MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr0vb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr0vb 26738
Description: The null graph, with no vertices, is a simple graph iff the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr0vb ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr0vb
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 26687 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 uhgr0vb 26576 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
31, 2syl5ib 236 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
4 simpl 475 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
5 simpr 477 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
64, 5usgr0e 26737 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
76ex 405 . . 3 (𝐺𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
87adantr 473 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
93, 8impbid 204 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  c0 4173  cfv 6186  Vtxcvtx 26500  iEdgciedg 26501  UHGraphcuhgr 26560  USGraphcusgr 26653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-2 11502  df-uhgr 26562  df-upgr 26586  df-uspgr 26654  df-usgr 26655
This theorem is referenced by:  usgr0v  26742  usgr1v  26757
  Copyright terms: Public domain W3C validator