Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0bi 43701
Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzn0bi ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi
StepHypRef Expression
1 uz0 43654 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
21adantl 483 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
3 neneq 2950 . . . 4 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
43adantr 482 . . 3 (((ℤ𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ𝑀) = ∅)
52, 4condan 817 . 2 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eqid 2737 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
86, 7uzn0d 43667 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≠ ∅)
95, 8impbii 208 1 ((ℤ𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  c0 4283  cfv 6497  cz 12500  cuz 12764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator