Theorem uhgr0 26866

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6534	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5754	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4705	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 4046	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4284	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6481	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5175	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 26832	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 26833	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 26853	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  UHGraphcuhgr 26849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-slot 16479  df-base 16481  df-edgf 26783  df-vtx 26791  df-iedg 26792  df-uhgr 26851

This theorem is referenced by: (None)