Theorem tngvsca 24580

Description: The scalar multiplication of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngvsca	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Proof of Theorem tngvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngvsca.2	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
2		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		vscaid 17308	. . 3 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4		slotstnscsi 17348	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
5	4	simp2i 1137	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
6	5	necomi 2992	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
7		slotsdnscsi 17380	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp2i 1137	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2992	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	2, 3, 6, 9	tnglem 24569	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
11	1, 10	eqtrid 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → · = ( ·𝑠 ‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ndxcnx 17169  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  ·_𝑖cip 17245  TopSetcts 17246  distcds 17249   toNrmGrp ctng 24507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ds 17262  df-tng 24513

This theorem is referenced by:  tcphvsca  25172  tnglvec  33343  tngdim  33344