Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0bi 45409
Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzn0bi ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi
StepHypRef Expression
1 uz0 45362 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
21adantl 481 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
3 neneq 2944 . . . 4 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
43adantr 480 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
52, 4condan 818 . 2 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eqid 2735 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
86, 7uzn0d 45375 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≠ ∅)
95, 8impbii 209 1 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  cfv 6563  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator