Theorem tailini 36574

Description: A tail contains its initial element. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailini.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
tailini	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Proof of Theorem tailini

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailini.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	dirref 18558	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝐷𝐴)
3	1	eltail 36572	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
4	3	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐴))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  DirRelcdir 18551  tailctail 18552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-dir 18553  df-tail 18554

This theorem is referenced by:  tailfb  36575