MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglemOLD 23903
Description: Obsolete version of tnglem 23902 as of 31-Oct-2024. Lemma for tngbas 23904 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglemOLD.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglemOLD.3 𝐾 ∈ ℕ
tnglemOLD.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglemOLD (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))

Proof of Theorem tnglemOLD
StepHypRef Expression
1 tnglemOLD.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
2 tnglemOLD.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16995 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
41, 2ndxarg 16994 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝐾
52nnrei 12083 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
64, 5eqeltri 2833 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7 tnglemOLD.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
84, 7eqbrtri 5113 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) < 9
9 1nn 12085 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
10 2nn0 12351 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
11 9nn0 12358 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
12 9lt10 12669 . . . . . . . . 9 9 < 10
139, 10, 11, 12declti 12576 . . . . . . . 8 9 < 12
14 9re 12173 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
15 1nn0 12350 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
1615, 10deccl 12553 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
1716nn0rei 12345 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
186, 14, 17lttri 11202 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < 12) → (𝐸‘ndx) < 12)
198, 13, 18mp2an 689 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 12
206, 19ltneii 11189 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 12
21 dsndx 17192 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
2220, 21neeqtrri 3014 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
233, 22setsnid 17007 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩))
246, 8ltneii 11189 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 9
25 tsetndx 17159 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
2624, 25neeqtrri 3014 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
273, 26setsnid 17007 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
2823, 27eqtri 2764 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
29 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
30 eqid 2736 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
31 eqid 2736 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
32 eqid 2736 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
3329, 30, 31, 32tngval 23901 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
3433fveq2d 6829 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
3528, 34eqtr4id 2795 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
361str0 16987 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
37 fvprc 6817 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
3837adantr 481 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = ∅)
39 reldmtng 23900 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 7376 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4140adantr 481 . . . . 5 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4229, 41eqtrid 2788 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ∅)
4342fveq2d 6829 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘∅))
4436, 38, 433eqtr4a 2802 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
4535, 44pm2.61ian 809 1 (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  c0 4269  cop 4579   class class class wbr 5092  ccom 5624  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  1c1 10973   < clt 11110  cn 12074  2c2 12129  9c9 12136  cdc 12538   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  TopSetcts 17065  distcds 17068  -gcsg 18675  MetOpencmopn 20693   toNrmGrp ctng 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-tset 17078  df-ds 17081  df-tng 23846
This theorem is referenced by:  tngbasOLD  23905  tngplusgOLD  23907  tngmulrOLD  23910  tngscaOLD  23912  tngvscaOLD  23914  tngipOLD  23916
  Copyright terms: Public domain W3C validator