Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0bi 44841
Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzn0bi ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi
StepHypRef Expression
1 uz0 44794 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
21adantl 481 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
3 neneq 2943 . . . 4 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
43adantr 480 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
52, 4condan 817 . 2 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eqid 2728 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
86, 7uzn0d 44807 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≠ ∅)
95, 8impbii 208 1 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  c0 4323  cfv 6548  cz 12589  cuz 12853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-neg 11478  df-z 12590  df-uz 12854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator