Theorem uzn0bi 45916

Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0bi	⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz0 45869	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
2	1	adantl 483	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
3		neneq 2942	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
5	2, 4	condan 824	. 2 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqid 2741	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	uzn0d 45882	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅)
9	5, 8	impbii 211	1 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4264  ‘cfv 6489  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by: (None)