Theorem ramz 16965

Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		n0 4307	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅)
3		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		0nn0 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	fconst6 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑐 ∈ 𝑅)
9		fvconst2g 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
10	5, 8, 9	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11		ramz2 16964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
12	3, 4, 7, 8, 10, 11	syl32anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
14	13	exlimdv 1935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
15	2, 14	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
16	15	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
19	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20		0z 12511	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		elsni 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22		0le0 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
23	21, 22	eqbrtrdi 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
24	23	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25		rnxp 6136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
27	26	raleqdv 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
28	24, 27	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29		brralrspcev 5160	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
30	20, 28, 29	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
31		0ram 16960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
32	17, 18, 19, 30, 31	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
33	26	supeq1d 9361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34		ltso 11225	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
35		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		supsn 9388	. . . . . . . 8 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
37	34, 35, 36	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	32, 33, 38	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
41	40	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
42	39, 41	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
43	16, 42	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
44	1, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45	44	3impib 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   Or wor 5539   × cxp 5630  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500   Ramsey cram 16939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-ram 16941

This theorem is referenced by:  ramcl  16969