Theorem frgruhgr0v 30306

Description: Any null graph (without vertices) represented as hypergraph is a friendship graph. (Contributed by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgruhgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

Proof of Theorem frgruhgr0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgr0vb 29112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	biimpcd 249	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3	2	anabsi5 669	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
4		frgr0vb 30305	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
5	3, 4	mpd3an3 1462	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ∅c0 4340  ‘cfv 6566  Vtxcvtx 29036  iEdgciedg 29037  UHGraphcuhgr 29096   FriendGraph cfrgr 30300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5584  df-po 5598  df-so 5599  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7438  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-2 12333  df-uhgr 29098  df-upgr 29122  df-uspgr 29190  df-usgr 29191  df-frgr 30301

This theorem is referenced by: (None)