MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustssel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustssel 24060
Description: A uniform structure is upward closed. Condition FI of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2017.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ustssel ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑉 βŠ† π‘Š β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem ustssel
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
21elfvexd 6923 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ V)
3 isust 24058 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
51, 4mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
65simp3d 1141 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
7 simp1 1133 . . . 4 ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
87ralimi 3077 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
96, 8syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
10 simp2 1134 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝑉 ∈ π‘ˆ)
112, 2xpexd 7734 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
12 simp3 1135 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
1311, 12sselpwd 5319 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
14 sseq1 4002 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑉 βŠ† 𝑀))
1514imbi1d 341 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
16 sseq2 4003 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑉 βŠ† π‘Š))
17 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ π‘Š ∈ π‘ˆ))
1816, 17imbi12d 344 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘Š β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)))
1915, 18rspc2v 3617 . . 3 ((𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑉 βŠ† π‘Š β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)))
2010, 13, 19syl2anc 583 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑉 βŠ† π‘Š β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)))
219, 20mpd 15 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑉 βŠ† π‘Š β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   I cid 5566   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  UnifOncust 24054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ust 24055
This theorem is referenced by:  trust  24084  ustuqtop1  24096  ucnprima  24137
  Copyright terms: Public domain W3C validator