Theorem uhgr0 29158

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6723	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5877	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4770	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 4076	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4330	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6664	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5254	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 29124	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 29125	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 29145	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  UHGraphcuhgr 29141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-edgf 29074  df-vtx 29083  df-iedg 29084  df-uhgr 29143

This theorem is referenced by: (None)