Theorem uz0 45362

Description: The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uz0	⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuz 45177	. . . . . 6 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
2	1	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ℤ = dom ℤ≥
3	2	eleq2i 2831	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6		ndmfv 6942	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45409  limsupubuz  45669  climlimsupcex  45725