MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0uhgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0uhgrrusgr 29597
Description: The null graph as hypergraph is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
0uhgrrusgr ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Distinct variable group:   𝑘,𝐺

Proof of Theorem 0uhgrrusgr
StepHypRef Expression
1 uhgr0vb 29090 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
21biimpd 229 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
32ex 412 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅)))
43pm2.43a 54 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅))
54imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
6 0vtxrusgr 29596 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
75, 6mpd3an3 1463 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  0*cxnn0 12601  Vtxcvtx 29014  iEdgciedg 29015  UHGraphcuhgr 29074   RegUSGraph crusgr 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-2 12330  df-uhgr 29076  df-upgr 29100  df-uspgr 29168  df-usgr 29169  df-rgr 29576  df-rusgr 29577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator