Theorem uhgr0 26854

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6553	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5783	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4738	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 4088	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4323	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2843	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6501	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 233	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 5204	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 26820	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2829	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 26821	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2829	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 26841	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 233	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491   ∖ cdif 3926  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4532  {csn 4560  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  Vtxcvtx 26777  iEdgciedg 26778  UHGraphcuhgr 26837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-slot 16480  df-base 16482  df-edgf 26771  df-vtx 26779  df-iedg 26780  df-uhgr 26839

This theorem is referenced by: (None)