Theorem tnglem 24605

Description: Lemma for tngbas 24606 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
tnglem.t	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
tnglem.d	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		tnglem.d	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17178	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
4		tnglem.t	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17178	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	3, 5	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
7		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
11	7, 8, 9, 10	tngval 24604	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
12	11	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
13	6, 12	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
14	1	str0 17159	. . . . 5 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
15	14	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
16		reldmtng 24603	. . . 4 ⊢ Rel dom toNrmGrp
17	15, 7, 16	oveqprc 17162	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
19	13, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ⟨cop 4573   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   sSet csts 17133  Slot cslot 17151  ndxcnx 17163  TopSetcts 17226  distcds 17229  -_gcsg 18911  MetOpencmopn 21342   toNrmGrp ctng 24543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-res 5643  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-sets 17134  df-slot 17152  df-tng 24549

This theorem is referenced by:  tngbas  24606  tngplusg  24607  tngmulr  24609  tngsca  24610  tngvsca  24611  tngip  24612