Theorem uzn0bi 45740

Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0bi	⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz0 45693	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
3		neneq 2937	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
5	2, 4	condan 818	. 2 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	uzn0d 45706	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅)
9	5, 8	impbii 209	1 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∅c0 4284  ‘cfv 6491  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11369  df-z 12491  df-uz 12754

This theorem is referenced by: (None)