Theorem tailini 36394

Description: A tail contains its initial element. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailini.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
tailini	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Proof of Theorem tailini

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailini.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	dirref 18611	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝐷𝐴)
3	1	eltail 36392	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
4	3	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  DirRelcdir 18604  tailctail 18605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-dir 18606  df-tail 18607

This theorem is referenced by:  tailfb  36395