Theorem tnglemOLD 23678

Description: Obsolete version of tnglem 23677 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 23679 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglemOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tnglemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		tnglemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16801	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
5	2	nnrei 11887	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		tnglemOLD.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
8	4, 7	eqbrtri 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
9		1nn 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
10		2nn0 12155	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn0 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
12		9lt10 12472	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
13	9, 10, 11, 12	declti 12379	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
14		9re 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15		1nn0 12154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 10	deccl 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12149	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
18	6, 14, 17	lttri 11006	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
19	8, 13, 18	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
20	6, 19	ltneii 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
21		dsndx 16991	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
22	20, 21	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
23	3, 22	setsnid 16813	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
24	6, 8	ltneii 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
25		tsetndx 16962	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
26	24, 25	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
27	3, 26	setsnid 16813	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
28	23, 27	eqtri 2767	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
29		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
31		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
32		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
33	29, 30, 31, 32	tngval 23676	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	33	fveq2d 6757	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
35	28, 34	eqtr4id 2799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	1	str0 16793	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6745	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 23675	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7291	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	29, 41	syl5eq 2792	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6757	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3423  ∅c0 4254  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ∘ ccom 5583  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  ℝcr 10776  1c1 10778   < clt 10915  ℕcn 11878  2c2 11933  9c9 11940  ;cdc 12341   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  TopSetcts 16869  distcds 16872  -_gcsg 18469  MetOpencmopn 20475   toNrmGrp ctng 23615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-tset 16882  df-ds 16885  df-tng 23621

This theorem is referenced by:  tngbasOLD  23680  tngplusgOLD  23682  tngmulrOLD  23685  tngscaOLD  23687  tngvscaOLD  23689  tngipOLD  23691