Theorem frgruhgr0v 30745

Description: Any null graph (without vertices) represented as hypergraph is a friendship graph. (Contributed by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgruhgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

Proof of Theorem frgruhgr0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgr0vb 29530	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	biimpcd 252	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3	2	anabsi5 682	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
4		frgr0vb 30744	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
5	3, 4	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  Vtxcvtx 29454  iEdgciedg 29455  UHGraphcuhgr 29514   FriendGraph cfrgr 30739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-2 12328  df-uhgr 29516  df-upgr 29540  df-uspgr 29611  df-usgr 29612  df-frgr 30740

This theorem is used by: (None)