Theorem tnglemOLD 23997

Description: Obsolete version of tnglem 23996 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 23998 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglemOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17069	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 12162	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglemOLD.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12656	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 17266	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 17081	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 17233	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 17081	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 23995	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 17061	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 23994	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7396	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  1c1 11052   < clt 11189  ℕcn 12153  2c2 12208  9c9 12215  ;cdc 12618   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  TopSetcts 17139  distcds 17142  -_gcsg 18750  MetOpencmopn 20786   toNrmGrp ctng 23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-tset 17152  df-ds 17155  df-tng 23940

This theorem is referenced by:  tngbasOLD  23999  tngplusgOLD  24001  tngmulrOLD  24004  tngscaOLD  24006  tngvscaOLD  24008  tngipOLD  24010