Theorem tnglem 24867

Description: Lemma for tngbas 24868 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
tnglem.t	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
tnglem.d	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		tnglem.d	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17301	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
4		tnglem.t	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17301	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	3, 5	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
7		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
11	7, 8, 9, 10	tngval 24866	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
12	11	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
13	6, 12	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
14	1	str0 17282	. . . . 5 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
15	14	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
16		reldmtng 24865	. . . 4 ⊢ Rel dom toNrmGrp
17	15, 7, 16	oveqprc 17285	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
19	13, 18	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   sSet csts 17256  Slot cslot 17274  ndxcnx 17286  TopSetcts 17349  distcds 17352  -_gcsg 19060  MetOpencmopn 21576   toNrmGrp ctng 24805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-sets 17257  df-slot 17275  df-tng 24811

This theorem is used by:  tngbas  24868  tngplusg  24869  tngmulr  24871  tngsca  24872  tngvsca  24873  tngip  24874