Theorem uz0 42952

Description: The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uz0	⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuz 42777	. . . . . 6 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
2	1	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ℤ = dom ℤ≥
3	2	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	4	biimpi 215	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6		ndmfv 6804	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  uzn0bi  42999  limsupubuz  43254  climlimsupcex  43310