Theorem uz0 45401

Description: The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uz0	⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuz 45221	. . . . . 6 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
2	1	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ℤ = dom ℤ≥
3	2	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6		ndmfv 6875	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45448  limsupubuz  45704  climlimsupcex  45760