Theorem tnglem 23796

Description: Lemma for tngbas 23798 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
tnglem.t	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
tnglem.d	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		tnglem.d	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3	1, 2	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
4		tnglem.t	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
5	1, 4	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	3, 5	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
7		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
11	7, 8, 9, 10	tngval 23795	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
12	11	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
13	6, 12	eqtr4id 2797	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
14	1	str0 16890	. . . . 5 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
15	14	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
16		reldmtng 23794	. . . 4 ⊢ Rel dom toNrmGrp
17	15, 7, 16	oveqprc 16893	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
19	13, 18	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   sSet csts 16864  Slot cslot 16882  ndxcnx 16894  TopSetcts 16968  distcds 16971  -_gcsg 18579  MetOpencmopn 20587   toNrmGrp ctng 23734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-sets 16865  df-slot 16883  df-tng 23740

This theorem is referenced by:  tngbas  23798  tngplusg  23800  tngmulr  23803  tngsca  23805  tngvsca  23807  tngip  23809