Theorem tngvsca 24589

Description: The scalar multiplication of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngvsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Proof of Theorem tngvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngvsca.2	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		vscaid 17241	. . 3 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4		slotstnscsi 17281	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp2i 1141	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
6	5	necomi 2987	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17313	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp2i 1141	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2987	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 24583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ndxcnx 17121  Scalarcsca 17181   ·_𝑠 cvsca 17182  ·_𝑖cip 17183  TopSetcts 17184  distcds 17187   toNrmGrp ctng 24521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ds 17200  df-tng 24527

This theorem is referenced by:  tcphvsca  25169  tnglvec  33762  tngdim  33763