Theorem tnglemOLD 23797

Description: Obsolete version of tnglem 23796 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 23798 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglemOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16898	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 11982	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglemOLD.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12475	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 11101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 11088	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 17095	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 11088	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 17062	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 23795	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2797	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 16890	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6766	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 23794	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7314	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973  2c2 12028  9c9 12035  ;cdc 12437   sSet csts 16864  Slot cslot 16882  ndxcnx 16894  TopSetcts 16968  distcds 16971  -_gcsg 18579  MetOpencmopn 20587   toNrmGrp ctng 23734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-tset 16981  df-ds 16984  df-tng 23740

This theorem is referenced by:  tngbasOLD  23799  tngplusgOLD  23801  tngmulrOLD  23804  tngscaOLD  23806  tngvscaOLD  23808  tngipOLD  23810