Theorem tnglem 22937

Description: Lemma for tngbas 22938 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
4		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
5	1, 2, 3, 4	tngval 22936	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	5	fveq2d 6547	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
7		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 16343	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	7, 8	ndxarg 16342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
11	8	nnrei 11500	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltri 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
14	10, 13	eqbrtri 4987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
15		1nn 11502	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		2nn0 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		9nn0 11774	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
18		9lt10 12084	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
19	15, 16, 17, 18	declti 11990	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
20		9re 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
21		1nn0 11766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21, 16	deccl 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
24	12, 20, 23	lttri 10618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
25	14, 19, 24	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
26	12, 25	ltneii 10605	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
27		dsndx 16509	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
28	26, 27	neeqtrri 3057	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
29	9, 28	setsnid 16373	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
30	12, 14	ltneii 10605	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
31		tsetndx 16493	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
32	30, 31	neeqtrri 3057	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
33	9, 32	setsnid 16373	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	29, 33	eqtri 2819	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
35	6, 34	syl6reqr 2850	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	7	str0 16369	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6536	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 22935	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7059	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2843	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6547	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2857	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 808	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  ∅c0 4215  ⟨cop 4482   class class class wbr 4966   ∘ ccom 5452  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℝcr 10387  1c1 10389   < clt 10526  ℕcn 11491  2c2 11545  9c9 11552  ;cdc 11952  ndxcnx 16314   sSet csts 16315  Slot cslot 16316  TopSetcts 16405  distcds 16408  -_gcsg 17868  MetOpencmopn 20222   toNrmGrp ctng 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-sets 16324  df-tset 16418  df-ds 16421  df-tng 22882

This theorem is referenced by:  tngbas  22938  tngplusg  22939  tngmulr  22941  tngsca  22942  tngvsca  22943  tngip  22944