MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz 17058
Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12525 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 n0 4358 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑅)
3 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑅𝑉)
5 0nn0 12538 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
65fconst6 6798 . . . . . . . . . 10 (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑐𝑅)
9 fvconst2g 7221 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
105, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11 ramz2 17057 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
123, 4, 7, 8, 10, 11syl32anc 1377 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
1312ex 412 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1413exlimdv 1930 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (∃𝑐 𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
152, 14biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1615expimpd 453 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅𝑉)
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
196a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20 0z 12621 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 elsni 4647 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22 0le0 12364 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2321, 22eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
2423rgen 3060 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25 rnxp 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2726raleqdv 3323 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
2824, 27mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29 brralrspcev 5207 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
3020, 28, 29sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
31 0ram 17053 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3217, 18, 19, 30, 31syl31anc 1372 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3326supeq1d 9483 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34 ltso 11338 . . . . . . . 8 < Or ℝ
35 0re 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 supsn 9509 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3734, 35, 36mp2an 692 . . . . . . 7 sup({0}, ℝ, < ) = 0
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3932, 33, 383eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
4140eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4239, 41imbitrrid 246 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4316, 42jaoi 857 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
441, 43sylbi 217 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45443impib 1115 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147   Or wor 5595   × cxp 5686  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610   Ramsey cram 17032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-ram 17034
This theorem is referenced by:  ramcl  17062
  Copyright terms: Public domain W3C validator