MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz 17063
Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 n0 4353 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑅)
3 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑅𝑉)
5 0nn0 12541 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
65fconst6 6798 . . . . . . . . . 10 (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑐𝑅)
9 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
105, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11 ramz2 17062 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
123, 4, 7, 8, 10, 11syl32anc 1380 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
1312ex 412 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1413exlimdv 1933 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (∃𝑐 𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
152, 14biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1615expimpd 453 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅𝑉)
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
196a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20 0z 12624 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 elsni 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22 0le0 12367 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2321, 22eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
2423rgen 3063 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25 rnxp 6190 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2726raleqdv 3326 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
2824, 27mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29 brralrspcev 5203 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
3020, 28, 29sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
31 0ram 17058 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3217, 18, 19, 30, 31syl31anc 1375 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3326supeq1d 9486 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34 ltso 11341 . . . . . . . 8 < Or ℝ
35 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 supsn 9512 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3734, 35, 36mp2an 692 . . . . . . 7 sup({0}, ℝ, < ) = 0
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3932, 33, 383eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
4140eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4239, 41imbitrrid 246 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4316, 42jaoi 858 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
441, 43sylbi 217 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45443impib 1117 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591   × cxp 5683  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613   Ramsey cram 17037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-ram 17039
This theorem is referenced by:  ramcl  17067
  Copyright terms: Public domain W3C validator