Theorem uhgr0 29230

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6739	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5892	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4767	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 4074	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4326	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6679	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5254	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 29196	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 29197	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 29217	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 233	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  dom cdm 5643  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  Vtxcvtx 29153  iEdgciedg 29154  UHGraphcuhgr 29213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-dec 12682  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-edgf 29146  df-vtx 29155  df-iedg 29156  df-uhgr 29215

This theorem is referenced by: (None)