Theorem uzn0bi 45462

Description: The upper integers function needs to be applied to an integer, in order to return a nonempty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0bi	⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem uzn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz0 45415	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
3		neneq 2932	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
5	2, 4	condan 817	. 2 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ → 𝑀 ∈ ℤ)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	uzn0d 45428	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅)
9	5, 8	impbii 209	1 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by: (None)