Theorem ramz 16994

Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12437	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		n0 4288	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅)
3		simpll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		0nn0 12450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	fconst6 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑐 ∈ 𝑅)
9		fvconst2g 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
10	5, 8, 9	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11		ramz2 16993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
12	3, 4, 7, 8, 10, 11	syl32anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
13	12	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
14	13	exlimdv 1940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
15	2, 14	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
16	15	expimpd 454	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
18		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
19	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20		0z 12533	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		elsni 4579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22		0le0 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
23	21, 22	eqbrtrdi 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
24	23	rgen 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25		rnxp 6128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
27	26	raleqdv 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
28	24, 27	mpbiri 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29		brralrspcev 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
30	20, 28, 29	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
31		0ram 16989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
32	17, 18, 19, 30, 31	syl31anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
33	26	supeq1d 9356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34		ltso 11224	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
35		0re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		supsn 9383	. . . . . . . 8 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
37	34, 35, 36	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	32, 33, 38	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
41	40	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
42	39, 41	imbitrrid 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
43	16, 42	jaoi 863	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
44	1, 43	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45	44	3impib 1122	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  ∅c0 4268  {csn 4562   class class class wbr 5079   Or wor 5532   × cxp 5623  ran crn 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  supcsup 9350  ℝcr 11035  0cc0 11036   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522   Ramsey cram 16968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-ram 16970

This theorem is referenced by:  ramcl  16998