Theorem tngsca 23793

Description: The scalar ring of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngsca.2	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝑇))

Proof of Theorem tngsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngsca.2	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		scaid 17013	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		slotstnscsi 17058	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp1i 1138	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6	5	necomi 2998	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17090	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp1i 1138	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	8	necomi 2998	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 23784	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ndxcnx 16882  Scalarcsca 16953   ·_𝑠 cvsca 16954  ·_𝑖cip 16955  TopSetcts 16956  distcds 16959   toNrmGrp ctng 23722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ds 16972  df-tng 23728

This theorem is referenced by:  tcphsca  24375  rrxsca  24548  tnglvec  31681  tngdim  31682