Theorem uz0 45861

Description: The upper integers function applied to a non-integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uz0	⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuz 45684	. . . . . 6 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
2	1	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ℤ = dom ℤ≥
3	2	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
4	3	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6		ndmfv 6867	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-neg 11374  df-z 12519  df-uz 12783

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45908  limsupubuz  46162  climlimsupcex  46218