Theorem uzn0bi 45887

Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0bi	⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz0 45840	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
3		neneq 2938	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
5	2, 4	condan 818	. 2 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	uzn0d 45853	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅)
9	5, 8	impbii 209	1 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by: (None)