MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgr0 26421
Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
uhgr0 ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0
StepHypRef Expression
1 f0 6336 . . 3 ∅:∅⟶∅
2 dm0 5584 . . . 4 dom ∅ = ∅
3 pw0 4574 . . . . . 6 𝒫 ∅ = {∅}
43difeq1i 3946 . . . . 5 (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5 difid 4178 . . . . 5 ({∅} ∖ {∅}) = ∅
64, 5eqtri 2801 . . . 4 (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
72, 6feq23i 6285 . . 3 (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
81, 7mpbir 223 . 2 ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9 0ex 5026 . . 3 ∅ ∈ V
10 vtxval0 26387 . . . . 5 (Vtx‘∅) = ∅
1110eqcomi 2786 . . . 4 ∅ = (Vtx‘∅)
12 iedgval0 26388 . . . . 5 (iEdg‘∅) = ∅
1312eqcomi 2786 . . . 4 ∅ = (iEdg‘∅)
1411, 13isuhgr 26408 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
159, 14ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
168, 15mpbir 223 1 ∅ ∈ UHGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wcel 2106  Vcvv 3397  cdif 3788  c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  dom cdm 5355  wf 6131  cfv 6135  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  UHGraphcuhgr 26404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-slot 16259  df-base 16261  df-edgf 26338  df-vtx 26346  df-iedg 26347  df-uhgr 26406
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator