Theorem tailini 36441

Description: A tail contains its initial element. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailini.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
tailini	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Proof of Theorem tailini

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailini.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	dirref 18509	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝐷𝐴)
3	1	eltail 36439	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
4	3	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  DirRelcdir 18502  tailctail 18503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-dir 18504  df-tail 18505

This theorem is referenced by:  tailfb  36442