MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isust Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isust 23699
Description: The predicate "π‘ˆ is a uniform structure with base 𝑋". (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
isust (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑋,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑀,𝑣)
Proof of Theorem isust
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ustval 23698 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (UnifOnβ€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
21eleq2d 2819 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ π‘ˆ ∈ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))}))
3 simp1 1136 . . . 4 ((π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
4 sqxpexg 7738 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
54pwexd 5376 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
7 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 7ssexd 5323 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
98ex 413 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V))
103, 9syl5 34 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) β†’ π‘ˆ ∈ V))
11 sseq1 4006 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
12 eleq2 2822 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ))
13 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑀 ∈ 𝑒 ↔ 𝑀 ∈ π‘ˆ))
1413imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ↔ (𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
1514ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
16 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ↔ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
1716raleqbi1dv 3333 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
18 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (◑𝑣 ∈ 𝑒 ↔ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ))
19 rexeq 3321 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
2018, 193anbi23d 1439 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
2115, 17, 203anbi123d 1436 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
2221raleqbi1dv 3333 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
2311, 12, 223anbi123d 1436 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
2423elab3g 3674 . . 3 (((π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) β†’ π‘ˆ ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
2510, 24syl 17 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
262, 25bitrd 278 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  UnifOncust 23695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ust 23696
This theorem is referenced by:  ustssxp  23700  ustssel  23701  ustbasel  23702  ustincl  23703  ustdiag  23704  ustinvel  23705  ustexhalf  23706  ustfilxp  23708  ust0  23715  ustbas2  23721  trust  23725  metust  24058
  Copyright terms: Public domain W3C validator