Theorem usgr0vb 29254

Description: The null graph, with no vertices, is a simple graph iff the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0vb	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr0vb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 29203	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		uhgr0vb 29089	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
3	1, 2	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
6	4, 5	usgr0e 29253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
9	3, 8	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  UHGraphcuhgr 29073  USGraphcusgr 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-2 12329  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-uspgr 29167  df-usgr 29168

This theorem is referenced by:  usgr0v  29258  usgr1v  29273