Theorem uzn0bi 42889

Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0bi	⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz0 42842	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
3		neneq 2948	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
5	2, 4	condan 814	. 2 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	uzn0d 42855	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅)
9	5, 8	impbii 208	1 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by: (None)