MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngplusg 23810
Description: The group addition of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngplusg.2 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngplusg (𝑁𝑉+ = (+g𝑇))

Proof of Theorem tngplusg
StepHypRef Expression
1 tngplusg.2 . 2 + = (+g𝐺)
2 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 plusgid 16999 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
4 tsetndxnplusgndx 17077 . . . 4 (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
54necomi 2998 . . 3 (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
6 dsndxnplusgndx 17110 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
76necomi 2998 . . 3 (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
82, 3, 5, 7tnglem 23806 . 2 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
91, 8eqtrid 2790 1 (𝑁𝑉+ = (+g𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6426  (class class class)co 7267  ndxcnx 16904  +gcplusg 16972  TopSetcts 16978  distcds 16981   toNrmGrp ctng 23744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-plusg 16985  df-tset 16991  df-ds 16994  df-tng 23750
This theorem is referenced by:  tng0  23812  tngngp2  23826  tngngp  23828  tnggrpr  23829  tngngp3  23830  tngnrg  23848  tchplusg  24394  tnglvec  31703  tngdim  31704
  Copyright terms: Public domain W3C validator