MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr0vb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr0vb 29068
Description: The null graph, with no vertices, is a simple graph iff the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr0vb ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr0vb
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 29017 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 uhgr0vb 28903 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
31, 2imbitrid 243 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
4 simpl 481 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
5 simpr 483 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
64, 5usgr0e 29067 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
76ex 411 . . 3 (𝐺𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
87adantr 479 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
93, 8impbid 211 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4324  cfv 6551  Vtxcvtx 28827  iEdgciedg 28828  UHGraphcuhgr 28887  USGraphcusgr 28980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-2 12311  df-uhgr 28889  df-upgr 28913  df-uspgr 28981  df-usgr 28982
This theorem is referenced by:  usgr0v  29072  usgr1v  29087
  Copyright terms: Public domain W3C validator