Theorem uhgr0 26421

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6336	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5584	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4574	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 3946	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4178	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2801	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6285	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 223	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5026	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 26387	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2786	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 26388	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2786	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 26408	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 223	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ∖ cdif 3788  ∅c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  dom cdm 5355  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  UHGraphcuhgr 26404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-slot 16259  df-base 16261  df-edgf 26338  df-vtx 26346  df-iedg 26347  df-uhgr 26406

This theorem is referenced by: (None)