Theorem tnglem 23347

Description: Lemma for tngbas 23348 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16572	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 11688	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 11690	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 11963	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12180	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 11955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 11950	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 10809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 10796	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 16738	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3024	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 16602	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 10796	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 16722	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3024	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 16602	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2781	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 23346	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 16598	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6654	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 23345	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7194	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	syl5eq 2805	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2819	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ∅c0 4227  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035   ∘ ccom 5531  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  1c1 10581   < clt 10718  ℕcn 11679  2c2 11734  9c9 11741  ;cdc 12142  ndxcnx 16543   sSet csts 16544  Slot cslot 16545  TopSetcts 16634  distcds 16637  -_gcsg 18176  MetOpencmopn 20161   toNrmGrp ctng 23285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-sets 16553  df-tset 16647  df-ds 16650  df-tng 23291

This theorem is referenced by:  tngbas  23348  tngplusg  23349  tngmulr  23351  tngsca  23352  tngvsca  23353  tngip  23354