Theorem ramz 16941

Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12392	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		n0 4302	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅)
3		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		0nn0 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	fconst6 6720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → 𝑐 ∈ 𝑅)
9		fvconst2g 7144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
10	5, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11		ramz2 16940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
12	3, 4, 7, 8, 10, 11	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
14	13	exlimdv 1934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
15	2, 14	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
16	15	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ 𝑉)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
19	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20		0z 12488	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		elsni 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22		0le0 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
23	21, 22	eqbrtrdi 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
24	23	rgen 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25		rnxp 6124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
27	26	raleqdv 3293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
28	24, 27	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29		brralrspcev 5155	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
30	20, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥)
31		0ram 16936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
32	17, 18, 19, 30, 31	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
33	26	supeq1d 9339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
34		ltso 11202	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
35		0re 11123	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		supsn 9366	. . . . . . . 8 ⊢ (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
37	34, 35, 36	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	32, 33, 38	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
40		oveq1 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
41	40	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
42	39, 41	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
43	16, 42	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
44	1, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
45	44	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  ∅c0 4282  {csn 4577   class class class wbr 5095   Or wor 5528   × cxp 5619  ran crn 5622  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  supcsup 9333  ℝcr 11014  0cc0 11015   < clt 11155   ≤ cle 11156  ℕcn 12134  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477   Ramsey cram 16915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-seq 13913  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-ram 16917

This theorem is referenced by:  ramcl  16945