Theorem 0uhgrrusgr 29665

Description: The null graph as hypergraph is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0uhgrrusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable group:   𝑘,𝐺

Proof of Theorem 0uhgrrusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgr0vb 29159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	biimpd 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3	2	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅)))
4	3	pm2.43a 54	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	4	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
6		0vtxrusgr 29664	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
7	5, 6	mpd3an3 1470	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ℕ₀^*cxnn0 12501  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  UHGraphcuhgr 29143   RegUSGraph crusgr 29643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-2 12235  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-uspgr 29237  df-usgr 29238  df-rgr 29644  df-rusgr 29645

This theorem is referenced by: (None)