16428 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
123, 4, 7, 8, 10, 11syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
1312ex 416 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1413exlimdv 1934 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (∃𝑐 𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
152, 14syl5bi 245 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1615expimpd 457 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅𝑉)
18 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
196a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20 0z 12044 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 elsni 4542 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22 0le0 11788 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2321, 22eqbrtrdi 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
2423rgen 3080 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25 rnxp 6004 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2625adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2726raleqdv 3329 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
2824, 27mpbiri 261 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29 brralrspcev 5096 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
3020, 28, 29sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
31 0ram 16424 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3217, 18, 19, 30, 31syl31anc 1370 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3326supeq1d 8956 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34 ltso 10772 . . . . . . . 8 < Or ℝ
35 0re 10694 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 supsn 8982 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3734, 35, 36mp2an 691 . . . . . . 7 sup({0}, ℝ, < ) = 0
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3932, 33, 383eqtrd 2797 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40 oveq1 7163 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
4140eqeq1d 2760 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4239, 41syl5ibr 249 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4316, 42jaoi 854 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
441, 43sylbi 220 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45443impib 1113 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∅c0 4227  {csn 4525   class class class wbr 5036   Or wor 5446   × cxp 5526  ran crn 5529  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  supcsup 8950  ℝcr 10587  0cc0 10588   < clt 10726   ≤ cle 10727  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033   Ramsey cram 16403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-seq 13432  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-ram 16405 This theorem is referenced by:  ramcl  16433
 Copyright terms: Public domain W3C validator