Theorem tngsca 24509

Description: The scalar ring of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngsca.2	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝑇))

Proof of Theorem tngsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngsca.2	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		scaid 17267	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		slotstnscsi 17312	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp1i 1136	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6	5	necomi 2989	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17344	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp1i 1136	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	8	necomi 2989	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 24500	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Scalar‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ndxcnx 17133  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  ·_𝑖cip 17209  TopSetcts 17210  distcds 17213   toNrmGrp ctng 24438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ds 17226  df-tng 24444

This theorem is referenced by:  tcphsca  25102  rrxsca  25275  tnglvec  33215  tngdim  33216