Theorem tngvsca 24632

Description: The scalar multiplication of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngvsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Proof of Theorem tngvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngvsca.2	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		vscaid 17277	. . 3 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4		slotstnscsi 17317	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp2i 1142	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
6	5	necomi 2985	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17349	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp2i 1142	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2985	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 24626	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   ≠ wne 2931  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ndxcnx 17157  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  ·_𝑖cip 17219  TopSetcts 17220  distcds 17223   toNrmGrp ctng 24564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ds 17236  df-tng 24570

This theorem is referenced by:  tcphvsca  25212  tnglvec  33799  tngdim  33800