Theorem tnglemOLD 24654

Description: Obsolete version of tnglem 24653 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 24655 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglemOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17234	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglemOLD.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12864	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12771	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 17429	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 17245	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 17396	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 17245	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 24652	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2796	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 17226	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 24651	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7470	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   < clt 11295  ℕcn 12266  2c2 12321  9c9 12328  ;cdc 12733   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  TopSetcts 17303  distcds 17306  -_gcsg 18953  MetOpencmopn 21354   toNrmGrp ctng 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-tset 17316  df-ds 17319  df-tng 24597

This theorem is referenced by:  tngbasOLD  24656  tngplusgOLD  24658  tngmulrOLD  24661  tngscaOLD  24663  tngvscaOLD  24665  tngipOLD  24667