Theorem tngvsca 24713

Description: The scalar multiplication of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngvsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Proof of Theorem tngvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngvsca.2	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		vscaid 17359	. . 3 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4		slotstnscsi 17399	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp2i 1154	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
6	5	necomi 3012	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17431	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp2i 1154	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 3012	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 24707	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ndxcnx 17239  Scalarcsca 17299   ·_𝑠 cvsca 17300  ·_𝑖cip 17301  TopSetcts 17302  distcds 17305   toNrmGrp ctng 24645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ds 17318  df-tng 24651

This theorem is referenced by:  tcphvsca  25293  tnglvec  33911  tngdim  33912