Theorem tnglem 24535

Description: Lemma for tngbas 24536 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
tnglem.t	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
tnglem.d	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		tnglem.d	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17185	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
4		tnglem.t	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17185	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	3, 5	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
7		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
11	7, 8, 9, 10	tngval 24534	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
12	11	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
13	6, 12	eqtr4id 2784	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
14	1	str0 17166	. . . . 5 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
15	14	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
16		reldmtng 24533	. . . 4 ⊢ Rel dom toNrmGrp
17	15, 7, 16	oveqprc 17169	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
19	13, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  Slot cslot 17158  ndxcnx 17170  TopSetcts 17233  distcds 17236  -_gcsg 18874  MetOpencmopn 21261   toNrmGrp ctng 24473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sets 17141  df-slot 17159  df-tng 24479

This theorem is referenced by:  tngbas  24536  tngplusg  24537  tngmulr  24539  tngsca  24540  tngvsca  24541  tngip  24542