Theorem tngplusg 24577

Description: The group addition of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngplusg	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑇))

Proof of Theorem tngplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		plusgid 17195	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		tsetndxnplusgndx 17268	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2983	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
6		dsndxnplusgndx 17301	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	6	necomi 2983	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
8	2, 3, 5, 7	tnglem 24575	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
9	1, 8	eqtrid 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ndxcnx 17111  +_gcplusg 17168  TopSetcts 17174  distcds 17177   toNrmGrp ctng 24513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-plusg 17181  df-tset 17187  df-ds 17190  df-tng 24519

This theorem is referenced by:  tng0  24578  tngngp2  24587  tngngp  24589  tnggrpr  24590  tngngp3  24591  tngnrg  24609  tchplusg  25167  tnglvec  33697  tngdim  33698