Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0bi 41725
Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzn0bi ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi
StepHypRef Expression
1 uz0 41676 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
21adantl 484 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
3 neneq 3020 . . . 4 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
43adantr 483 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
52, 4condan 816 . 2 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eqid 2819 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
86, 7uzn0d 41689 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≠ ∅)
95, 8impbii 211 1 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 208   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  c0 4289  cfv 6348  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator