Theorem tnglem 24700

Description: Lemma for tngbas 24701 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
tnglem.t	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
tnglem.d	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		tnglem.d	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17244	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
4		tnglem.t	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17244	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	3, 5	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
7		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
11	7, 8, 9, 10	tngval 24699	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
12	11	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
13	6, 12	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
14	1	str0 17225	. . . . 5 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
15	14	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
16		reldmtng 24698	. . . 4 ⊢ Rel dom toNrmGrp
17	15, 7, 16	oveqprc 17228	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
19	13, 18	pm2.61ian 821	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ⟨cop 4588   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   sSet csts 17199  Slot cslot 17217  ndxcnx 17229  TopSetcts 17292  distcds 17295  -_gcsg 18977  MetOpencmopn 21414   toNrmGrp ctng 24638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-sets 17200  df-slot 17218  df-tng 24644

This theorem is referenced by:  tngbas  24701  tngplusg  24702  tngmulr  24704  tngsca  24705  tngvsca  24706  tngip  24707