Theorem ramz 17073

Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12494	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅)
3		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		0nn0 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	fconst6 6758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑐 ∈ 𝑅)
9		fvconst2g 7190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
10	5, 8, 9	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11		ramz2 17072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
12	3, 4, 7, 8, 10, 11	syl32anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
13	12	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
14	13	exlimdv 1956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
15	2, 14	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
16	15	expimpd 458	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
18		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
19	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20		0z 12590	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		elsni 4602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22		0le0 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
23	21, 22	eqbrtrdi 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
24	23	rgen 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25		rnxp 6159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
26	25	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
27	26	raleqdv 3323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
28	24, 27	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29		brralrspcev 5164	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
30	20, 28, 29	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
31		0ram 17068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
32	17, 18, 19, 30, 31	syl31anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
33	26	supeq1d 9394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34		ltso 11278	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
35		0re 11198	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		supsn 9421	. . . . . . . 8 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
37	34, 35, 36	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	32, 33, 38	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
41	40	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
42	39, 41	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
43	16, 42	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
44	1, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45	44	3impib 1132	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5104   Or wor 5558   × cxp 5649  ran crn 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579   Ramsey cram 17047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-seq 14026  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-ram 17049

This theorem is referenced by:  ramcl  17077