Theorem tnglemOLD 24669

Description: Obsolete version of tnglem 24668 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 24670 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglemOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17230	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglemOLD.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12861	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12768	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 11384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 11371	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 17430	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3011	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 11371	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 17397	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3011	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 24667	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2793	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 17222	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 24666	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7469	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5692  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  1c1 11153   < clt 11292  ℕcn 12263  2c2 12318  9c9 12325  ;cdc 12730   sSet csts 17196  Slot cslot 17214  ndxcnx 17226  TopSetcts 17303  distcds 17306  -_gcsg 18965  MetOpencmopn 21371   toNrmGrp ctng 24606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-tset 17316  df-ds 17319  df-tng 24612

This theorem is referenced by:  tngbasOLD  24671  tngplusgOLD  24673  tngmulrOLD  24676  tngscaOLD  24678  tngvscaOLD  24680  tngipOLD  24682