MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglemOLD 24013
Description: Obsolete version of tnglem 24012 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 24014 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3 𝐾 ∈ β„•
tnglemOLD.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglemOLD (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tnglemOLD
StepHypRef Expression
1 tnglemOLD.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
2 tnglemOLD.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ β„•
31, 2ndxid 17074 . . . . 5 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
41, 2ndxarg 17073 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) = 𝐾
52nnrei 12167 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
64, 5eqeltri 2830 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) ∈ ℝ
7 tnglemOLD.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
84, 7eqbrtri 5127 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) < 9
9 1nn 12169 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
10 2nn0 12435 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
11 9nn0 12442 . . . . . . . . 9 9 ∈ β„•0
12 9lt10 12754 . . . . . . . . 9 9 < 10
139, 10, 11, 12declti 12661 . . . . . . . 8 9 < 12
14 9re 12257 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
15 1nn0 12434 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
1615, 10deccl 12638 . . . . . . . . . 10 12 ∈ β„•0
1716nn0rei 12429 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
186, 14, 17lttri 11286 . . . . . . . 8 (((πΈβ€˜ndx) < 9 ∧ 9 < 12) β†’ (πΈβ€˜ndx) < 12)
198, 13, 18mp2an 691 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) < 12
206, 19ltneii 11273 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) β‰  12
21 dsndx 17271 . . . . . 6 (distβ€˜ndx) = 12
2220, 21neeqtrri 3014 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) β‰  (distβ€˜ndx)
233, 22setsnid 17086 . . . 4 (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩))
246, 8ltneii 11273 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) β‰  9
25 tsetndx 17238 . . . . . 6 (TopSetβ€˜ndx) = 9
2624, 25neeqtrri 3014 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
273, 26setsnid 17086 . . . 4 (πΈβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩)) = (πΈβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))⟩))
2823, 27eqtri 2761 . . 3 (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))⟩))
29 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30 eqid 2733 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
31 eqid 2733 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))
32 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))
3329, 30, 31, 32tngval 24011 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))⟩))
3433fveq2d 6847 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ))⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))⟩)))
3528, 34eqtr4id 2792 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜π‘‡))
361str0 17066 . . 3 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
37 fvprc 6835 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (πΈβ€˜πΊ) = βˆ…)
3837adantr 482 . . 3 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜πΊ) = βˆ…)
39 reldmtng 24010 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 7397 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
4140adantr 482 . . . . 5 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
4229, 41eqtrid 2785 . . . 4 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = βˆ…)
4342fveq2d 6847 . . 3 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜βˆ…))
4436, 38, 433eqtr4a 2799 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜π‘‡))
4535, 44pm2.61ian 811 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜πΊ) = (πΈβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057   < clt 11194  β„•cn 12158  2c2 12213  9c9 12220  cdc 12623   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070  TopSetcts 17144  distcds 17147  -gcsg 18755  MetOpencmopn 20802   toNrmGrp ctng 23950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-tset 17157  df-ds 17160  df-tng 23956
This theorem is referenced by:  tngbasOLD  24015  tngplusgOLD  24017  tngmulrOLD  24020  tngscaOLD  24022  tngvscaOLD  24024  tngipOLD  24026
  Copyright terms: Public domain W3C validator