Theorem uz0 43339

Description: The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uz0	⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuz 43157	. . . . . 6 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
2	1	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ℤ = dom ℤ≥
3	2	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
4	3	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	4	biimpi 215	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6		ndmfv 6861	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4270  dom cdm 5621  ‘cfv 6480  ℤcz 12421  ℤ_≥cuz 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pr 5373  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-fv 6488  df-ov 7341  df-neg 11310  df-z 12422  df-uz 12685

This theorem is referenced by:  uzn0bi  43386  limsupubuz  43642  climlimsupcex  43698